操作中體驗 思考中提升
——數學拓展課“智取數棒”案例分析

王雪晴 吳玉蘭

【課前思考】

小學數學教材中有一些開放性習題設計得非常巧妙，蘊含了豐富的數學方法和思想。如果以拓展課的形式開展學習、探究活動，既可以避免單一沉悶的做題模式，又可以開闊學生的眼界，發展學生的思維。

例如，浙教版《數學》二年級下冊中有這樣一道題：

再如，浙教版《數學》五年級上冊中有這樣一道能力題：

兩道題雖然內容和難度上有所區別，但也有諸多相似之處：第一，難度上兩道題均屬于提高題，對學生思維有一定的挑戰性；第二，內容上都是通過不同數碼間的組合來得到更多的數，滲透了位值思想和組合思想。

基于這兩道題的啟發，筆者設計和開發了“智取數棒”數學拓展課。根據二、三年級學生特點，內容設計為：用1～10 號數棒擺數，探究“如何用盡可能少的數表示更多連續的數”這一問題。整節課力圖讓學生經歷“提出猜想—操作驗證—總結策略—發現規律”的過程，積累活動經驗，提升數學表達能力，發展抽象思維和審辨思維。同時，在生活實例中，完成數學知識的生活回歸，體會數學的實際應用價值。

【教學過程】

一、認識數棒，感知方法

1．游戲熱身，明確數棒可以表示數。

（1）認識數棒。

師：今天老師為大家準備了數棒。這是* 號數棒，表示*。（PPT 逐一呈現1～10 號數棒）

師：接下來我們比一比眼力。待會兒屏幕出現一些數棒，請大家快速報數。

（學生看數棒報數）

師：最后一幅圖怎么那么快就知道了？

（2）揭示課題。

師：看來，一根數棒能表示一個數，幾根數棒組合也能表示一個數。（板書：組合）這節課我們就一起用數棒來擺數。

2．初次操作，熟悉數棒的作用。

師：如果用數棒表示“6”，你有幾種不同的方法？試一試。

（結合學生的回答，PPT 依次呈現4 種不同表示方法）

師：為什么2＋2＋2 不可以？

生：每種數棒只有一根。

師：看來同樣表示6，我們既可以用一根數棒來表示，也可以用幾根數棒組合起來表示。

【評析：數棒是本節實驗課的主要學具。本環節采用報數游戲和活動操作兩種形式，在充分調動學生學習興趣的同時，加深學生對數棒的認識，明確數棒在這節課中的作用，感受“一個數既能用一根數棒來表示，也可以用幾根數棒組合起來表示”，為后面用數棒組合起來表示數做鋪墊。】

二、初次活動，探索策略

1．提出問題，進行猜想。

師：如果現在要把1～7 都表示出來，你覺得需要選幾根數棒？

生：7 根。

師：把1～7 號全選出來，很方便的方法。有不同的想法嗎？

生：6 根。（追問：哪6 根？）

生：1～6 號全選出來，“7”就用1 號加6 號表示。

師：“7”就用1＋6 組合來表示，好方法。

2．自主探究，分享交流。

（1）獨立研究：最少需要幾根數棒，就能把1～7 都表示出來。

活動建議：

①想：1～7 分別怎么表示。

②選：選你覺得必選的數棒。

③寫：用數或算式記錄取法。

④調：如果有更少的情況，在“嘗試二”中調整。

（2）小組交流：①說：你的方

法（根數最多的先說）。②想：怎樣讓數棒盡可能少。

（3）全班交流：用手勢表示你們小組最少用了幾根（有4 根、3根）。先請多的小組來分享，誰愿意把你們的想法和大家分享？

學生方法一：

生：我們一開始選了5 根，后來調整成了4 根。

師：你們為什么要進行這樣的調整？

生：因為5 可以用1＋4 代替。

師：哦，看來能用其他組合來代替的數可以不選。

學生方法二：

生：我們也是選4 根的，但是選法和前面的組不一樣。

學生方法三：

生：我們一開始選了4 根，后來發現選1、2、4 三根就可以。

師：選3 根真的可以嗎？我們一起來看一下。（帶領全體學生一起查一遍）看來3 根數棒真的可以表示7 個數。還有更少的嗎？

生：不可能更少了，因為1 是一定要選的，其他再選一根，兩根小棒最多也只能表示3 個數。

3．提煉方法。

（1）對比觀察：同時投影以上三幅作品，并請學生對比觀察，說說有什么發現？

生：有一些數可以加起來表示的，就不用再選了。比如3 能用1＋2 表示的，就不用再選3 了。

（2）逐一驗證。

師：看來你們覺得要讓數棒最少，能組合表示的就不用選，不能組合表示了再去選。那么哪些數可以通過組合來表示，哪些不可以？我們一起來看看。

師：1 怎么表示？

生：只能用1 表示，所以1 號數棒必須選。

生：2 等于1＋1，但是數棒不能重復使用，所以只能用2 號數棒來表示，2 號數棒也必須選。

生：3 可以用1＋2 表示，3 號數棒就不用選了。

師：3 能用組合表示了，可以不選。4 呢？

生：要選，因為1＋2 最多只能表示到3，4 表示不出。

師：哦，不能用組合表示了，就要選了。剩下的數棒該怎么選？用剛才的方法說給同桌聽一聽。（學生交流基礎上板書5～7 的選擇情況）

（3）提煉方法。

師：怎樣選用的數棒最少？誰能用簡潔的語言來說一說。

生：能組合表示的就不選，不能組合起來表示了，再選數棒。

（根據學生的回答板書：能組合表示，不選；不能組合表示，要選）

小結：看來，能組合時不選，不能組合時再選，用這樣的方法選數棒，所用數棒是最少的。

【評析：新課程改革下的數學課程，重視學生活動經驗的積累。本環節以“表示1～7 最少需要幾根數棒”做為任務驅動，學生在自由猜想、自主探究、分享交流、觀察對比的過程中，總結出取數策略；在操作、調整、審辨的過程中一步步接近問題的“真相”，體會有序思考，獲取解決問題的策略，積累活動經驗。】

三、再次探究，運用策略

1．獨立探究。

（1）提出問題：只用1、2、4 三根數棒就能表示1～7，如果要表示出1～15，最少要幾根呢？

（2）獨立探究。

活動建議：

①想：1～15 分別怎么表示。

②試：能動腦的動腦想；有困難的用數棒試一試。

③寫：用數和算式表示你的取法。

（巡視發現：大部分學生能用剛才的方法逐一表示1～15，小部分學生發現1～7 不用重復思考了，直接思考8～15 怎樣表示）

2．交流整理。

生：我用剛才的方法，從1 開始想，1 和2 都要選，3＝1＋2，4＝1＋3……

生：不用這么麻煩的。剛才我們已經用1、2、4 表示了1～7，所以我們不用再去管這7 個數了，直接去想8～15 怎么表示就好。用1、2、4 不能表示8，所以8 要選。選了8 以后，就和剛才的同學一樣，直接能組合表示到15。

師：你們真能干，知道利用已有的成果去研究新問題。兩位同學都想到了選8 號數棒，你們的想法也是這樣嗎？你們是怎樣想到的呢？

生：因為8 不能由1、2、4 組合表示了，所以必須得選8。選了8 以后，發現9、10、11、12、13、14、15 都能組合表示出來了，所以不用選。

師：哦，看來也是用了剛才的方法，不能組合表示的必選，能組合表示的不選，這樣就能選到最少的數棒了。

【評析：本環節是已有方法與經驗的再應用，引導學生用第一次活動中得到的經驗解決新問題。活動的開展考慮到了學生的差異，有困難的可以用小棒擺一擺，幫助思考。這樣的設計，既使能力強的學生從操作走向理性的思考，又使有困難的學生有學具可依，滿足了不同學生的個性化需求。同時，反饋時引導學生進行策略的優化，梳理最佳解決方案，使學生的思維進一步深入。】

四、觀察思考，拓展延伸

1．提出問題：再選一個數，繼續表示盡可能多且連續的數，你會選哪個數？能表示哪些數？

2．獨立思考（完成《學習單》第三部分）。

3．發現規律。

師：從表格中能發現什么？

生：選擇的數中，后面一個數＝前面一個數×2。

生：能表示的最大的數就是所有數加起來。

生：最大的數×2-1 就等于能表示的最大的數。

師：你們真會思考。原來所選的數之間有兩倍的關系，選擇的數和能表示的數也有聯系。選數棒游戲里，竟藏著這么多奧秘。

4．課堂小結。

（1）今天這堂課學了什么？

（2）我們是怎樣選數棒的？

師：能組合的不選，不能組合再選，這樣，就能用最少的數表示出盡可能多的數。像這樣的例子，生活中也有很多。比如：人民幣、羅馬數、計算機編碼、天平砝碼……

【如果前面環節“先給定要表示的數再去選數”是一種逆向思維，那么本環節“用給定的數去表示更多的數”就是一種順向思維。思維的轉換，有利于學生高階思維的培養。同時本環節結合生活實例感受“用盡可能少的數碼能表示能多的數”的數學思想，體現了數學的實際應用價值，實現了數學知識的生活回歸。】