擋光片的寬度和振幅對阻尼振動半衰期測量的影響

任佳琪，李飛祥，彭雪城，黃萬霞

(安徽師范大學 物理與電子信息學院，安徽 蕪湖 241002)

自由振動系統如果在振動過程中不斷克服外界阻力做功，消耗能量，則振幅就會逐漸減小，經過一段時間后，振動就會完全停止. 這種振幅越來越小的振動叫做阻尼振動. 描述阻尼振動的模型稱為彈簧振子模型，不僅可以描述機械運動，還可以描述RLC振蕩電路中的電流和電壓的變化[1]，近幾年來也被推廣到微納光子學中，用來描述微納光子學中納米顆粒的譜線[2]，并進一步推廣為雙諧振子模型來描述模式間的耦合導致的各種現象：Fano共振、電磁誘導透明以及Rabi振蕩等. 在光學開關、生物傳感、信息儲存、增強拉曼等方面有重要的應用. 基于以上的重要應用，彈簧振子運動特點研究成為普通物理實驗中重要的實驗. 近幾年由于計算工具的發展，已有改進方案，例如利用智能手機和軟件采集數據可以提高實驗的準確性[3-8]. 但在傳統教學中普遍采用光電計時裝置，實驗中測得的周期都很接近，不隨振幅變化，而半衰期卻受振幅影響. 利用彈簧振子體系從實驗和理論兩方面來探究擋光片寬度和振幅對半衰期測量的影響，發現半衰期的測量值與擋光片寬度在小范圍內呈線性關系，且隨著擋光片寬度的增加，實驗測得的半衰期變大；而振幅則相反，隨著振幅的增加，測得半衰期變小.

1 彈簧振子體系中推廣的半衰期公式

勁度系數均為k的2根輕質彈簧，質量之和為m0，與質量為m′的滑塊，按圖1(a)所示的方式連接，其中O點為彈簧振子體系的平衡位置，P點為滑塊靜止釋放的位置，Q為光電門的位置，且OP=A0，OQ=A0/2.w為擋光片的寬度. 為了討論問題方便，把彈簧的質量等效加到滑塊上，則彈簧振子體系的總質量為m. 在彈性恢復力和滑塊與導軌之間的粘性阻力的作用下，彈簧振子的動力學方程為

(a)窄擋光片的起始釋放狀態

(b)寬擋光片時的起始釋放狀態

(c)寬擋光片的測量結束狀態圖1 氣墊導軌簡諧振動體系測量半衰期的原理圖

(1)

(2)

在弱阻尼情況下，β2<ω02，式(2)的解為

x=A0e-β tcos (ωft+α) ,

(3)

A=A0e-β t.

(4)

阻尼振幅減少到初值A0的一半所用的時間是半衰期Th,為了后面討論問題的方便，定義Th為半衰期的真實值，由式(4)可得

(5)

由式(5)可解得半衰期為

(6)

(7)

從式(7)反解出半衰期的測量值Th′為

(8)

聯立式(6)和式(8)得

(9)

(10)

式(10)忽略高階小量，只保留一階小量，故式(10)進一步簡化為

(11)

式(11)表明：在振幅一定的情況下，半衰期的測量值是擋光片寬度w線性函數，即隨著擋光片的寬度的增大而增大，隨著振幅的增大而減小. 基于式(11)，可以得到計算半衰期的相對偏差η：

(12)

式(12)表明：相對誤差與寬度w成正比，與振幅A0成反比. 因此在實驗中，可以通過減小擋光片的寬度和增大振幅來減小實驗誤差.

2 實驗裝置和測量方法

實驗所用儀器為氣墊導軌、滑塊、光電計時裝置、擋光片和彈簧. 實驗中所用的氣墊導軌型號為QG-5-1.5 m，用MUJ-5C計數器來計算半衰期，實驗配套的擋光片為黑色，其w=0.4 cm,為了研究擋光片寬度對半衰期的影響，用鋁合金自制了棕色的4片擋光片，其寬度分別為0.4 cm, 1.0 cm, 1.5 cm和2.0 cm.

在實驗中，首先將氣墊導軌調節水平，將寬度為w的擋光片固定在滑塊上. 找到平衡位置O點，將光電門放置在O點左側A0/2的Q處，將滑塊從O點左側A0處P點無初速度釋放，其中A0=20 cm,30 cm和40 cm. 滑塊來回經過光電門2次計1個周期，當光電計時裝置的周期數不再改變時停止計時，轉化得到的時間即為半衰期.

3 擋光片的寬度對半衰期測量的影響

圖2分別為不同振幅時實驗測量和數值擬合的半衰期隨著擋光片寬度的變化曲線. 從圖2可以看出實驗和理論符合得很好.Th′與w成線性關系，即半衰期的測量值隨著擋光片寬度的增加而線性增大. 擬合得到的振幅為20 cm,30 cm,40 cm時半衰期的真實值Th(即圖中的截距)分別為79.912 s，71.907 s，68.505 s. 當振幅不同時，擬合所得的半衰期的真實值不同，這表明半衰期與振幅也有關系. 由式(6)可知，半衰期與彈簧振子所受到空氣阻力有關，阻力與速度有關，根據機械能守恒，振幅越大速度越大，對阻力與速度的線性關系有一定的影響[9]，所以振幅的變化會影響阻尼因數β，因此振幅是半衰期的影響因素之一，故振幅不同時擬合所得的Th不同. 另外，實驗中也制備了寬度小于0.4 cm的擋光片，發現該擋光片無法有效擋光，故光電門的發射光斑直徑接近0.4 cm. 實驗結果表明擋光片的寬度會影響半衰期測量結果，進而產生較大誤差，要想盡可能地減小測量誤差，理應使用寬度極小的擋光片，但是光電門計時器對擋光片的寬度是有要求的(寬度至少為0.4 cm)，所以為了得到較為接近真實值的半衰期而將擋光片的寬度大幅度縮小是不可行的. 但我們所探究的實驗為盡可能地得到接近真實值提供了一種符合實際方法，就是用不同寬度下的半衰期的測量值進行圖像擬合，所得到的縱截距便是更加接近理論值的數值.

(a)20 cm

(b)30 cm

(c)40 cm圖2 不同振幅時半衰期的測量值隨擋光片寬度變化

(a)20 cm

(b)30 cm

(c)40 cm圖3 不同振幅時半衰期相對偏差隨擋光片寬度變化

4 振幅對半衰期測量的影響

圖4為擋光片寬度的不同時半衰期的測量隨振幅的變化曲線. 從圖4可以看出隨著擋光片寬度的增大，半衰期增大；對于固定寬度后半衰期隨著振幅的增大而減小. 為了研究實驗的相對誤差，基于式(12)繪出在給定擋光片的寬度時相對誤差隨著振幅變化的曲線，如圖5所示. 從圖5可以看出寬度越大，相對誤差越大；對于某一固定寬度，相對誤差與振幅成反比關系. 實驗和模擬符合得較好，其差異主要來源于2個方面：不同的振幅對應的半衰期Th是有一定差異，而在擬合中采用的是同一個Th進行擬合的;振幅比較大時，空氣阻力不再隨速度成線性關系.

(a)0.4 cm

(b)1.0 cm

(c)1.5 cm

(d)2.0 cm圖4 不同擋光片的半衰期的測量值隨振幅變化

(a)0.4 cm

(b)1.0 cm

(c)1.5 cm

(d)2.0 cm圖5 不同擋光片的半衰期的相對誤差隨振幅變化

5 結 論

利用彈簧振子模型研究了擋光片寬度和初始振幅對阻尼振動半衰期測量的影響，給出了寬擋光片的半衰期測量值的理論公式. 研究結果表明當體系初始振幅一定時，實驗測得的半衰期隨著擋光片寬度的增大而線性增大；當擋光片寬度保持不變時，測得的半衰期隨著初始振幅的增大而減小，且相對偏差的絕對值先增大后減小. 理論和實驗符合得很好.