技能的習得與掌握：聚焦結構、原理與本質

朱潔芬

摘? 要：“角的度量”是小學數學技能習得與掌握中公認的學習難點。主要問題還是源于理解的膚淺與狹隘，僅僅關注操作程序的記憶。小學數學中技能的習得與掌握，需要聚焦其背后賴以支撐的知識結構、數學原理乃至哲學本質。可以通過巧織結構、妙聯原理、直通本質等策略，揭示其背后蘊藏的測量結構、測度原理、數學本質等，促進技能的大跨度遷移、規則的自主建構與深度反思等，從而讓技能習得與思維培養同步推進。

關鍵詞：角的度量;巧織結構;妙聯原理;直通本質

“角的度量”是小學數學技能習得與掌握中公認的學習難點。相對于長度、面積的測量來說，由于經驗缺乏，加之工具和方法也比較復雜，學生常常不能真正掌握其要領，學習效果很不理想。

筆者在對“角的度量”教學進行研究時，發現上述問題主要還是源于理解的膚淺與狹隘，即僅僅關注有關操作程序的記憶，忽視了相關規則的深度理解。筆者認為，該技能的習得與掌握，需要聚焦其背后賴以支撐的知識結構、數學原理乃至哲學本質。該技能的深度學習，可以從以下幾方面入手。

一、巧織結構促遷移

對于“角的度量”教學來說，難點很多，如單位、工具、方法等。就有可能要仔細思考，到底在哪個點上著力才能取得牽一發而動全身的效果呢？對此，不同的教師有不同的實踐。有的認為工具特別，著力于工具的理解;有的認為單位重要，著力于單位的建構;有的認為程序復雜，著力于規則的記憶，等等。然而，從現場效果來看，這些嘗試似乎都不盡如人意，多數教得很費力，學得也很吃力，面對變式時更是不知所措。

不久前，筆者觀看了福建林宏濱老師關于“角的度量”的教學視頻，不禁讓筆者眼前一亮。林老師首先在黑板上給學生出示了一組圖形：一條線段、一個長方形、一個銳角，讓學生依次說出它們的名稱。然后指著線段圖提問：要知道它的長度是多少怎么辦？在學生回答“用尺子量”后，隨即在黑板上板書：量。不過，接下去林老師并未出示直尺，而是呈現了一個1分米的線段教具，在未知線段上量了4次，得到4分米的結果。以此類推，又用1平方分米的教具在未知長方形上測量了3次，呈現3平方分米的結果。接著面臨角的時候，學生很快知道角的大小同樣需要“量”。在林老師要求學生比畫出單位的時候，大多數學生都比出了角的形狀，還能借助老師提供的10度小角輕松估測出一些整十數角的大小，有的還主動聯想到用量角器去測量驗證。更令人驚喜的是，在后續使用量角器的過程中，大多數學生還能自主否決頂端對齊的擺法，總結出“二重合”的規則。

“角的度量”之所以成為學習難點，是因為學生日常生活中對角的度量的經驗很貧乏，而從線段度量到角的度量的跨度又比較大。上述教學在沒有揭示角的度量單位、工具與規則的前提下，學生能自主類推、修正、建構，其實是源于林老師教材處理的結構化意識，將過去所學的線段測量、面積測量等看似很不相關的規則，基于“測量”背景，重新組織成一個有序的結構，同時輔以精心選擇的教具和精心設計的提問，讓學生感受到各種“量”不再是一個個孤立的技巧，而是一個有著內在統一的結構，正是這種結構的編織與顯性化，促進了數學技能的大跨度遷移。

二、妙聯原理建規則

著名數學教育家張奠宙教授在談長度測量問題時曾經指出，測量不僅僅是拿刻度尺去量一條線段的長短（那屬于物理學范圍），數學測量的本質是給每一條線段以合適的數;這個數的指定方法必須滿足“有限可加性”“運動不變性”和“正則性”三個條件。這就是現代數學中的測度理論。張教授認為，數學意義下的測量過程，雖不必把測度論的那一套搬到課堂上，但應該想方設法把這一套思想方法深入淺出地呈現出來。否則，不能算是理解了測量的數學本質。可喜的是，張教授的倡導正進入“數學教學圈中人”的視野。

我們不妨還是來看看林老師的教學。在認識角的單位時，他把一個周角平均分成了36份，得到36個10度小角，其中第1份小角又被分成10個1度的小角。在學生認識1度的角以后，林老師指著由10個1度組成的角，讓學生說說這個角是多少度。第一位學生明顯遇到了困難，其他學生經過長時間的思考，終于認識到這是10度。不過深諳測度論的林老師知道這是引導學生認識“有限可加性”的時機，于是追問：為什么是10度？引導學生理解這是因為它是由10個1度累加起來的。接著林老師引導學生逆時針觀察36份中的第4份小角（尚未像第1份那樣被分成10個1度小角），讓學生說說這個角是多少度，結果學生遇到的困難更大了，不少學生認為這是40度！為了讓學生理解更為深奧的“運動不變性”，林老師改為讓學生做選擇：這個角到底是40度還是10度？學生們豁然開朗：它還是10度，仍然是由10個1度角累加起來的，只是相當于第一份10度的小角移動了位置而已。

接下去林老師將上面背景中第一份10度小角留下，在它的左上方另呈現一個30度的角，基于上面的測量結構的啟發，學生很快知道可以用10度小角去量，很容易看出它有3個10度，所以是30度。然后，林老師讓學生估計黑板上最先呈現的那個銳角，學生也能輕松想到用10度小角去量，有的還想到了用量角器。于是林老師讓學生簡單認識了一下量角器，就讓學生自己嘗試量角了。

根據課堂巡察，林老師選擇以下兩種通過投影同屏呈現：第一種是角的頂點對準0度刻度線左端的;第二種是標準量法。先讓學生自主比較、做出判斷、說明理由。雖然學生對量角器很不熟悉，但借助10度小角這一獨特的測量工具和對“有限可加性”的理解，很多學生居然能很輕松地發現第二種量法是正確的，有的還能對標準量法進行一些零星總結：比如角的頂點與量角器的中心重合，零度刻度線與角的一條邊重合，測量的結果要注意在內外圈中選一個，等等。至于為什么要這么做還說不太清楚。

接下去林老師呈現“二重合”背景下向左或向右開口的40度、120度、130度等大小不同的整十數度數的角，學生都能輕松應對，并借助10度小角進行解釋。隨著速度的加快，學生不得不扔掉10度小角的協助，直面兩圈讀數的選擇……終于有學生出錯了！不過，借助10度小角，他們還是能很快自主解釋錯誤的理由并修正。有學生還找到了選擇的竅門——看用的是哪條0度刻度線。

最后，林老師讓學生用量角器獨立量一個110度的鈍角，大部分學生都能量對，但有一個學生量出了140度！不過，立即有學生發現：這種量法也是可以的！只是這種量法還要減，不夠簡便;只有“二重合”才是最簡便的。于是，學生又理解了即使使用量角器量角，方法也可以是多樣的。

林老師“四兩撥千斤”的教學讓我們發現，有測度原理打底，無須先認識量角器再去量角，二者完全可以同步推進，相輔相成，最終實現量角器的自主認識和量角規則的自主建構，實現教學效率的顯著提升。

三、直通本質啟哲思

“角的度量”教學是否還有更高的境界？在數學教學期刊上，筆者看到浙江的俞正強老師作為“數學教學圈中人”的高手，為我們做過一次極為與眾不同的嘗試。

在引入階段，俞老師出示了下面五個角的圖形：0度、45度、90度、135度、180度，從小到大依次編號排成一行予以呈現，每個角還刻意凸顯了它們的頂點和邊。先引導觀察：哪個角最大？哪個角最小？再引發思考：如果用一個數來表示每個角的大小，你會用哪個數來表示？基于熟知的特殊角的引領，學生居然能輕松完成“賦形以數的創舉”。

接著，讓所有人想不到的是，俞老師還給出了下面的問題：“②號角”用10度表示可以嗎？超越常理的提問，迅速激起了思維的狂浪。經過激烈討論，終于有學生理解了數學“賦形以數”的約定性、標準的相對意義和價值等，從而實現“賦形以數”的再次飛躍。

然后，俞老師又把上面五個角標上刻度合在一起，建構成一個類似量角器的圖形，在它的旁邊出示一個未知的“⑥號角”。學生迅速發現，只要把這個角放進上面的背景圖形中，大體能估量出它的范圍;只不過放入的時候要頂點對著中心點，一邊對著0度刻度線等。

最后，俞老師讓學生取出單圈、雙圈量角器量角，學生均能無師自通，想到此時要反過來，只要用可移動的標準——量角器去比未知的角就可以了。

俞老師的成功之處在于完全跳過了量角器的認識，直通測量的本質——測度原理，顯然，這樣的教法有利于避免物理性測量可能產生的感性迷惑，直接抵達對數學的哲學把握。

在研究此案例的過程中，筆者還發現，上海的潘小明老師還曾讓學生去量鐘面上的時針和分針形成的角，除了“量”，不少學生還想到了“算”，感受算法的精確性。對此，筆者還曾組織學生開展過進一步的討論：如果“量”與“算”的結果不一致，你更愿意相信哪一個結果？有些學生還能初步感悟到數學結論的可靠性與其他自然科學在本質上的不同。

諸多成功案例啟示我們，對于“角的度量”這種復雜的數學技能學習來說，如果能適時適度揭示其背后蘊藏的測量結構、測度原理、數學本質，就能有效地促進小學生對該技能的理解，從而有效地推動該技能的習得與掌握。由此觀之，其他技能學習實際上也離不開理解的參與。只有基于理解的技能學習才能讓小學生走進“自能”“自得”的學習境界。當然，這樣的理解到底應該定位于怎樣的深度和層次，教師可以依據學生的數學基礎和理解力做出合理的選擇。那種僅僅局限于規則記憶、反復操練的技能學習，不利于技能的習得，更不利于思維的激發與培養。