研析教材立意 筑建多維課堂——以“兩角和與差的余弦公式教學”為例

江蘇省梁豐高級中學 劉 燕

在高中數(shù)學的公式教學中，教師應以教材為本，立足學生知識結構的最近發(fā)展區(qū)，著力提高學生在推導公式過程中的學力，培養(yǎng)學生對整個數(shù)學概念體系的把握，提升數(shù)學思維能力，進一步完善和發(fā)展數(shù)學認知結構。那么，如何合理有效地利用教材，使課堂的含金量更高呢？本文將從以下幾個方面進行探討。

一、以生為本，確立認知結構

皮亞杰認為數(shù)學認知結構有三個特性：整體性、轉換性、自身調整性。學生學習新知的過程離不開其原有的認知結構，在學“兩角和與差的余弦公式”前，學生已經(jīng)熟練掌握了三角函數(shù)的各項性質，周期性便是其中之一，從周期運動合成的角度提出變換的課題，不僅可以賦予三角變換以實際的意義，而且可以使三角函數(shù)變換的教學與“三角函數(shù)”“平面向量”的教學融于一體。

事實上，很多老師在教學的時候，認為它的落腳點太高，思維跳躍過大，學生可能很難理解，便摒棄了這個引入，直接讓學生求cos（60°-30°）及cos60°，cos30°，sin60°，sin30°的值，引導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)值之間的聯(lián)系，再通過幾個特例驗證，得到公式。這樣的引入看似非常自然和諧，課堂上你問我答，其樂融融，好不歡快，但實際的效果卻有待商榷。

二、以書為基，豐富課堂導入

教科書為學生的發(fā)現(xiàn)活動提供了廣闊的空間，教材里呈現(xiàn)的每一處數(shù)學知識都有它的“固著點”，從而為學生數(shù)學知識的整體化做準備。我們應該在此基礎上創(chuàng)設多維的課堂導入，滲透基于數(shù)學核心素養(yǎng)的數(shù)學文化，不妨選取以下案例：

案例1：20 世紀90 年代末，美國《數(shù)學雜志》開辟沒有文字證明的證明專欄，以數(shù)學史為背景的導入一下子受到了廣大數(shù)學愛好者的關注，右圖就是其中刊登的一個典型案例！思考：由圖，你能得到什么公式？

設計意圖：平面幾何是三角函數(shù)的“母體”，三角公式源自幾何命題，用平面幾何圖形的方法來研究三角運算及運動學自古而有之。初中研究的三角函數(shù)就是放在直角三角形中研究的，到了高中，我們要研究更復雜的三角問題，依然可以回到“最初的起點”，依托知識本身一脈相承的體系去尋找答案，這種能力的培養(yǎng)對學生至關重要，也是教材引入的意義和精髓所在。文獻[1]和文獻[2]的案例恰恰也佐證了這一點，特別是北京市第十中學的張麗娟老師的分蛋糕問題的構造是十分有新意的。

這部分內容可以讓學生課后自己查閱資料進行研究，并可進一步引發(fā)思考：若∠ABC=α,∠CBD=β，則可以得出什么公式？

通過一系列的研究，學生積極地思考、探索，定能較好地構建邏輯框架結構圖。

設計意圖：數(shù)學中的數(shù)與形是緊密相連的，三角函數(shù)也有與之對應的“形”，借助單位圓這一有效載體，數(shù)形結合，充分發(fā)揮圖形的作用，讓學生在更加直觀的情境下研究，培養(yǎng)學生科學地發(fā)現(xiàn)、理性地思考，提高分析、解決問題的能力。

三、以做為證，檢驗研究結果

愛因斯坦說過：“西方科學的發(fā)展是以兩個偉大成就為基礎，那就是希臘哲學家發(fā)明的形式邏輯體系（在歐幾里得幾何中）以及通過系統(tǒng)的實驗發(fā)現(xiàn)有可能找出因果關系（在文藝復興時期）。”史寧中教授也表示：“我們必須清楚，世界上有很多東西是不可傳遞的，只能靠親身經(jīng)歷。”智慧并不完全依賴知識的多少，而依賴知識的運用、依賴經(jīng)驗，你只能讓學生在實際操作中磨煉，過程的教育不僅僅是指在授課時要講解或者讓學生經(jīng)歷知識產生的過程，甚至不是指知識的呈現(xiàn)方式，而要注重對學生探究的過程、思考的過程、反思的過程的培養(yǎng)。

數(shù)學公式的學習亦是如此，讓學生真正去“做”、真正參與“數(shù)學實驗”，建立合理的、必然的數(shù)學知識、以“百科管理構建法”構建數(shù)學知識網(wǎng)絡。教師要注重學生學習創(chuàng)造的多維發(fā)展，為學生創(chuàng)設出“再創(chuàng)造”的思維空間，引申學生的無限創(chuàng)造性認知，而不能僅僅重視教學活動中知識的單向傳輸。

通過這樣層層遞進式的探究，可以幫助學生更好地感受向量與三角函數(shù)的緊密聯(lián)系，體會數(shù)學知識體系的博大精深。

四、以問為引，優(yōu)化思維過程

以問題引導思考為教學之常態(tài)，數(shù)學問題本身的魅力才是引領學生進行探索的關鍵，教師必須“以生為本”，充當一個“陪跑者”，盡可能幫助學生找到問題的“生長點”，構建更加清晰、完整的知識板塊，強化數(shù)學認知結構。如教師可以設置以下問題：

問題1：前面研究的角α、β有什么要求？

問題3：有了兩角差的余弦，如何得到兩角和的余弦、兩角和與差的正弦？為什么可以用-β直接換β？如何理解用-β代替β的幾何意義？

問題4：前面學的誘導公式與兩角和與差的余弦公式有何關系？

問題5：如何記憶這幾組公式？

設計意圖：通過問題串的形式，可以進一步激發(fā)學生的求知欲望，絲絲緊扣，對前面的研究進行“打補丁”，得到更一般的、科學的結論，拓展學生的數(shù)學思維方法，提高對問題的整合能力。

五、以思為歸，提升核心素養(yǎng)

教材是實施新課程的重要資源，教材的編寫凝聚著大量專家、學者的心血，是科學的、嚴謹?shù)摹⒎蠈W生認知結構、迎合時代發(fā)展要求的。教師應充分挖掘教材的設計意圖，選擇有效的教學策略，使學生在最有內涵的課堂中汲取養(yǎng)分，發(fā)展自己的學習能力。

江蘇省數(shù)學教研員李善良博士亦說過：“要想做一名優(yōu)秀的教師，就要學會定期反思，并把心得寫下來，以此來時常勉勵自己。”因此，有效的反思應是教學的最后一個步驟，也是至關重要的一個環(huán)節(jié)，“反思”是當代心理學中屬于元認知的概念范疇，反思性教學不僅僅是對前面知識點的一個簡單回顧，更是要深究學習活動中所涉及的知識、方法、思路、策略等，要從新的層次、更高的角度看到現(xiàn)實的不足，引領學生一起對所學的知識進行“重新組織”或轉換，使得學習者成為構造主義者。以本堂課為例，課中探討的兩角和與差的余弦公式的推導過程并不是盡善盡美的，肯定還有不足或是有更符合學生認知結構、更能提高學生數(shù)學素養(yǎng)的導入。一堂課的時間只有40 分鐘，但是同樣的40 分鐘賦予學生的意義卻是不盡相同的，教師需要親近學生、了解學生，多維度、多角度地培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，提高學生的“四基”“四能”及“六個關鍵能力”。