厘“逆”之理實“順”之基
——《加法和減法》教學與評析

執教/朱孟迪 評析/劉善娜（特級教師）

《加法和減法》這節課有兩個重點：其一是建構加法和減法的意義，其二是回顧并整理加、減法各部分間的關系，建立完整的知識結構。教材以青藏鐵路為現實背景，解決西寧——格爾木——拉薩鐵路線問題。先解決西寧到拉薩的鐵路長多少千米，以此來建構加法的意義，接著變換已知數和未知數，呈現問題，在解決的過程中引導學生概括減法的意義。在此基礎上，回憶加、減法中的各部分名稱，探究各部分之間的關系。

這節課常見教學流程是：呈現加法學習素材→建構加法概念→舉一反三豐富素材→發現加法各部分關系→建構減法概念→討論各部分關系→練習深化。但是這樣的過程會因為學習內容缺乏挑戰性、概念的抽象過程具有枯燥性而讓學生覺得索然無味。那么，是不是能找到一個點，將散亂抽象的點狀學習材料都“串”起來呢？我們進行了這樣的嘗試：

一、課前談話初識“逆”

師：（課件出示“逆”）同學們，認識這個字嗎？說一說你對它的理解？

生：倒過來、反過來、反著來。

師：數學中，有時也會用到這個字，一起讀一讀：“減法是加法的逆運算。”你能根據自己的經驗解釋一下這句話嗎？你可以列一列算式，畫一畫草圖，寫一寫文字，來表示自己的想法。

二、自主表征感知“逆”

作品一：（算式）

5+3=8 8-3=5

生：加法是把兩個加數加起來，減法是從和里面減去一個加數。

師：你的意思是加法是告訴加數和加數，求和；而減法呢？

生：減法是告訴和與其中一個加數，求另一個加數。

師：是嗎？讓我們找一找——減法中的8，相當于和；減法中的3，相當于加數；減法中的結果，相當于另一個加數。形成板書：

師：他發現——加法是告訴我們加數和加數，求和；減法是告訴我們和與其中一個加數，求另一個加數。這就是你們心目當中的逆運算，對不對？

作品二：（線段圖）

師：這幅線段圖逆在哪里呢？

生：左邊是把兩個數5 和3加起來；右邊是已知一個加數5與和8，求另一個加數，或者是已知一個加數3 與和8，求另一個加數。

師：你的意思是左邊這幅圖告訴我們加數與加數，求和；右邊兩幅圖告訴我們和與一個加數，求另一個加數。這位同學還從一道加法，變出兩道減法來，真不錯。

作品三：（文字）加法是越加越大，減法是越減越小。

生：加法是越加越大，減法是越減越小，所以減法是加法的逆運算。

師：你能舉個例子嗎？

（7+2=9 7-2=5）

師：你能看著這個加法算式（7+2=9），變出兩道減法嗎？

生：9-2=7，9-7=2。

師：你們看下圖，一變就變出了逆的感覺。同學們看看，這道題（7-2=5）是這道題的逆運算嗎？（不是的）那它是怎么逆過來的呢？（2+5=7）

三、厘清關系構建“逆”

師：同學們真厲害，借助自己的經驗，想到多種方法來解釋“減法是加法的逆運算”。現在你來說說看，什么是加法？什么又是減法？

師：你們看，減法好可憐呀！它沒有專屬自己的核心詞，而是僅僅依靠加法中的“加數”、“和”這樣的核心詞。正因為如此，更讓我們感受到減法是加法的逆運算。來，讓我們再來讀一讀——你讀出“逆”的感覺了嗎？真好！在數學上，相加的兩個數叫做加數，加得的數叫做和。

四、充實素材再議“逆”

題組1：在求解中強化關系理解。

快問快答——已知什么？要求什么？

【設計意圖：這是一組針對性練習，針對加減法的各部分關系而設計。學生回答后要追問：“你認為哪些題要逆過來進行思考？”進一步引導學生關注“逆”關系。】

題組2：具體問題中抽象內化運算意義。

【設計意圖：這一層練習，分為兩層推進，感受不同的“加法”和“減法”結構所體現的相同意義。學生發現同一個“數學故事”，隨著信息和問題的交換，解決問題的方式就會“互逆”。線段圖，則使學生對加減法的意義有更好的理解。】

題組3：編題中感受“互逆轉化”。

【設計意圖：“運走”、“剩下”是減法問題常見的信息描述語。求“原來”是逆推。通過這一題的解答以及隨后的自行編題“你能把這道題的問題和信息逆過來，改編成用減法解決的問題嗎”讓學生從題組中對比感知問題中蘊含的加減法關系。】

五、理清關系深化“逆”

1.回憶舊知，進行聯系。

師：同學們，回憶舊知，你們有沒有發現“減法是加法的逆運算”這個原理，我們似曾相識？

檢驗減法計算結果是否正確，我們可以用加數來驗算。一圖四式中，既有加法，又有減法，計算減法時，也可以利用逆運算快速得到答案。

2.整合理解各部分關系。

（1）動筆解答。

23 +（ ）=125，125 -（ ）=23，125+23=（）；

（）-125=23，（）-23=125，125-23=（）。

（2）分類觀察。

師：根據答案給它們分分類，你有什么新的發現？

生1：我發現，和=加數+加數，加數=和-另一個加數；被減數=減數+差，減數=被減數-差，差=被減數-減數。

生2：我發現，求和與求被減數竟是一樣的！

師：有這么神奇嗎？

（學生再觀察算式，并形成這樣的板書：和=加數+加數 被減數=減數+差）

生3：我還發現，求加數，與求差，求減數，也是一樣的。

（板書：加數=和-另一個加數，減數=被減數-差，差=被減數-減數）

師：同學們，這些加減算式中，竟然還存在如此多的關系，我們看到了它們“變中有不變”的意蘊！現在，你認為加法和減法，哪個更基礎？（加法）是呀，有時它這樣呈現——告訴我們兩個加數；有時它這樣呈現——只告訴我們一個加數，只要我們找到基本關系，火眼金睛進行辨析，就可以很快得到答案。你掌握這些方法了嗎？馬上完成“學習單”第2 題。

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六、強化練習完善“逆”

1.算一算，破難點。

【設計意圖：針對學生的易錯點設計。追問“為什么題目中有‘加’，卻用減法做”“為什么題目中有‘減’，卻用加法做”？讓學生明白加減法互逆關系，如第2 小題的“我”既可以理解成“求和”，也可以理解成“求被減數”，能加深互逆關系理解。】

2.填一填，練重點。

【設計意圖：通過追問第2 小題“為什么想到是一道減法呢”，學生既可以想到“被減數-差=減數”，也可以想到“求一個加數要用減法”。】

【設計意圖：利用沒有學過的異分母分數加法，考查學生靈活應用加減法的關系來解決問題的能力，尤其是呈現圖形之間的關系，更是考查了學生對加減法意義與各部分關系的理解程度。】

【評析】

這節課的學習內容看似非常簡單，課后習題就算不教學生也會做，但整個學習材料較多、板塊瑣碎，加減法的“意義”、“關系”的表述都比較抽象，與兒童的經驗性語言并不契合，都需要加以引導和提煉。因此尋求清晰的教學路徑、生動地組織起所有學習材料，是執教者設計本課教學的出發點。

朱老師尋求到了很好的一個點，使整節課有“探”有“論”，有概念理解也有難點挑戰，將一節看似無味的課上得有深度又有趣味。而這個“點”，就是“減法是加法的逆運算”的“逆”。這個“逆”關系不僅體現在“加減法的意義”上，更體現在“加減法各部分之間的關系”上。“逆”為核心的教學，就是關系角度的教學。學生借助“逆”關系的探究，建構加、減法的概念，形成加減“逆”關系的感悟。與此同時，借助“逆”關系，架起了加法內部關系式、減法內部關系式、加減關系式的橋梁，形成了以“加法模型”為基礎的加減法關系網。主要凸顯了三個特色：

1．“逆”字切入，探究先行。

為什么說“減法是加法的逆運算”？這個問題并不好回答。所以，朱老師分兩步走：你認識的“逆”字是什么意思→“逆運算”又是什么意思。學生對“逆”字的理解，基本會表達為“逆反”、“相反”、“反著來”。這番輕松的對話，有助于所有學生對“逆運算”的理解。而什么是“逆運算”，朱老師則放手讓學生自己探究“你能根據自己的經驗解釋一下這句話嗎？你可以列一列算式，畫一畫草圖，寫一寫文字，來表示自己的想法”。

自主探究與表征，學生會出現幾個層次，其中以加減法算式舉例居多，集合圖與線段圖相對少，文字表達的更少，體現了學生具象表達能力占優的特點。讓學生自己思考、表征貼近了學生已有的四則運算經驗，在后續的交流中，朱老師利用學生的表征圖式引導學生進行了抽象和提煉，“從學生中來”的探究素材，使學生的認知經驗得到了有效的提升。

2．緊扣“逆”意，搭建框架。

概念教學的一般路徑為：建立表象→豐富表象→完善概念。倘若按這樣的思路設計教學，通常是這樣的流程：學生表征加法→教師補充素材→形成加法概念→加法變式→建構減法概念→教學加減關系。

本課的教學顯然又與之不同，框架簡潔清晰：學生表征“逆”關系→借助“逆”建構加法與減法概念→利用“逆”關系重構關系網。“逆”關系架起了本課框架，呈現了兩個特點：（1）“逆”為載體，能同時呈現加法與減法的概念。（2）“逆”為根源，構成關系網。這樣，就將“多”、“散”“乏味”的素材串了起來，其中的關聯與意義表達成了學生感覺“神奇”的知識點。

3．厘“逆”之理，實“順”之基。

“加減關系”存在著千絲萬縷的關系，加法是基礎，是學生順向的思維方式，這為學生進一步理解減法和后續學習提供了思維支撐。扎實“加法模型”，將推導出的其他關系式梳理成網，能夠幫助學生減輕名稱上的記憶負擔，進而提高學習的實效。