紋影成像法與密度可視化

董家豪,徐 乾,余智君，王思慧，周惠君

(南京大學 物理學院,江蘇 南京 210093)

紋影法可以測量氣體微小密度變化，主要是利用光在被測流場中的折射率梯度正比于流場的氣流密度的性質. 折射率的非均勻性使得相鄰光線的光程隨之變化，從而影響圖像的灰度甚至色彩. 紋影法首先由Toepler于1864年提出，并應用在光學玻璃折射率的檢測中. 傳統紋影方法是基于幾何光學的折射定律，依賴于圖像灰度與偏轉角之間的定標關系. 為了演示紋影法原理，搭建了典型光路，圖1是用其對火焰周圍的密度場所成的圖像. 可以看到，密度的微小差異被轉化成光強的變化，因此紋影法可以對流場中的微小密度變化進行顯示和測量. 通過紋影法得到的圖像定量推算密度場分布，需要先標定所用紋影設備的定標關系，即光線偏折角和光強分布之間的關系. 這使紋影法的應用受到頗多限制，且往往不能精確定量測量，只能給出定性結果.

圖1 紋影實驗現象

本文基于傅里葉光學分析法，采用激光光源改進了紋影成像法，實驗中的激光光源具有更好的相干性，光場經過流場刀片起頻譜濾波器的作用. 結果顯示，流場的密度變化被轉化為像屏上清晰的明暗條紋. 理論推演表明，像屏上的明暗條紋反映了入射光場的相位分布，由此可以推演出密度分布. 數值模擬和實驗所得圖像基本一致. 本實驗所采用的方法無需借助定標關系，簡化了傳統紋影方法.

1 實 驗

圖2為實驗光路圖和實驗裝置圖，包括633 nm半導體激光器、透鏡、酒精燈、刀片和光屏.

實驗中以酒精燈火焰作為觀察對象，火焰周圍能產生顯著的密度梯度，且易于獲取，適于在實驗室觀察.

(a)實驗光路圖

(b)實驗裝置圖圖2 實驗光路圖和裝置圖

首先觀察火焰上方的熱氣流，在頻譜面上向一側移動刀片，像屏上的觀測結果如圖3所示.

圖3 刀片向一側移動時像屏上所得的觀測結果

接下來直接觀察火焰，調整刀片位置，直至像屏上得到清晰圖像，如圖4所示.

圖4 直接觀察火焰時所得觀測結果

實驗中觀察到，流場的密度變化被轉化為像屏上的明暗條紋分布，這有別于傳統的紋影法. 理論分析表明，條紋結構反映了入射光的相位分布，進而反映了密度場的結構.

2 理論分析

2.1 基于傅里葉光學的分析

采用傅里葉光學的方法分析紋影. 相干光經過不均勻密度場后帶有相位信息，透鏡對入射光做1次傅里葉變換后在后焦面上得到頻譜，經過濾波器的調制后，經逆傅里葉變換在像屏上得到圖像. 分析思路如圖5所示.

圖5 基于傅里葉光學分析紋影

2.2 理論推演

為計算簡便，把火焰區域簡化為密度均勻的圓柱區域，如圖6所示.

圖6 簡化的火焰模型

由此可得到入射光通過火焰后的相位分布：

(1)

如圖7所示. 因此物函數可以寫作

f(ξ)=exp [iφ(ξ)],

(2)

圖7 入射光經火焰場后相位分布

經過透鏡后，在其后焦面上得到傅里葉頻譜

(3)

此處火焰場是一維分布場，因此其頻譜可以寫作

(4)

以刀片為濾波器，濾波器函數為

(5)

式中Ω為刀片在頻譜面上遮擋的區域,如圖8所示，在實驗中，刀片略覆蓋焦點，濾波器函數實取

(6)

圖8 刀片濾波器函數

濾波后頻譜為

F′(vx)=Φ(vx)H(vx),

(7)

對其做逆傅里葉變換，得到像函數

conv {exp [iφ(ξ′)],h(ξ′)},

(8)

那么光屏上的光強分布為

I(ξ′)=g(ξ′)·conj [g(ξ′)].

(9)

該結果很難求解析解，因此選擇用Matlab求數值結果.

2.3 數值模擬

把以上計算過程轉化為Matlab代碼，得到屏上光強分布模擬結果如圖9所示.

模擬結果能反映實驗現象中的條紋結構，但條紋分布上有差異. 這是因為模擬中使用的火焰場模型較為簡單，但能定性說明實驗現象.

(a)模擬結果

(b)模擬光強分布圖9 模擬結果可視化和光強分布

2.4 預言其他濾波器效果

為了進一步驗證理論和模擬的正確性，換用其他濾波器取代刀片，進行了實驗和計算機模擬，兩者顯示出很好的一致性.

2.4.1 采用針尖作為濾波器

采用針尖在透鏡后焦面的中心處遮擋頻譜，在光屏上接收到的實驗效果和數值模擬效果如圖10所示.

(a)實驗結果 (b)模擬結果圖10 針尖濾波的實驗結果和模擬結果對比

2.4.2 采用單縫作為濾波器

采用單縫在透鏡后焦面的中心兩側遮擋頻譜，在光屏上接收到的實驗效果和數值模擬效果如圖11所示.

(a)實驗結果 (b)模擬結果圖11 單縫濾波的實驗結果和模擬結果對比

2.5 通過條紋分布反演密度場

進一步的模擬結果表明，像屏上接收到條紋信息反映的正是密度場結構信息，從條紋的分布出發可以反演密度場的分布. 以一維密度場的模擬結果來說明.

假設密度場線性變化，則相位分布也線性變化，形式為

φ(ξ)=Aξ+φ0, Δφmax=16 pixel.

(10)

相位場分布和數值模擬結果如圖12所示，光屏上將得到均勻分布的條紋，且滿足

Δφ=2πΔN.

(11)

(b)模擬結果圖12 線性變化密度場相位分布和模擬結果

假設密度場平方關系變化，則相位分布也平方變化，形式為

φ(ξ)=Aξ2+φ0, ΔφMAX=8 pixel.

(12)

相位場分布如圖13(a)所示，數值模擬結果如圖13(b)所示.

模擬結果顯示，光屏上將得到疏密分布的條紋，并且條紋的疏密程度和相位變化的快慢相一致，同樣滿足式(11).

下面推導條紋分布與密度場變化之間的定量關系. 記ξ和ξ′分別為物平面和像平面坐標，二者之間滿足線性變換關系

ξ=Iξ′,

(13)

由Gladstone-Dale定律

ρK=n-1,

(14)

可以推出

(15)

式中d是一維密度場在光傳播方向上的長度.

(a)相位分布

(b)模擬結果圖13 平方變化密度場相位分布和模擬結果

由式(15)可知，通過實驗測得像平面條紋分布N(ξ′)后，即可積分確定密度場的變化情況. 式(15)是基于一維密度場的情形推導而來的，事實上，對于任意密度場，如果其結構已知，僅有幾個待定參量，也一定可以通過條紋信息反演密度場，推導方法和上文所展示的思想一致.

3 結束語

以激光為光源，采用紋影成像法觀察火焰密度場，在像面上得到了條紋分布. 從傅里葉光學的分析方法出發，透鏡與刀片的作用相當于傅里葉變換與濾波器，通過數值模擬驗證了條紋分布的存在；且該理論模型能預言其他濾波器的實驗結果. 由像平面條紋分布反演密度場的方法，相比傳統的定標方法包含更豐富的物理內涵，加以改進后有潛力應用到更復雜密度場的分析.