數學活動經驗生成的“著力點”

潘超　陳華　田原

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數學活動經驗的生成需要抓住五個著力點，即內容“基點”、學生“疑點”、問題“焦點”、對話“節點”和思維“亮點”。基于五個著力點開展數學活動，能提升活動的有效性，有利于學生將數學活動經驗在其“做”的過程和“想”的過程中積淀下來。

關鍵詞

數學 活動經驗 平行四邊形

數學活動經驗的生成是提高學生數學素養的重要標志之一。幫助學生生成數學活動經驗是數學教學的重要目標，是學生不斷經歷、體驗各種數學活動過程的結果[1]。因此，課堂中開展各種數學活動對促進學生生成數學活動經驗有著重要意義，并且考察數學活動開展的有效性也主要體現在學生數學活動經驗生成的程度上。促進學生生成數學活動經驗的關鍵是教師要抓住數學活動中起重要支撐作用的“著力點”，在這些著力點中凸顯生成經驗的各種要素，并把握好相應的教學策略，學生就能在其“做”的過程和“想”的過程中將數學活動經驗積淀下來。從數學活動的客體、主體、過程、結果等觀察視角出發，可以得到數學活動經驗生成的五個著力點（圖1），教師在教學中要精心挖掘和著力促成。筆者試以“平行四邊形的面積”的教學為例說明。

一、準確把握內容“基點”，培育活動經驗的“土壤”

教學內容是活動開展的基點，活動是教學內容的載體。我們在創設數學活動時，要把握好活動的目的所在，明確哪些內容需要在活動中呈現出來。一般而言，需要組織重要活動來支撐的教學內容包括一節課的重點、難點知識。教師在吃透這些重點、難點知識的基礎上，要用切合教學目標和學生情況的活動情境加以統整，培育活動經驗生成的“土壤”。創造活動情境的方法包括講故事、設懸疑、做游戲等。在創設情境活動時切忌“為活動而活動”“為情境而情境”，避免進入幼稚化、手工化、競賽化的誤區[2]。

教學片斷1：創設情境，引入課題。

師：孩子們，我們先來看一個小故事。從前有一個老地主，他要給他的兩個兒子各分一塊土地，給他的大兒子分了一塊長方形的土地，給他的小兒子分了一塊平行四邊形的土地。但是，兩個兒子都覺得自己分的那塊地小了，對方的那塊大。經過測量，土地的數據如圖2所示，你們覺得誰分的更大呢？

生1：長方形面積大。

生2：平行四邊形面積大。

生3：一樣大。

師：我們如何去判斷誰分的面積更大呢？

教師在創設活動時把握住了探索平行四邊形面積與已學長方形面積的關系這個基點，通過講故事的方式創設“比土地大小”的情境，在激發學生學習興趣的同時，自然過渡到平行四邊形的面積計算。

二、充分挖掘學生“疑點”，優選活動經驗的“種子”

好的教學不僅要善于創設新穎獨特的情境，還要適時地引導學生經歷“去情境化”的過程，以凸顯數學知識的本質[3]。因此，數學活動開展的精彩之處在于“去情境化”的后續過程。在實際操作中，教師在情境中要分解出本課所需的數學成分，并充分挖掘出學生可能存在的疑點、難點問題。如果存在的疑點或難點有多個，教師可以從中優選出最需要研究和解決的部分，將其轉化為明確的數學問題。

教學片斷2：觀察猜想，提出問題。

師：平行四邊形的面積怎么求呢？請同學們先來猜一猜。

生1：底乘以鄰邊。

生2：底乘以高。

師：哪一種方法是正確的呢？

生：不知道。

師：從同學們猜想的情況來看，平行四邊形的面積有兩種計算方法，而且計算的結果不一樣，那么我們怎么去驗證這兩種方法的正確性呢？

如果說創設情境為學生活動搭建了學習的平臺，那么提出問題就為學生打開了思維的大門。教師提出驗證兩種方法的正確性是學生學習的自然需求，為開展平行四邊形的面積公式的探究活動拉開了序幕，由此生成活動經驗的“種子”就找到了。

三、敏銳捕捉問題“焦點”，萌發活動經驗的“枝葉”

對有價值的可探究性問題，教師要引導學生進行提煉和拓展，凸顯活動的“數學成分”，并抓住時機組織探究活動，讓學生經歷知識的形成過程或問題解決過程，促進學生思維的發展。從情境體驗到問題生成，再到即將開展的數學探究的過程，是一個漸進的數學化過程，開辟了經驗生成的路徑，使經驗之“枝葉”得以萌發，乃至蓬勃生長。特別要注意的是，師生在探究過程中，要有效結合“先前經驗”和“后續經驗”[4]，新葉嫩枝才會保持勃勃生機。

教學片斷3：實驗操作，初步驗證。

（教師引導學生用“數方格”的方式初步驗證兩種猜想的正確性）

師：剛才同學們提出了兩種平行四邊形的面積計算方法，我們需要驗證其正確性，在前面我們學過求平面圖形面積的基本方法是什么呢？

生：數方格。

師：對。我們先來數數整格的，有多少個？

生：一共有12個。

師：那半格的怎么辦呢？我們要想辦法把兩個半格湊成一個整格。但這樣比較復雜而且很容易數錯，有沒有更快更簡單的方法去數呢？

生：把左邊的三角形移過去拼到右邊，就拼成一個長方形。

師：為什么要拼成長方形？具體又如何拼成一個長方形呢？

在教師的提示下，學生采用數方格的方法去驗證平行四邊形的計算方法。學生數整格方格是先前經驗，拼湊半格為整格是后續經驗，盡管如此，在數的過程中發現拼湊非整格的情形仍然不是很科學。學生敏銳地發現兩個半格能拼湊成一個整格，同樣地，可以將兩個不太規整且不容易“數”的局部圖形能拼湊成一個規整且容易“數”的整體圖形。這個新經驗已不是單純的“數”的活動，而是充分蘊含局部至整體、不規則至規則、未學至已學、不容易至容易的思維轉化過程，這正是活動探究中最為寶貴的“數學化”過程。

四、恰當聯結對話“節點”，綻放活動經驗的“花朵”

數學活動的推進存在著某種內在的邏輯順序和外在的操作引導，因而數學活動經驗生成存在一定的順序性，由一些關鍵節點串接而成。內在的邏輯順序由活動各個環節的節點聯接而成，而外在的操作引導主要靠教師與學生的對話生成。最能讓對話循序深入的關鍵節點是“有啟發性的問題”“有積極性的體驗”“有趣味性的話題”“有奇異性的思維”或“有激勵性的評價”等，這些節點猶如一朵朵含苞之花，每一朵花的綻放就意味著離活動經驗的生成更進了一步。在數學活動中，最常見的對話節點是“有啟發性的問題”。由此，學生的探究活動進行到一定程度時，教師在此基礎上可以提出一些具有啟發性的問題讓活動有序開展和推進。在探索平行四邊形的面積時，教師在前邊提出的問題：“為什么要拼成長方形”“如何拼成一個長方形呢？”就是這種具有啟發性的關鍵問題，有利于學生進一步深化概念，有層次地調動學生思維，逐步提升學生參與活動的廣度和深度。

教學片斷4：對話交流，循序漸進。

（學生畫好平行四邊形，并思考如何用工具將它剪拼成長方形）

師：請畫好的學生想想如何將它轉化為長方形，拿出剪刀，動手試試。我請一位同學來說說。

生：我沿著這條高剪，剪出一個三角形，然后這樣移過去，就成了一個長方形（圖3）。

師：他是怎么剪的？

生：沿著高剪。

師：還有其他方法嗎？

生：我是沿著這條高剪下來的，剪出兩個梯形再平移過去，拼成了長方形。

師：為什么你們都要沿著高剪？

生：沿著高能剪出直角。

師：哦，長方形的四個角都是直角。那么，長方形和原來的平行四邊形之間有什么關系呢？

生：它們的面積不變，長方形的寬相當于平行四邊形的高，長方形的長相當于平行四邊形的底。

雖然學生語言表達能力有待改進，語言中的數學味不夠，不能準確描述哪一條高，缺少“平移”，“轉化”這些數學化的詞語，但是學生能說到操作的關鍵點，也能指出沿著高剪的原因。通過師生之間一問一答，整個探索活動就在對話中順利推進，實現活動探究的有序延展。

五、及時歸納思維“亮點”，催生活動經驗的“果實”

在數學活動的各個階段，尤其是活動的總結階段，教師要引導學生歸納整理活動中的思維亮點，反思活動中涉及的方法原理、發現的問題，以及分析解決問題的過程，回味起關鍵作用的數學思想，概括總結它的作用和價值，有時還要通過追問加以強化，讓獲得的經驗與已有的經驗融合、集成。當學生經驗積累到一定程度時，教師要引導學生進行去粗存精、分類整理，或豐富原來的經驗，或修正原來有誤的經驗，或淘汰先前的錯誤經驗，將其升華為數學觀念系統[5]。

教學片斷5：全面梳理，明確關系。

師：通過剛才的探究，我們得到的長方形和之前的平行四邊形之間有什么關系呢？

生：長方形和平行四邊形的面積是相等的，長方形的寬相當于平行四邊形的高，長方形的長相當于平行四邊形的底，所以平行四邊形面積就是底乘以高。

師：為什么要轉化為長方形？

生：學過長方形的面積。

師：把沒有學過的知識轉化為學過的知識，這種轉化思想是數學中的一大法寶。不管平行四邊形的大小如何，只要我們沿著高剪下來再拼過去，就都可以轉化為長方形，這種方法叫做剪拼法。平行四邊形的面積公式是：底乘高，所以前邊第幾種猜想是正確的？

生：第二種。

及時有效的歸納反思可以直接催生數學活動經驗的生成，也有利于了解學生的學習情況，以采取相應的措施進行改進。同時，通過反思可以使學生強化獲取的知識，達到知識的深層理解和靈活運用，讓學生從活動中進行數學的思考。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 葉新和.“經驗型”數學活動設計誤區分析[J].教學與管理，2013（31）.

[3] 顧亞龍.把握數學教學設計的“六個度”[J].小學數學教與學，2015（08）.

[4] 邵月芳.基于經驗累積，追求深度體驗的數學活動設計[J].小學教學研究：理論版，2014（06）.

[5] 單肖天，景敏.數學活動經驗及其對教學的影響[J].課程·教材·教法，2008，28（05）.

[責任編輯：陳國慶]