數學解決問題過程中須培養的四種關鍵能力

朱貴璽

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中提出，要使學生“獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”（簡稱“四基”），“體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，運用數學思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”（簡稱“四能”）。目前，“四基”已經被廣大一線數學教師所熟知，教學中也能努力體現課程標準的理念。但根據這幾年的課堂觀察，筆者發現仍有相當一部分教師對“四能”存在認識上的模糊、缺位，甚至偏差。例如教學目標只停留于解題本身，忽視在解題過程中對學生解決問題能力的全方位提高;不重視引導學生經歷解決問題的全過程;不重視培養學生對解題過程進行反思和評價的習慣;只重結果不重過程，只重列式不重分析;等等。因此，結合自己的教學實踐和反思，筆者認為在小學教學中培養學生“四能”，要強調對解決問題全過程的經歷，重點培養學生洞察力、想象力、理解力及創新力，以克服以上教學中存在的問題，全面提高學生的解決問題能力，落實數學課程目標。

一、在閱讀和理解中，逐步發展學生的洞察力

數學洞察力指學生通過呈現的數學現象或者情境，判斷其中蘊含的數學本質、結構關系的能力。它是學生用數學的眼光觀察、分析問題的開始。

1.讀懂主題圖，培養直觀洞察力

小學低年級教材中呈現的學習材料很多是主題圖。這種直觀的數學情境，一方面刺激學生已有的知識經驗，讓學生在觀察中發現圖中蘊含的數學信息;另一方面，讓學生根據要解決的問題選擇有用的數學信息，并且初步分析已知條件和問題之間存在怎樣的數學關系，為下一步嘗試解決數學問題奠定基礎。在這個思維活動中，關鍵是學生的讀圖能力，學生不僅須要分析、判斷讀到的數學信息，而且要準確地發現這些數學信息之間存在的邏輯關系，這一過程是學生嘗試解決數學問題的開始，更是學生直觀洞察力的一種體現。如蘇教版《數學》一年級下冊“兩位數加一位數（進位）”教學中，呈現情境圖（圖1）后，先組織學生讀圖，交流其中的數學信息，接著，讓學生提出問題“小亮和小紅一共有多少張畫片？小亮和小明呢？”最后讓學生自己嘗試列式，借助學具動手操作探索算法，明確算理。這個過程讓一年級的學生經歷了加法意義的系統建構，初步培養了直觀洞察力。

2.理解題意，培養符號洞察力

小學數學中高年級教材中，概念、數量關系、公式、方程等符號化的呈現越來越多。在實際教學中，我們須要引導學生明晰數學符號的意義，掌握數學符號之間存在的數學關系，找到新舊知識之間的聯系，激活已有的知識經驗，探索解決新問題的路徑。這一過程中，需要學生準確理解題意，快速發現數學符號之間存在的結構關系，判斷解決問題的思路和方法。如蘇教版《數學》六年級上冊“表面涂色的正方體”一課，拋出一個每條棱被平均分成2份的表面涂色正方體，引導學生探索能切成多少個同樣大小的正方體，每個正方體有幾面涂色，學生很快就發現了規律。接著出示每條棱被平均分成3份、4份、5份的表面涂色正方體讓學生嘗試。在匯報交流中，發現正方體棱被平均分的份數與幾面涂色的正方體個數之間存在的數學關系。最后嘗試用字母來概括這一規律，進一步培養學生的符號意識和洞察力。

二、在觀察和操作中，重點激活學生的想象力

數學想象力是學生在已有數學表象的基礎上創造數學新表象的能力，是學生激活數學思維經驗、嘗試解決問題的開始。

1.留足觀察空間，積累豐富數學表象

用數學眼光觀察是學生進行數學想象的基礎。那么，在日常教學中，教師該怎樣培養學生的觀察能力？一方面注重讓學生體會“觀察什么”，引導學生根據學習材料提供的諸多信息區分有用信息和多余信息，在觀察目標上準確定位;另一方面，應該注重讓學生體會“如何觀察”，引導學生根據二維、三維空間順序有序觀察，多角度、多層次積累數學表象，為開展數學想象奠定基礎。如蘇教版《數學》二年級“認識角”教學中，先讓學生感受生活中的“角”，然后讓學生觀察身邊哪些物體表面上有“角”，接著利用三角板上的角描出數學中的“角”，隨后指出角的各部分名稱，讓學生判斷哪些是角，哪些不是角，最后通過活動角游戲讓學生體會角有大有小。在這一過程中，不僅通過數學觀察讓學生認識生活中的角和數學中的角之間的區別和聯系，而且讓學生通過多輪觀察、辨別、判斷、比較，初步認識數學中角的特征，為學生以后的數學學習打下良好的基礎。

2.經歷動手操作，還原數學本質特征

學生在數學觀察的基礎上，產生認知沖突，提出解決問題的初步設想。通過動手操作，一方面可以使學生經歷知識形成的過程，手腦并用，具身學習;另一方面，可以引發思維沖突，促進學生迅速對圖形或者問題作出合理的猜測、設想，為下面解決問題奠定堅實的基礎。如蘇教版《數學》四年級下冊“認識三角形”一課中，學生在認識三角形特征以后，利用教師提供的材料動手畫一個三角形或者搭一個三角形。在學生動手的過程中，教師及時拍照，呈現一些學生的操作成果，讓學生辨別、判斷是否是三角形，讓學生深入理解“首尾相連”“圍成”等三角形本質特征的具體含義，發展學生的空間想象力。

3.巧用數形結合，發展數學想象能力

數形結合主要通過具體的圖形來表示一些抽象的數學信息，它是一種數學思想，更是解決問題的一種有效策略。小學階段有很多問題需要我們借助直觀圖形，降低問題的抽象程度，幫助學生理清思路，發展學生數學直觀想象力。如蘇教版《數學》四年級下冊“三角形的內角和”一課。先讓學生自己畫一個三角形，標上∠1、∠2、∠3，然后讓學生把這個三角形剪下來，通過動手操作把三角形的三個內角拼成了一個平角，讓學生直觀感受三角形的三個內角和是180°。這里的動手操作不僅呈現了學生的解題思路，而且讓學生的思維可視化。

三、在整合和關聯中，多元促進學生的理解力

數學理解力指學生運用已有的知識、經驗去認識未知事物的屬性、聯系，直至揭示其本質及規律的一種能力，它是學生解決問題的核心能力。小學階段數學理解力的發展主要是使學生能夠主動參與到解決問題的過程中來，引導學生通過整合解題路徑和關聯知識結構，促使學生的數學理解從單一走向多元、從零散走向系統，發展學生的邏輯思維，提高學生的學習能力。

1.在整合解題路徑中發展學生的多元數學理解力

在小學階段解決問題的教學中，學生一般只是發現一個解決問題的思路。而從數學理解發展的角度出發，需要學生發現多個解決問題的思路，并把這些思路通過一定方式整合起來，理解抽象知識，自主建構知識，發展學生的多元數學理解力。

（1）從操作到抽象，讓學生在思辨中理解知識。小學階段數學問題的解決中需要學生在“是什么”和“為什么”之間建立起恰當的數學理解，才有可能將其納入自己的認知結構中，達到舉一反三的教學效果。例如在“能被2、5、3整除的數的特征”一課中，通過百數圖讓學生類比能被2、5整除的數的特征，再在猜想中驗證能被3整除的數的特征，讓學生自己破除“看個位”的定式，最后在觀察比較中發現規律：十位數字和個位數字的和能被3整除，這個數就能被3整除。整個設計充分利用百數圖，找出能被2整除的數的特征是實物操作的結果，類比出能被5整除的數的特征是表象操作的結果，而能被3整除的數的特征的發現不僅包含實物操作、表象操作，還包括符號操作。這三種操作方法讓學生通過觀察類比、操作認定、想象驗證三種路徑相結合發現整除的意義，加深了對知識的理解程度，達到事半功倍的教學效果。

（2）從直觀到建構，讓學生在建模中把握問題。小學階段數學問題的解決中需要學生在直觀考察一類對象的屬性之后，說出問題的本質屬性，再比較這一類對象的共同特征，從直觀和抽象兩個路徑提取問題的本質屬性，進行數學化的歸納提煉，概括出具有一般意義的規律，以解決其他數學問題。例如蘇教版《數學》四年級下冊“加法運算律”一課中，讓學生模仿“23+17=17+23”，寫幾組這樣的等式，觀察、類比，找出等式的共同屬性“加數位置變了，和不變”進一步符號化：如果用字母a、b表示兩個加數，該怎樣表示？建構了加法交換律的數學模型“a+b=b+a”，最后讓學生把加法交換律應用到問題解決中。這一過程中，讓學生主動對數學材料進行觀察、比較、分析和抽象，借助直觀進行建模，嘗試應用模型解決問題，進一步提升了學生的數學理解力。

2.在關聯知識結構中發展學生的關鍵數學理解力

在小學數學解決學問題的過程中，可以借助一些關聯幫助學生整合解決問題的思路，挖掘問題的本質，找到解決問題的關鍵點，引導學生從知識層向理解層深入，進一步發展學生的理解水平。如蘇教版《數學》四年級下冊“多邊形內角和”一課，教師讓學生探索多邊形的內角和與邊數的關系時，就可以有意識地讓學生交流自己的解法，并且說明理由，比較每種方法之間的關聯點，明確解決問題的關鍵——把多邊形的內角和轉化成求若干個三角形的內角和，且從一個頂點來分三角形是最簡捷的。在這個過程中，學生的認知結構在關聯中得到了豐富，在交流中實現了飛躍，準確把握住解決問題的核心，培養學生關鍵數學理解能力，積累了豐富的數學活動經驗。

四、在展示和表達中，不斷發展學生的創新力

小學生發現和提出問題的能力普遍較弱，這跟我們日常教學中不給學生展示和表達的空間有很大的關系。所以，在解決問題教學中我們應該讓學生用自己的方式展示、表達思維，解決問題的路徑隨著層次清晰、邏輯嚴謹的展示和表達逐漸清晰，從而促使學生對知識進行抽象的概括，深化問題的理解，培養學生主動思考的習慣，提高學生發現和提出問題的能力，進一步發展學生的創新力。

1.在展示思維中發展創新力

在小學階段數學解決問題的過程中，我們要給學生充分展示自己思維過程的機會，特別是一些核心問題的解決更需要學生在充分研究探索的基礎上，準確把握問題的實質，獨立展示個性的思維過程，打破原有的數學知識結構，更新自己的知識體系。如蘇教版《數學》五年級下冊“因數和倍數”復習課中，教師拋出新問題：6的倍數有哪些？學生根據已有的知識經驗（知道2、3的倍數），提出大膽猜想：將2和3的倍數特征綜合成6的倍數特征，直接進行判斷。為了證明自己的猜測，很多學生通過列舉的策略，從既是2的倍數又是3的倍數的數字中找到6的倍數，從而證明6的倍數既是2的倍數又是3的倍數。這既深化了數學知識，拓展了學生的邏輯思維，也拓展了本單元的教學內容，讓學生體味數學的趣味性。

2.在表達思維中發展創新力

語言是思維的外衣。我們在小學數學解決問題的教學中要充分給予學生表達的機會和平臺，讓學生通過語言、圖式、操作等方式表達自己的思維過程，交流、梳理、總結、提煉核心解題策略，更好地使用、優化解題策略，讓學生體驗成功的喜悅，不斷積累創新的原動力。例如蘇教版《數學》三年級下冊“認識分數”復習課中，教師讓學生尋找七巧板中的幾分之一，學生通過實物操作、動手畫一畫等方式解答。學生在交流、表達思維的過程中重點表述“誰是誰的幾分之一”，緊扣問題的核心，深入理解分數的意義。這個問題的解決主要幫助學生在表達思維的基礎上進行一個全面的思考，培養學生的問題意識和創新意識。

參考文獻

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