以學定教，教學相長——初中數學“勾股定理”教學設計探討

江蘇省常熟市常清中學 姜 煒

課堂是呈現知識的重要平臺，《義務教育數學課程標準（2011年版）》中指出：學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流同樣是學習數學的重要方式。學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。因此，在課堂教學中，教師應掌控好設疑與探究之間的辯證關系，進而確立教學與學習之間的共通性，通過以學定教，圍繞重點知識構建一個系統的探究框架，促進學習方式的轉變，培養學生的自學能力。為此，本文從不同層面探討了初中數學“勾股定理”一課的教學設計。通過實踐發現，初中數學課堂教學的重點應把握四個核心：其一是深挖學生的基本活動經驗；其二是加大數學活動在課堂上的應用頻率；其三是提高數學概念的呈現力度；其四是加強課堂與生活之間的聯系。本文對此進行了探究。

一、深挖初中生的基本活動經驗

數學基本活動經驗是學生在數學基本活動中逐漸積累的一種數學思維和技能，“經驗”雖然是過去式，但它針對的卻是當下及未來，是解決實際問題的內動力，因此，通過數學基本活動幫助學生積累經驗，對促進學生的未來發展具有重要意義。數學基本活動經驗包括兩類目標，其一是過程性目標，其二是結果性目標。其中，過程性目標針對的是數學基本活動的開展，包括引導學生經歷圖形的抽象、分類、性質探討、運動、位置確定等過程；參與綜合實踐活動，積累綜合運用數學知識、技能和方法等解決簡單問題的數學活動經驗等等。而在“勾股定理”一課教學中，調動學生的數學基本活動經驗，需要教師立足他們已具備的學習經驗“拋磚引玉”。

例如，在“勾股定理”一課的開篇階段，筆者安排學生合作探究：（1）畫一個三角形，有兩邊的長為1cm，2cm；（2）畫一個三角形，兩條邊長分別為1cm，2cm，這兩邊的夾角為90°；（3）畫一個直角三角形，直角邊長1cm，斜邊長2cm。課堂探究問題一：已知三角形兩邊長，能畫出多少個三角形？問題二：已知三角形兩邊長，第三邊長度有何范圍？問題三：添加怎樣的條件，能使第三邊的長度確定？為什么？發現：已知直角三角形任意兩邊，第三邊確定。猜一猜：直角三角形三邊之間具有怎樣的等量關系？量一下所畫的直角三角形三邊，猜測結論。

如此，從學生現有的認知出發，學生已經掌握了“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”。事實上，當三角形兩邊及其夾角確定時，第三邊長也就確定，三邊之間滿足某種等量關系（余弦定理）。初中階段從最簡單的直角三角形開始研究。根據之前學習的全等三角形相關知識學生可以發現，直角三角形只需知道兩邊長，三角形全等（SAS,HL），第三邊就確定，從而引發思考：直角三角形三邊之間有何等量關系？將前后知識進行串聯，從而引發學生思考新的問題，構建知識脈絡。通過在課堂開始階段的設問，帶動了學生進行深度思考，調動了他們的已有經驗，為下一環節的學習打下了基礎。

二、加大數學活動在課堂上的應用

在初中數學教材中，“勾股定理”充分體現了“數形結合”的思想，帶動學生從“數”的角度來窺探“形”的內質，從“形”角度感知“數”的作用。為此，教師可加大數學活動在課堂上的應用力度，通過“教、學相長”提高初中生對勾股定理的客觀認識。

例如，教師可設計3 與勾股定理相類的課堂活動：

活動一：以Rt △ABC三邊為邊長，分別向外作正方形，若將小方格的面積看作1，則以AB為一邊的正方形的面積是9，以BC為一邊的正方形的面積是16，你能計算出以AC為一邊的正方形的面積嗎？三個正方形面積之間有怎樣的數量關系？

活動二：學生在網格紙中任意畫Rt △ABC,以三邊為邊長分別向外作正方形，三個正方形面積之間有怎樣的數量關系？學生合作探究：a2＋b2=c2。

活動三：教師幾何畫板演示，當直角三角形邊長發生變化時，以兩直角邊向外作的兩個正方形面積和始終等于以斜邊為邊長作的正方形面積。

如此，通過數學活動在課堂上的應用，使學生親身體驗了勾股定理的發現過程，借此掌握了它的主要功能，即判定直角三角形，從而加強了對勾股定理的認識。

三、提高學生對數學概念的認知力度

在課堂上，學生對數學概念或定義的認知應是全方位的。在理論層面，教師需以最大限度讓學生掌握概念的原理、適用范圍及其應用方法；在實踐層面，教師需要以實踐來反映理論，用理論去闡釋實踐，進而通過兩者結合，提高學生對數學概念的認知力度，加強他們的知識應用能力和問題解決能力。

例如，在學生已基本掌握了勾股定理的性質及其功能之后，筆者再次從不同視角引導學生來認識勾股定理。

首先引入習題：

（1）求下列直角三角形中未知邊的長。

（2）求下列圖中x、y、z的值。

學生獨立完成并交流后，教師啟發學生課后思考：如果以直角三角形三邊為邊長向外作正三角形，結論是否成立？作半圓呢？從而達到對知識的再鞏固。

四、讓學生感知勾股定理的生活應用

在知識講解的基礎上，教師還需引導學生將視野由課堂轉向課外，通過引入生活實例，進一步加深學生對課堂所學的理解，培養他們的知識應用能力，從而學有所用，提高數學素養。

例如，在綜合概括勾股定理的概念之后，筆者用課件引入生活實例：工人師傅想把一塊長3 米、寬2.2 米的長方形木板放進電梯運到樓上，然而通過測量發現，電梯門的寬度僅有1 米，高度為2 米。如果你在現場，你能否用勾股定理解決這一問題？

學生通過合作探究分析問題：顯然，豎著從正面是無法將木板放入電梯的，只有斜著放進去。設電梯門的四個角為ABCD，連接AC或BD，則得到了兩個直角三角形。已知電梯門的寬度是1 米，高度是2 米，運用勾股定理，則12＋22=5（米），大于木板的長和寬，因此可以斜著將木板放進電梯。

如此，通過實例的應用，提高了學生的知識應用能力，也提升了本課的教學質量。

總之，數學是一門極具抽象性的學科，與此同時，它也是一門工具性學科，廣泛應用于生活的各個領域。因此，作為初中數學教師，應當以最大限度引導學生透析數學的抽象性，通過以學定教，讓他們了解數學的工具性，帶動學生從解決實際問題的角度出發來學習數學，引導學生進入一個廣闊的數學天地。