三種特殊行列式及其推廣型的計算方法

李雅雯 劉彩云

【摘 要】本文分析了爪型行列式、兩三角形行列式和范德蒙德型行列式這三種行列式的特點，并通過對典型例題的求解分析，更加直觀地介紹了這三種特殊行列式及其推廣型行列式的一般計算方法。

【關鍵詞】爪型行列式;兩三角形行列式;范德蒙德行列式;三角形法;加邊法;拆項法

行列式的計算是高等代數的基石和入門學習的難點。數學問題的開展、證明和研究過程都涉及行列式的計算。階行列式的樣式各不相同，其計算方法也靈活多變。本文主要討論三種特殊的行列式及其推廣型的計算方法，并通過具體例題詮釋計算要領。

1? ?爪型行列式

1.1? 爪型行列式的特點及其計算方法

爪型行列式的特點是行列式中的非零元素排列形如“爪”字形，即除了第1行（列）或第行（列）及主（次）對角線上的元素外，其他元素均為0[1-2]。對于爪型行列式，可以利用主對角線元素或次對角線元素將一條邊消為零，使其化為上（下）三角形行列式。如

1.2? 可化為爪型的行列式的計算

一些行列式雖然不是爪型行列式，但除了主對角線元素外，每一行元素或者每一列元素均相同，此時應采用加邊法[3]，將階行列式化為階，再通過行列變換轉化成爪型行列式。如階行列式，即根據行列式的特點，給加邊，將第1列加邊后的-1倍加到后面的每一列，將化成爪型行列式，再運用爪型行列式的計算方法即可。

2? ?兩三角形行列式

兩三角形行列式的特點是對角線上方的元素都相同，對角線下方的元素都相同。當上、下三角形元素均相同時，該行列式與爪型行列式的推廣型具有相同的特點，因此，可采用加邊法將其化為爪型行列式進行計算。當上、下三角形元素不相同時，需使用拆項法[4]，即將行列式的某一行或者某一列的所有元素寫成2個數的和，將該行列式拆分成2個行列式和的形式。運用拆項法時，一般是將行列式拆成有某一行元素完全相同或者某一行除一個元素之外全為零的形式，目的是便于得到遞推關系，進而計算行列式的值。

將第1行乘以，第1列乘以，就能將主對角線以上的元素化成，對角線以下的元素化成，從而將該行列式轉化成兩三角形行列式的第2種情況。

3? ?范德蒙德型行列式

3.1? 范德蒙德型行列式的特點及其計算方法

如果行列式的每一項為兩個元素積的形式，且每一項均為次冪，每個元素的方冪逐行（列）遞減（增），此時直接運用行列式的性質將其化為范德蒙德型行列式。

該行列式每一行按的方冪遞減，將第行除以就可將該行列式轉化成范德蒙德型行列式。

若行列式的元素方冪逐行遞減，但不連續，存在間斷的方冪，則可通過補全缺少的方冪行的方式，構造成范德蒙德型行列式;也可通過拉普拉斯展開，獲得新行列式與原行列式的關系，進而求出原行列式的值。如階行列式不是范德蒙行列式的標準形式，但它與標準形式比較相似，缺少方冪為的行，因此可以在補上這一行后利用范德蒙德型行列式的性質計算，具體如下。

將按照最后一列展開可得：。因此的系數為，的系數又可以表示成，因此。

3.2? 利用拆項法化為范德蒙德型行列式

面對行列式每一項為2個元素和的形式，且存在元素方冪逐行（列）遞減（增），這種情況時，通常運用拆項法，得到2個范德蒙德型行列式，如例1。

觀察這道題可以發現，直接拆項無法得出結果，同時還可以發現行列式每一項均含有元素1，因此首先采用加邊法，即。

總之，進行行列式計算的關鍵就在于善于發現元素之間的關系，然后選取合適的方法轉換、簡化行列式，進而有效計算出階行列式的值。

【參考文獻】

[1]北京大學數學系前代數小組編.高等代數（第四版）.[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]孫忠洋.談兩個特殊行列式在教學中的運用[J].邢臺學院學報，2018（2）.

[3]唐天國.試析高等數學行列式計算加邊法的應用思路[J].黑河學院學報，2018（6）.

[4]于雪，張秋生.一個行列式的計算技巧[J].數學學習與研究，2013（21）.

[5]楊艷麗，范德蒙行列式及其應用[J].數學學習與研究，2015

【作者簡介】

李雅雯（1997～），女，湖北武漢人，長江大學應用數學2019在讀研究生。研究方向：大數據分析。

【通訊作者】

劉彩云（1975～），女，湖北潛江人，博士，副教授，碩士研究生導師，主要從事小波分析、重磁數據處理與解釋、基礎數學的教學與研究工作。