“化歸法”在高等數學教學中的應用

涂媛媛

摘 要：化歸思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決的一種方法。文章通過高等數學教學實踐，探索化歸法在求極限、求導、求積分中的應用，并闡明化歸法的類型和使用原則。

關鍵詞：化歸法;高等數學;應用原則

一、引言

“化”代表轉化，“歸”代表歸結。化歸是一種解題思想，更是一種有效的數學思維方式，在探究數學問題時，人們通常并不會直接按部就班往下寫，而是通過巧妙地轉化或者變形等，使之往熟悉的內容上靠攏，即將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題。

匈牙利數學家羅莎曾對化歸法做過形象的解釋：“你想燒水，現有火柴、煤氣灶、水龍頭，還有水壺，應怎么去做？”有人答：“打開水龍頭，水壺接水，再用火柴點燃煤氣灶，最后放上裝滿水的水壺。”又問：“若水壺中已經裝滿水，其余條件不變，接下來該怎么辦？”有人答：“直接點燃煤氣將水壺放上。”羅莎點了點頭說道：“對，但這是物理學家的做法，數學家則會將水壺中的水倒掉，就回歸到了開始的問題。”羅莎的舉例很清晰地展示了化歸法的實質。

二、化歸法概述

化歸法運用的范圍很廣，使用的方式千差萬別，自然其分類也多種多樣，不同的分類也就有不同的用法。

首先，根據待解決問題的屬性劃分，能夠分成證明中的化歸法和計算中的化歸法，還有構建新科目體制中的化歸法，等等。

其次，根據使用的領域劃分，則有內部和外部之分。內部的化歸法即為兩類數學問題間的轉化，外部的化歸法則為實際問題向數學問題的轉化。

再次，根據使用的廣度和維度劃分，則有單維、二維、多維和廣義之分。單維的化歸法指適用于單一學科體系內的化歸;二維化歸法的變換為兩種相異數學支系間的轉化;多維的化歸法是橫跨諸多數學支系，為諸多學科體系所適用的化歸，像換元法、待定系數法等;廣義的化歸法則表示越過數學界限的化歸法，像數學建模法等。

最后，常見的化歸方法有瓜分法、求變法、映射法和極端化法等。

瓜分法就是將某個待解答的問題瓜分為幾個簡單、熟悉的小問題，然后逐個求解這些小問題的方法。

求變法是化歸法的一種重要手段，包括等價變形法、分步變形法、參數變形法、換元變形法等方法。

映射法就是通過映射把原來的問題A轉化成問題B，接著求得問題B的解，然后利用逆映射解出原題。

極端化法是指解決某些數學問題時用極端的思維去考慮，使之得到易解決或已知的問題，再推得原題的解的方法。此種問題一般是多種情形的，單考慮原題并不能看出，需發揮聯想去建構出。

在高等數學教學中，化歸思想隨處可見。下面，筆者就高等數學教學在求極限、求導、求積分方面如何應用化歸法作初步探索。

化歸的進行并非是百無禁忌的，化歸流程應依照下列原則。①熟悉化原則：將原題由陌生化為熟悉，從而變為人們習慣的形式;②淺易化原則：將問題由難化易、由復雜難懂化淺顯明了，使之更容易找到思路;③協調化原則：協調化代表和諧的一種體現數學美的狀態。在解題時，可以依據題目的條件、結論等將其轉變為更協調的數學結構，使之更合乎一般思維; ④直覺化原則：將不直觀的、模糊的、隱晦的問題化成直覺的、詳盡的、顯而易見的題目，使之更易解答;⑤逆反原則：遇到難題從正面完全無法動手時，就要考慮反向或逆向思考。逆水行舟，不進則退，換個角度往往能發現新世界。

六、結語

化歸法對高等數學教學的影響是深遠的，沒有化歸思想的使用，高等數學中許多題目或許就是未解之謎，很多解答過程或許就是長篇大論，很多理論體系或許將光怪陸離不再嚴謹，很多公式也將無從得證……這便是化歸法的魅力所在，其影響顯著，在高等數學教學中有著不可或缺的地位。

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