基于ESMF算法的永磁同步電機無位置傳感器控制

李蕊　何青　陳龍

摘? ?要：論文綜合永磁同步電機控制系統和無位置傳感器控制技術的分類和發展趨勢，主要研究了基于擴展集員濾波的永磁同步電機的無位置傳感器的控制系統。結合擴展集員濾波算法（ESMF）建立了基于ESMF的無傳感器PMSM矢量控制系統，實時估算電機的轉速和位置。對比了測量轉速與估計轉速，以及測量位置與估計位置，仿真實驗結果表明，基于ESMF的無傳感器PMSM矢量控制系統具有快速的轉速響應特性和良好的穩定性。

關鍵詞：非線性噪聲系統;擴展定界橢球;永磁同步電機;無位置傳感器控制

中圖分類號：TM351? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A

Position Sensor-less Control for Permanent Magnet Synchronous

Motor Based on Extension Set Membership Filtering Algorithm

LI Rui？覮，HE Qing，CHEN Long

（Electrical Engineering of Changsha University of science and technology，Changsha，410004，China）

Abstract：This paper integrates the classification and development trend of permanent magnet synchronous motor control system and positionless sensor control technology，and mainly studies the control system of the permanent magnetic synchronous motor based on the expansion collector filter. The Sensor-less PMSM vector control system based on ESMF is established in combination with the expansion set filtering algorithm （ESMF） to estimate the speed and position of the motor in real time. Comparing the measured rotational speed with the estimated rotational speed， as well as the measuring position and the estimated position， the simulation results show that the sensor less PMSM vector control system based on ESMF has fast speed response characteristics and good stability.

Key words：extension set membership filtering algorithm; permanent magnet synchronous motor.

永磁同步電機（PMSM）具有結構簡單、重量輕、體積小、速度高、功率小等優點[1-2]。在電機運行時，如果要測量實時永磁轉子的磁極位置，傳統的方法是在轉子軸上安裝機械式位置傳感器，但是這種辦法通常會降低電機的可靠性同時又增加額外成本。為了解決以上問題，研究了基于擴展集員濾波的PMSM無位置傳感器控制算法，并通過仿真實驗驗證了改算法的可行性和優越性。

1? ?擴展集員濾波算法簡介

采用擴展集員濾波（extended set membership filter，ESMF）算法，該算法步驟與EKF方法類似。此方法通過構建橢球預測可行狀態集合，求取狀態的時間更新，該時間更新求取過程噪聲橢球集合以及計算狀態轉移矩陣橢球集合的并集獲得[3]。此外測量更新結果由時間更新得出的狀態轉移矩陣橢球可行性集合以及測量方程的橢球可行集合求交集得出。

1.1? ?問題描述

考慮以下加性噪聲的非線性系統模型：

xk+1 = f（xk） + wkzk = g（xk） + vk? ? ? ? （1）

其中，f（xk）為二階可微的狀態變量，g（xk）為二階可微的觀測變量;xk∈Rn表示狀態向量，zk+1∈Rm表示觀測向量;wk∈Rn是過程噪聲、vk+1∈Rm是測量噪聲。兩者滿足條件如下：

Wk≡{wk∈Rn：wTkP-1wk ≤ 1}? ? ? ? ?∝Wk∈Q（0，P，1）Vk≡{vk∈Rm：vTkP-1vk ≤ γ2}? ? ? ? ?∝Vk∈Q（0，R，γ）? ? ? ? （2）

其中γ是實數且滿足γ>0，橢球是：

Q（a，k，ω）≡{x∈Rn|（x-a）TK-1（x-a）≤ω2}? （3）

式（3）中K是正定對稱包絡矩陣、a橢球中心。規定初始狀態是：

Q0≡{x0：（x - ■0）Tw-10（x - ■0） ≤ ■0}? ? ? ? （4）

其中■、k0是橢球中心以及對稱的正定包絡矩陣。

非線性的函數系統由泰勒展開后得到的高階余項式是：

Rn（xk - ■，Xk） = ■（xr - ■）n+1? ? ? ? （5）

當特殊值nr是1時：

R2（xk - ■，Xk） = ■■（xk - ■）nr+1? ? ? ? （6）

如果是n維狀態系統，可知：

R2 = ■diag（XTk，…，wTk）Hes1? ■HesnXk? ? ? ? （7）

式（7）中Hessian矩陣是用Hesn表示的。

■k+1線性化后，狀態方程是：

Rg，2（xk - ■k-1，Xk） = ■■（xk - ■k|k-1）2

（8）

■k|k-1線性化后，觀測方程是：

Rg，2（xk - ■k-1，Xk） = ■■（xk-■k|k-1）2? （9）

系統線性化后的高階非線性項不等式是：

||Rf，2（x - ■k-1，Xk）||≤γf||x - ■k-1||2? ? ? ? （10）

||Rg，2（x - ■k|k-1，Xk）||≤γg||x - ■k|k-1||2? ? ? ? （11）

其中||·||是向量的2范數，γf > 0、γg > 0。

線性化后的系統模型是：

xk = Fk，k-1xk-1 + uk-1 + ■k-1■k = Gk xk = ■k? ? ? ? （12）

其中，■k = zk - ？準k，Fk，k-1、Gk是系統雅可比矩陣，另外：

uk-1 = f（■k-1） - Fk，k-1■k-1φk = g（■k|k-1） - Gk ■k|k-1? ? ? ? （13）

■k-1 = Rf，2（x - ■k-1，Xk） + wk-1■k = Rf，2（x - ■k|k-1，Xk） + vk? ? ? ? （14）

式（14）中的虛擬噪聲■k、■k被包含于以下的橢球中：

■k≡{■k∈Rn：■Tk■-1■k≤1}∝■k∈Q（0，■，1）■k≡{■k∈Rm：■TkR-1■k≤■2}∝■k∈Q（0，■，■） （15）

1.2? ?時間更新

■k|k-1 = Fk，k-1■k-1 + uk-1 =

Fk，k-1xk-1+[f（■k-1）-Fk，k-1■k-1]= f（■k-1） （16）

Kk|k-1 = （1+■）Fk，k-1Kk-1FTk，k-1+■■? （17）

ωk|k-1 = ωk-1? ? ? ? （18）

δk = ■k - Gk ■k|k-1 =

RTe（yk-（g（■k|k-1）-G■k|k-1））-RTeG■k|k-1 =

RTe（yk - g（■k|k-1））? ? ? ? （19）

其中δk是系統的預測誤差[4]。

1.3? ?測量更新

假設：R-1 = ReRTe，■k′ = RTe■k和G′k= RTeGk，

則：

■k = ■k|k-1 + ρkKkG′Tkδk? ? ? ? （20）

K-1k（1 - ρk）K-1k|k-1 + ρkG′TkG′k? ? ? ? （21）

ω2=（1-ρk）K-1k|k-1+ρk■2-（1-ρk）ρkδTkM-1kδk? （22）

Mk = （1 - ρk）Im + ρkHk? ? ? ? （23）

Hk = G′kPk|k-1G′Tk? ? ? ? （24）

在求取逆變換后，上式（21）可等價為下式：

Kk = ■（Kk|k-1 - ρkKk|k-1G′TKM-1kG′kKk|k-1）? ?（25）

2? ?基于定界橢球的ESMF算法優化

2.1? ?選擇更新策略

為了改善算法的計算效率，采用了一種選擇性更新策略[5]：在特定條件下，可以忽略一些無關步驟，而只需進行必須的測量更新。

由ESMF可知，測量更新是求取預測狀態橢球和觀測橢球的交集[3]：

Qk-1 = Q（■k+1，Kk+1） θi = Q（■k+1|k，Kk+1|k）∩Sk? ?（26）

特殊地，當：

Q（■k+1|k，Kk+1|k）∩Sk? ? ? ? （27）

得：

Qk+1 = Q（■k+1，Kk+1） Q（■k+1|k，Kk+1|k）∩Sk? ? ? ? （28）

即：

Qk+1 = Q（■k+1|k，Kk+1|k）? ? ? ? （29）

如果滿足上式（29）的條件，則表明可以省略循環濾波的測量更新步驟[3]。在實際應用中，因為符合表達上式的條件很難滿足，因此通常采用如下檢驗方式：

[zk - g（xk+1|k）]TR-1[zk - g（xk+1|k）] ≤ η? ? ? ?（30）

如果參數η偏大，則忽略測量更新的幾率會增大[6]，與此同時較大的邊界誤差會被引入，所以本優化算法會在保證算法的精度和節約算法的時間上折中考慮。當存在較小的干擾噪聲時，取η = 1，此時濾波算法中的橢球中心的預測狀態量被包含于集合Sk中，則可以忽略測量更新，同時確保預估性能和節省計算時間。

2.2? ?對濾波參數的優化

ESMF算法中包含了λk、ρk等參數，因為外定界橢球形狀會被這兩個參數影響[7]，所以需要選擇合適的方法來優化參數。對于參數 來說，常用的優化方法為求取最小容積或最小跡橢球集合。

包含兩個橢球集合的外定界橢球表達式為：

Q（a，K，ω） = Q（a1，K1，ω1）■Q（a2，K2，ω2）其中：

a = a1 + a2

K=（1+■）■K1+（1+λ）■K2，λ>0? ?（31）

可知，最小容積橢球等于K（橢球形狀矩陣）的? ? ? ? 最小行列式（計算上式λ最小值）：

f（λ） = det[K（λ）]? ? ? ? （32）

計算后的優化表達式是：

■■ = ■? ? ? ? （33）

其中ρλki = ρi（Ak-1Kk-1ATk-1PTk-1）、ρλki是矩陣特征值，n是狀態維數。

對應的最小跡橢球為以下函數的最小值：

f（λ） = tr[K（λ）]? ? ? ? （34）

計算后的結果是：

λk = （■）■? ? ? ? （35）

已知兩橢球分別是Q（a1，K1，ω1）、Q（a2，K2，ω2），則兩個橢球交集的外定界橢球Qs（a，K，ω）為：

Qi（a，K，ω）=Q（a1，K1，ω1）∩Q（a2，K2，ω2）? （36）

a = a + ρ2 （ρ1K1-1 + ρ2K2-1）-1K-12（a2 - a1）? ? ? ? （37）

其中：ρ2，ρ2 > 0

K-1 = ρ1K-11 + ρ2K-12? ? ? ? （38）

ω2 = β1ω21 + β2ω22

-ω1ω2（a2-a1）T（β2K1+β1K2）-1（a2-a1）? ? ?（39）

定義β1 = 1 - ρk、β2 = ρk，則外定界橢球交集的形狀矩陣是：

P-1 = （1 - ρk）K-11 + ρkK-12? ? ? ? （40）

因為優化難度困難和計算量大等原因，所以采用最小化ω2的上邊界ω2來優化ρk：

■2k = （1 - ρk）ω2? ? ? ?k|k-1 + ρkγ2

-（1- ρk）ρk■≥ω2k? ? ? （41）

式中：hk是Hk的最大奇異值。

若：

ρ*k = argminsup（■2k）? ? ? ? （42）

令：

μk = ■? ? ? ? （43）

由（42）可知（41）中ρk一階和二階導數是：

■ = γ2 - ω2k|k-1 - δTkδk■? （44）

■ = δTkδk■? ? ? ? （45）

分析可得：

1）當μk ≥1，ρ*k = 0

2）當μk ≤1，ρ*k = min（ε，vk）。

vk=ε;? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?δTkδk = 0■;? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?hk = 1■（1-■）;1+μk（hk-1）≥0ε;? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1+μk（hk-1）≤0

（46）

由式（42）結合優化ρk角度可知，計算δk決定著是否需要測量更新。另外，考慮到計算量的大小，則需要測量更新時，才會去計算hk。

3? ?基于ESMF的PMSM矢量控制系統

對于PMSM，在參考坐標系dq中[8]，電機的數學模型如下：

id = ■iq = ■? ? ? ? （47）

■ = ■? ? ? ? （48）

Te = 1.5p（ψf iq + （Ld - Lq）idiq）? ? ? ? （49）

式中id、iq，ud、uq和Ld、Lq分別是定子繞組dq軸等效電流、電壓和電感;Te是電磁轉矩;TL是負載轉矩;ψf是轉子磁鏈;Rs是定子繞組電阻;ω是轉子機械角度;p是極對數;B是摩擦系數;J是轉動慣量。

基于上面的算法原理和PMSM動態模型，建立了基于擴展集員濾波的PMSM矢量控制系統，系統框圖如圖1所示。

圖1? ?基于ESMF的無位置傳感器控制

4? ?仿真及結果分析

為了驗證基于ESMF的無位置傳感器的系統性能，利用Matlab/Simulink對系統進行仿真。永磁同步電機參數如表1。

表1? ?PMSM的參數

系統采樣周期為50 μs，給定初始轉速為1800 r/min，在0.15 s給定轉速1400 r/min，在0.25 s給定轉速1500 r/min，仿真結果如圖2～圖5所示。

t/s

圖2? ?估計轉速曲線與實際測量

t/s

圖3? ?估計轉速誤差曲線

t/s

圖4? ?估計位置曲線

t/s

圖5 估計位置誤差曲線

通過ESMF估計的轉速和實際轉速對比圖如圖2所示，估計轉速與實際測量轉速的曲線幾乎重合;估計轉速和實際轉速的誤差曲線如圖3所示，精度比較高，當速度變化時，其誤差相對均值為2%左右，而在速度穩定階段，其誤差相對均值為0.15%左右。圖4是轉子位置估計曲線;圖5是估計位置誤差曲線，可以看出位置誤差波動不大，系統比較穩定。

仿真結果表明，所提出的基于ESMF算法對永磁同步電機的位置估算精度精度較高。

5? ?結? 論

采用ESMF對PMSM矢量控制的轉子轉速和位置進行精確估計。仿真結果驗證了ESMF在PMSM-FOC中狀態的有效性，同時表明基于ESMF的PMSM-FOC閉環系統具有快速的響應特性和良好的穩定性。

參考文獻

[1]? ? 夏愉樂，李蕊，何青.一種用于非線性系統的擴展集員濾波狀態估計算法[J].自動化技術與應用，2018，37（01）：1—314.

[2]? ? 袁登科，徐延東，李秀濤.永磁同步電動機變頻調速系統及其控制[M]. 北京：機械工業出版社，2015：1—9.

[3]? ? 何青，夏愉樂，柳一琳，等.一種優化的擴展定界橢球集員濾波算法[J].長沙理工大學學報：自然科學版，2016，13（03）：70—75.

[4]? ? 江濤，錢富才.具有雙重不確定性系統的聯合濾波算法[J].自動化學報，2016（4）：535—544.

[5]? ? 何青，鄭維榮.基于最優定界橢球的擴展集員濾波算法研究[J].自動化技術與應用，2015 （5）：8—11.

[6]? ? 王魏.橢球定界算法在混合建模中的應 用研究[J].自動化學報，2014（9）：1875—1881.

[7]? ? 楊文，侍洪波.卡爾曼一致濾波算法綜述[J].控制與決策，2011（4）：481—488.

[8]? ? 施大發，施佳，黃慶，等. 基于擴展卡爾曼濾波的PMSM無位置傳感器控制[J].電源技術，2015，39（01）：161—164.