隨機游走問題分析與求解

高宏

【摘要】隨機游走問題是一個著名的數學問題，其答案被譽為數學史上250個里程碑式的發現之一.本文首先分析得出隨機游走問題的本質是求解隨機過程樣本軌道特性，并指出Polya使用概率方法在狀態空間求解樣本軌道特性的方法錯誤，以及將狀態空間原點當作樣本軌道原點的概念錯誤.本文使用函數分析方法分別在時域和頻域求解隨機游走樣本軌道位移，得出了醉漢不斷遠離原點的結論，從而推翻了Polya醉漢最終一定會返回原點的結論.

【關鍵詞】隨機游走，樣本軌道，狀態空間，常返性

一、引 言

隨機游走（Random Walk）是概率論與隨機過程學科中用于描述隨機現象的一種基本隨機過程.液體中懸浮微粒的布朗運動、空氣中的煙霧擴散、股票市場的價格波動、慣性導航儀表中的隨機漂移等現象均可用隨機游走模型進行描述.

1905年，英國統計學家Pearson（1905）在《自然》雜志上公開求解隨機游走問題：如果一個醉漢走路時每步的方向和大小完全隨機，經過一段時間之后，在什么地方找到他的可能性最大？1921年，美籍匈牙利數學家Polya在研究隨機游走問題后，提出了著名的隨機游走定理（Matrix，2012），證明一維或二維隨機游走返回原點的概率為100%，從而得出了醉漢最終會返回原點的結論.Polya隨機游走定理被譽為數學史上250個里程碑式的發現之一（Pickover，2015），日本著名數學家角谷靜夫將其形象地表述為：醉鬼總能找到回家的路.

本文指出Polya使用概率方法在狀態空間求解樣本軌道特性的解題方法錯誤，以及把狀態空間原點當作樣本軌道原點的概念錯誤，并使用函數分析方法分別在時域和頻域求解隨機游走問題，得出了一維隨機游走隨時間不斷遠離原點的結論，從而推翻了Polya醉漢最終一定會返回原點的錯誤結論.

二、問題分析

（一）一維隨機游走問題

即醉漢或質點距原點的距離與時間成正比，醉漢或質點離原點越來越遠.

下圖為利用式（1）的隨機游走樣本軌道模型仿真10條樣本軌道n=1 000步時的曲線，其中的白噪聲ε（n）服從（0，1）正態分布.從仿真曲線可以看出，每條樣本軌道距原點的距離均與時間成正比，即從原點出發的隨機游走醉漢或質點離原點越來越遠.

六、結 論

本文首先指出Pearson的隨機游走問題是求解隨機過程樣本軌道特性問題，同時指出Polya使用概率方法在隨機過程狀態空間求解隨機游走問題的方法錯誤，并將隨機過程狀態空間原點當作樣本軌道原點的概念錯誤.本文使用函數分析方法分別在時域和頻域求解隨機游走過程樣本軌道的位移，均得出一維隨機游走隨時間不斷遠離原點的結論，從而推翻了Polya一維隨機游走最終一定會返回原點的錯誤結論.

【參考文獻】

[1]Karl Pearson.The Problem of the Random Walk[J].Nature，1905（72）：294.

[2]Matrix.神奇的數學定理[J].數學教學通訊，2013（26）：4-5

[3]Clifford A.Pickover.數學之書：數學史上250個里程碑式的發現[M].陳以禮，譯.重慶：重慶大學出版社，2015.

[4]Sheldon M.Ross.隨機過程[M].龔光魯，譯.北京：機械工業出版社，2013.

[5]Jonathan Novak.Polya的隨機游走定理[J].數學譯林，2016（3）：281-285.

[6]王國勝，王震.談談簡單隨機游動[J].德州師專學報，1998（2）：9-12.