高臺跳雪最佳起跳角度理論分析與數值計算研究

于耀

（北京市中關村中學，北京 100086）

1.引言

1.1 研究背景及意義

高臺跳雪運動起源于西方，它本是挪威用來處罰犯人的一種酷刑，后來演變為一種極限運動并在1924 年第一屆冬奧會中被列為正式比賽項目。根據國際跳雪聯合會規定，其在冬季奧運會和世界跳雪錦標賽的跳雪比賽中共設有70m 級臺和90m 級臺兩個級別，并在1971 年國際跳雪聯合會的決定中制定了每兩年舉行一次世界跳臺跳雪錦標賽的賽制。高臺跳雪運動的基本規則是運動員腳穿特制的跳雪板，在不借助任何外力的情況下從起滑臺起跳，在助滑道上獲得高速，身體隨之迅速前傾與跳雪板形成銳角角度，其后運動員沿著拋物線在空中飛行直到著陸坡著陸，然后繼續滑行至競賽停止區。本項運動由于跳臺助滑道及起跳端的角度等不同，加上溫度、風向、風力及雪質等自然條件的差異而導致跳雪的性能也隨之變化。因此，一直以來跳雪比賽只有最好的成績而沒有過世界紀錄，因中國的跳臺跳雪運動發展較慢、水平偏低，雖然從2003年開始我國跳臺跳雪運動員通過獲得的贊助常年在奧地利訓練，水平有了一些提高，但相比世界高水平運動員還有很大的差距。為了讓我國的跳雪運動員在2020 年冬奧會取得更好的成績，本文以《高臺跳雪最佳起跳角度理論分析與數值計算研究》為題探究了跳雪運動中所蘊涵的科學原理，希望能為我國高臺跳雪運動做出小小的貢獻。

高臺跳雪若將運動員起跳后當作一個質點來處理，那么其運動過程將是物理中典型的斜拋運動模型。有關拋體運動的研究可以追溯到牛頓時代，在牛頓的經典之作《自然哲學的數學原理中》首次闡明物體受力與運動之間的緊密關系，即牛頓第二定律。當物體初速度方向與加速度的方向不在一條直線時，那么物體在空間中的運動軌跡將是曲線。高臺跳雪起跳后的運動員僅受到重力作用，起跳角度與重力方向有一不為零的夾角，因而起跳后的運動員在重力的作用下將作斜拋運動，高臺跳雪的運動過程可以抽象為一個斜拋運動。

本文通過求解跳雪運動員起跳角度與其落點距離之間的數學關系，利用數學三角變換最終求取最佳理論起跳角度。并在計算機中，輸入所建立的運動學方程可得到一些列數值計算結果，從而驗證了理論計算的正確性。

1.2 國內外研究現狀

有關高臺跳雪以及拋體運動的研究已有大量文獻報道。沈衛對斜拋運動的分解方法進行了創新性研究[1]，將原本的正交坐標系變換為斜交坐標系，從而使得在利用斜交坐標系解決特殊的斜拋運動問題時得到相應簡化。鄭智健對斜拋運動在空氣阻力作用下的運動軌跡進行了研究[2]，指出在物體質量較小時，空氣阻力對物體運動的影響非常顯著，通過建立物體在空氣阻力作用下的運動學方程，求解了物體受空氣阻力影響下的運動軌跡，并以鉛球運動為基本背景，研究了空氣阻力對鉛球的影響，從而為鉛球運動員獲得更好的成績提供了理論參考。徐然對足球運動中所涉及的拋體運動理論進行了探究[3]，將拋體運動的分析方法應用到對足球運動軌跡的計算中，通過分析足球受力與其運動軌跡之間的關系，得出了能夠提高足球運動成績的科學方法。劉尚昊對拋出點具有一定高度的斜拋運動進行了細致分析與研究[4]，指出當拋出點具有一定高度時，拋射體獲得最大射程的條件不再是拋射角為45°，而是略小于該角度值。文章計算了拋出點具有一定高度的拋射體的運動方程，從而得到具有一定起拋高度的拋射體的拋射距離與拋射角度之間的函數關系，并通過實驗對隨機的拋射角進行了檢驗，研究結果對鉛球運動具有很好的現實指導意義。李雨青對斜拋運動中的拋射角度與距離之間的關系進行了研究[5]，結果表明物體的拋射距離與拋射初速度以及拋射角度均有關，且存在某一最佳角度是得拋射距離最遠。

與上述文獻不同的是，高臺跳雪所涉及的斜拋運動并非在水平面完成，本文通過建立簡單的物理模型對跳雪運動員在雪坡上的起跳角度進行了研究，將高臺跳雪運動過程抽象為斜面上的拋體運動過程，并建立斜拋運動的運動學方程，得出了起跳角度與雪坡上運動距離的函數關系，并求得最佳理論起跳角度。

2.最佳理論起跳角度計算

2.1 物理模型的建立

高臺跳雪運動員從高處滑下并起跳的過程可以簡化為一拋體運動，考慮到跳雪運動場地具有一定的坡度，因而可把整個運動過程看作斜面上的斜拋運動，如圖1 所示。運動員在O 點起跳后在空中僅受重力的作用，因而在重力作用下，運動員的運動軌跡將是一條拋物線。

圖1 高臺跳雪運動物理模型示意圖

在圖1 中建立沿雪坡方向的x 軸以及過起跳點垂直于雪坡方向的y 軸坐標系，由斜拋運動的基本方程可知：運動員的運動可以分解為沿雪坡方向以及垂直于雪坡方向的兩個分運動的合成。其中，重力沿雪坡方向的分力為mgsinθ，垂直于雪坡方向的分力為mgcosθ。故而，運動員在沿雪坡方向上將以v0cosα 的初速度，gsinθ 的加速度做勻加速直線運動；運動員在垂直于雪坡方向上將以v0sinα 的初速度，gcosθ 的加速度做勻變速直線運動；運動員的實際運動軌跡是上述兩個勻變速直線運動的合成，為拋物線。可得如下運動學方程：

其中：x，y 分別表示運動員沿雪坡方向和垂直于雪坡方向的位移。v0表示運動員起跳時的初速度，α 表示運動員起跳方向與雪坡的夾角，θ 表示雪坡的實際坡度，t為運動員在空中運動的時間。可見，運動員在兩個方向上的位移均為關于起跳角度的函數。令式(2)中y=0，可得運動員在空中的運動時間t 如下：

由于運動員在沿雪坡方向上做勻加速直線運動，將式(3)帶入式(1)中，可得運動員在雪坡方向上的落點與起跳點之間的距離為：

對式(3)利用三角函數倍角公式進行化解，可得：

其中：x 表示運動員落點與起跳點之間的距離。v0表示運動員起跳時的初速度，α 表示運動員起跳方向與雪坡的夾角，θ 表示雪坡的坡度。

2.2 最佳起跳角度理論計算

由式(5)可知，運動員在跳雪運動中的跳躍距離與其起跳時初速度的平方成正比，因此起跳初速度越大，在跳雪比賽中運動員將會獲得更遠的跳躍距離。此外，在起跳初速度和雪坡坡度一定時，運動員跳躍距離還是起跳角度的函數。當2α-θ=π/2 時，上述函數可取得最大值：

上式表明，當起跳初速度一定時，通過合理選擇起跳角度可獲得最佳跳躍距離。當起跳初速度為v0，雪坡實際坡度為θ 時，運動員可以通過控制自身起跳角度為式(7)，便可獲得該起跳初速度下的最佳跳躍距離。

3.最佳起跳角度計算機模擬

為驗證本文第二節最佳起跳角度理論計算結果的合理性，本節對跳雪運動建立了簡單的計算機仿真模型，同樣采用將跳雪運動簡化為不受空氣阻力的拋體運動過程，并列寫式(1)、(2)中的運動學方程，通過Matlab 軟件編程計算起跳角度為0°～90°范圍內的跳躍距離，并從中求取極值和該極值所對應的跳躍角度，與本文第二節式(6-7)理論計算所得的最佳跳躍距離和跳躍角度對比，以本文驗證理論計算的合理性，為運動員提供可信的理論指導。

3.1 計算機數值模擬的基本概念

計算機數值模擬是依靠電子計算機結合有限元或有限容積的概念，通過數值計算和圖像顯示的方法，達到對工程問題和物理問題乃至自然界各類問題研究的目的。它誕生于1953 年Bruce G.H 和PeacemanD.W 模擬的一維氣相不穩定徑向和線形流，歷經了50 年代的交替隱式解法(ADI)、60 年代數值解法、70 年代正交加速的近似分解法、80 年代的嵌套因式分解法以及90 年代的粗化技術，到了21 世紀數值模擬技術發展主要體現在兩方面，即一體化模擬技術和定量進行屬性不確定性分析對計算結果的影響。

隨著計算機技術的不斷發展，如今計算機模擬已成為工業設計、科學研究的有力工具。本文所建立的運動學方程同樣可在計算機上進行數值模擬，從而得到與實際情況相似的結果，指導高臺跳雪運動健兒取得更好的成績。

3.2 高臺跳雪運動最佳起跳角度模擬

本文將高臺跳雪運動簡化為不受空氣阻力作用下斜面上的斜拋運動，同樣建立沿斜面方向和垂直于斜面方向的坐標系，通過式(1)、(2)中的運動學關系同樣可得式(5)跳躍距離與起跳角度的函數關系。設置如下初始條件：

（1）運動員起跳初速度為30m/s；

（2）雪坡傾斜角度為30°；

（3）重力加速度取9.8m/s2；

（4）初始跳躍角度為0°，以0.1°為步長增至90°。

在Matlab 軟件中輸入相應指令，根據上述初始條件對0°～90°范圍內的跳躍角度所對應的跳躍距離進行計算，結果如圖2。

圖2 高臺跳雪跳躍角度與距離數值模擬結果

由圖2 可知，隨著跳躍角度的增大，跳躍距離先增大后減小，在跳躍角度為60°時，跳躍距離取得極值183.7m。帶入式(6)、(7)可得，理論預測當起跳角度為60°時將獲得最佳跳躍距離，從而驗證了本文理論計算的合理性。

4.結論

本文以高臺跳雪運動為背景，將高臺跳雪運動抽象為物理學中的斜拋運動，通過求解斜拋運動的運動學方程，得到運動員起跳角度與跳躍距離之間的三角函數關系。對該函數進行恒等變換后得到其極值條件，即最佳起跳角度。為驗證所得理論結果的正確性，本文借助Matlab 在計算機上對高臺跳雪運動進行了數值模擬，數值模擬結果符合理論預期。