單級柔順正交位移放大機構非線性建模與優化

孔垂旺，陳為林，盧清華，羅陸鋒，張云志

（佛山科學技術學院機電工程學院，廣東佛山528000）

在微血管外科手術、細胞操作、光纖裝配、柔性導線理線焊接等精密工程應用中［1-4］，均需利用微夾鉗實現微納尺度物體的夾取、搬運與放置。一方面，柔順機構具有無間隙、無摩擦、免裝配等優點，是微納操作系統末端執行器的典型實現形式［5］；另一方面，壓電驅動器響應速度快，分辨率高［6］，是微夾鉗的常用驅動方式之一。對基于柔順機構的壓電驅動微夾鉗而言，同時實現操作的靈活性和穩定性是國內外研究者普遍關注的熱點［7-8］。

提高輸出端行程可有效擴大壓電驅動柔順微夾鉗的夾取范圍，實現靈活操作。由于典型的壓電疊堆驅動器的輸出行程僅約為其自身長度的0.1%［9］，為提高微夾鉗輸出端行程，需將驅動器與位移放大機構匹配使用。常用的柔順位移放大機構包括杠桿放大機構、柔順正交位移放大機構、Scott-Russell 機構等［10-13］。其中，以橋式放大機構、單力輸入單級柔順正交位移放大機構為代表的柔順正交位移放大機構可以通過壓電疊堆驅動器的直線位移輸出轉換來實現平行夾持，提高微納操作的穩定性。橋式放大機構結構緊湊且理論位移放大倍數大，有關該機構靜力學建模、動力學建模、結構優化等的研究較多［14-22］，但它僅在雙向對稱輸入力作用下才能實現正交位移轉換。對于微納操作系統中的壓電疊堆驅動器，一端固定一端輸出的邊界條件更有利于其預緊的便捷性與穩定性，但這種邊界條件無法與橋式放大機構相匹配。而單力輸入單級柔順正交位移放大機構可以在單向力輸入下兼顧緊湊性的同時實現正交位移轉換和位移放大。Chen等［23］提出了抑制單力輸入單級柔順正交位移放大機構幾何非線性作用的約束條件。劉敏等［24］提出了單力輸入單級柔順正交位移放大機構的拓撲優化設計方法，并深入研究了彈簧剛度對拓撲優化結果的影響規律。

在上述研究中，對柔順正交位移放大機構的建模普遍基于2 個假設：1）機構中的柔性單元滿足歐拉-伯努利梁假設，且剪切作用可以忽略；2）柔性單元服從小變形假定。然而，當柔性單元長徑比不夠大時，剪切作用會引起梁的附加撓度，對機構輸出位移產生非線性影響。而且在柔順正交位移放大機構中，柔性單元處于輸入力主導的彎曲變形狀態，大變形、應力剛化問題不可忽略。常用的幾何非線性分析方法包括橢圓積分法、有限單元法、鏈式算法、梁約束模型法和半解析非線性建模法等［25-29］，其中：橢圓積分法適用于簡單柔性單元的幾何非線性解析建模；有限單元法、鏈式算法可用于精確描述復雜柔順機構的幾何非線性行為，但無法獲得解析解，且求解時間長；梁約束模型法可用于描述中等變形柔性單元的幾何非線性行為，但在大變形條件下模型的精度不足；半解析非線性建模法是將線彈性建模、幾何非線性有限元分析與數值擬合相結合，可實現非線性結果的快速、精確預測。

本文擬對單力輸入單級柔順正交位移放大機構進行非線性建模與優化設計。首先，考慮到剪切作用與幾何非線性因素，對單級柔順正交位移放大機構輸出位移進行半解析建模，以實現非線性結果的快速預測；然后，綜合考慮2種幾何非線性因素的影響，對該機構平面尺寸和厚度進行優化設計；最后，利用有限元仿真對機構輸出位移非線性模型和優化結果的有效性進行驗證。

1 機構輸入輸出關系非線性建模

1.1 考慮剪切作用的小變形建模

單力輸入單級柔順正交位移放大機構是一種基于三角放大原理的非完全對稱型機構［12］，如圖1 所示。該機構厚度均勻，僅關于輸入力Fin對稱，通過引入含3個待定參數（Ld、Bd、γ）的等截面梁CD實現正交位移轉換，梁CD的設計方程參見文獻［12］。等截面梁CD的下端與機架固聯，使得機構避免采用雙向對稱輸入力。變截面梁AB由柔順鉸鏈a、b和等截面梁2 組成，lBC1、lCC1表示其輸出端結構的平面尺寸。其中，柔順鉸鏈a、b的結構型式不限，圖1（a）中采用的是典型的直梁型柔順鉸鏈。

圖1 單力輸入單級柔順正交位移放大機構和三角放大原理示意圖Fig. 1 Diagram of single-stage compliant orthogonal displacement amplification mechanism with single-force input and triangulation amplification principle

變截面梁AB 的受力分析如圖2 所示，載荷FxB、FyB、MB均作用于B點。變截面梁的位移邊界條件為：yA=0 μm，θA=0°，xB=0 μm，θB=0°，其中θA與θB表示點A、B處的轉角。

在小變形假定下，采用柔度矩陣法對變截面梁

圖2 變截面梁AB的受力分析Fig. 2 Force analysis of variable section beam AB

AB中點A、B處的載荷位移關系進行分析，可得：

根據式（1）可得yB與B點載荷間的關系為：

式中：SyB-FxB、SyB-FyB、SyB-MB為變截面梁AB的柔度系數。

依據卡式第二定理得：

假設變截面梁AB為歐拉-伯努利梁，則可忽略剪切作用，其應變能UAB由軸向分量和彎曲分量組成：

式中：LAB、AAB、IAB分別為變截面梁AB的長度、橫截面積和橫截面慣性矩；E為材料彈性模量；FAB為變截面梁AB軸力，與載荷FyB無關；MAB為變截面梁AB的彎矩，是關于載荷FxB、FyB、MB的函數。

聯立式（3）和式（4）可推導出SyB-FxB、SyB-FyB、SyB-MB的具體表達式。

圖1（b）所示結構呈一次超靜定，輸入端結構AO由結構AB-BC-CD 和移動副支承。由于移動副轉動剛度遠大于結構AB-BC-CD的轉動剛度，若輸入端結構具有足夠大的剛度，則MA趨于0，結合式（1），可將A點處的轉角—載荷關系簡化為：θA=SθA-FxA· FxA+SθA-FyA·FyA。結合θA=0°和變截面梁AB 的載荷平衡方程，可得FxB與FyB間的關系為：

依據變截面梁AB 在結構和載荷方向上的反對稱特征可得點A、B處的柔度系數間的關系為：SθA-FxA=SθB-FxB，SθA-FyA=SθB-FyB。根據邊界條件θB=0°以及式（1）

可得：

yB的絕對值即為單力輸入單級柔順正交位移放大機構的輸出位移eout，故可將式（7）視為在小變形假定下不考慮剪切作用與幾何非線性因素的單力輸入單級柔順正交位移放大機構的輸出位移模型。用kc表示式（7）中Fin的系數，將式（7）中yB記為yBsE，考慮剪切作用對輸出位移yBsE的影響，進一步構造yBsE的修正系數α：

式中：yBs表示機構輸出位移的小變形分析值，可通過ANSYS Workbench小變形靜力學有限元分析獲得。

剪切作用引起的非線性項與機構中柔順鉸鏈的平面尺寸l、t，厚度h以及表征柔順鉸鏈間距的參數L、tr有關，即α為關于l、t、h、L、tr的函數。隨著柔順鉸鏈長徑比l/t的增大，由剪切作用引起的非線性項逐漸減小［30］，使得剪切非線性修正系數α減小。對于任意材料與輸入力Fin，在不同L/tr下α隨柔順鉸鏈長徑比l/t（通過固定l、改變t獲取不同長徑比）的變化曲線如圖3所示。

圖3 不同L/tr下α隨長徑比l/t 的變化曲線Fig. 3 Variation curves of α over aspect ratio l/t under different L/tr

由圖3可知：在不同L/tr下，隨著h的增大，α均逐漸減小；隨著L/tr的增大，α逐漸增大。此外，圖3是通過固定l、改變t獲取不同的l/t，通過固定tr、改變L 獲取不同的L/tr的。如果通過固定t、改變l獲取不同的l/t，或者通過固定L、改變tr獲取不同的L/tr，所得到的α的變化曲線會與圖3略有區別，由此可見：除了長徑比l/t外，t或l均會對α產生獨立影響；除了L/tr外，L或tr均會對α產生獨立影響。

基于上述分析，構造無量綱因子φ。在單因素分析中，將與α成反比的l/t、h看作φ的分母，與α成正比的L/tr看作φ的分子，可得：式中：m1、n1、a1、b1、c1為權重系數，m1＞0，n1＞0，a1＞0，

b1＞0，c1＞0。

取m1=4，則n1=2，a1=0.1，b1=2.5，c1=2.1。基于圖3所示的180組算例，利用式（9）求取φ，得到180組離散結果，如圖4 所示。圖4 顯示總體上α 隨φ 呈單調遞增的趨勢，利用最小二乘法擬合得：

式中：所有常數僅與機構的拓撲結構以及形狀有關，與機構的尺寸、材料無關。

1.2 幾何非線性修正系數的確定

幾何非線性作用導致yB偏離小變形分析值yBs，為衡量偏離程度，構造yBs的無量綱修正系數β：

式中：變化量Δβ表征機構輸出位移的幾何非線性程度，變化量Δβ是關于Fin、柔順鉸鏈尺寸l、t、h以及材料彈性模量E 的函數。隨著輸入力Fin的增大，單力輸入單級柔順正交位移放大機構輸出位移的幾何非線性程度提高，即Δβ增大。

取Fin=10 N，選用鎂合金（E=45 GPa）、鋁合金（E=71 GPa）、鈦合金（E=96 GPa）、銅合金（E=110 GPa）和不銹鋼（E=193 GPa）五種常見的各項同性材料時，Δβ隨柔性鉸鏈長徑比l/t的變化曲線如圖5所示。

由圖5可知，無論選用何種材料，隨著l/t的增大，Δβ均逐漸增大；隨著h的增大，相同材料下Δβ逐漸減小；隨著材料彈性模量E 的增大，Δβ 逐漸減小。此外，圖5是通過固定l、改變t獲取不同l/t值的，如果通過固定t、改變l獲取不同的l/t值，所得到的Δβ變化曲線與圖5 略有區別，由此可見除了長徑比l/t外，t或l也會分別對Δβ產生獨立影響。

圖4 α隨φ的變化曲線及其最小二乘擬合結果Fig. 4 Variation curves of α over φ and its least squares fitting result

圖5 選用不同材料時Δβ隨長徑比l/t的變化曲線（Fin=10 N）Fig. 5 Variation curves of Δβ over aspect ratio l/t when using different materials（Fin=10 N）

基于上述分析，構造無量綱因子ω。在單因素分析中，將與Δβ成正比的Fin、l/t看作ω的分子，與Δβ成反比的E、h看作ω的分母，可得：

根據圖5所示的180組算例，分別取Fin=1，2，…，10 N，利用式（12）求取ω，得到1 800 組離散結果，如圖6所示。由圖6可見總體上Δβ隨ω單調遞增，利用最小二乘法擬合得：

式中：所有常數僅與機構的拓撲結構和形狀有關，與機構的尺寸、材料無關。

圖6 Δβ隨ω的變化曲線及其最小二乘擬合結果Fig. 6 Variation curves of Δβ over ω and its least squares fitting result

2 機構參數的非線性優化設計

一方面，為了增大單力輸入單級柔順正交位移放大機構的工作空間，選擇eout=|yB|最大化作為優化目標。綜合式（7）、式（8）、式（11）可得：

另一方面，若Δβ很小（例如Δβ≤0.02），則單力輸入單級柔順正交位移放大機構的幾何非線性作用幾乎被完全抑制。此時，eout=|yB|最大化可以簡化為αkc最大化，以減弱輸入輸出關系的非線性特征，便于后續研究。

依據第1節所述的單力輸入單級柔順正交位移放大機構輸入輸出關系非線性建模過程，選取設計變量為l、t、L、tr、h。柔順鉸鏈的抗彎剛度EIa應遠大于等截面梁2 的抗彎剛度EI2，以保證機構柔度集中于柔順鉸鏈處；在線彈性解析建模過程中，將柔順鉸鏈a、b和等截面梁2看作一個整體，限制l/t和L/b2的下限（b2為等截面梁寬度）及tr的上限；考慮到緊湊性和加工能力，應限制l/t的上限以及l、t、h、tr的下限；考慮到柔性鉸鏈是在平面內轉動，應限制鉸鏈寬度t與厚度h。綜上分析，建立2種單力輸入單級柔順正交位移放大機構參數優化模型：

1）優化模型1：

2）優化模型2：

min: - αkcs.t.

取初始設計參數為：lmin=1 mm，lmax=3 mm，tmin=0.3 mm，Lmax=12 mm，trmin=1 mm，trmax=2 mm，hmin=1.2 mm，鉸鏈最大長徑比rmax=8；輸出端結構參數lBC1=1.1 mm，lCC1=0.5 mm，材料設置為鋁合金，輸入力Fin=10 N。基于優化模型1，利用MATLAB fmincon 梯度優化函數對單力輸入單級柔順正交位移放大機構的參數進行優化，結果如表1所示。當采用不同初始值進行測試時，結果均穩定收斂于表1中的優化結果，且優化結果與材料和輸入力Fin無關。利用前期研究［12］中的設計方程計算出與表1優化結果對應的等截面梁CD的待定結構參數，如表2所示。

表1 基于優化模型1的單力輸入單級柔順正交位移放大機構參數優化結果Table 1 Parameter optimization results of single-stage compliant orthogonal displacement amplification mechanism with single-force input based on optimization model 1 單位：mm

表2 基于優化模型1的等截面梁CD的待定結構參數Table 2 Pending structural parameters of constant-section beam CD based on optimization model 1

在不改變初始設計參數的前提下，基于優化模型2，利用MATLAB fmincon梯度優化函數對采用不同材料的單力輸入單級柔順正交位移放大機構的參數進行優化，結果如表3所示。當采用不同初始值進行測試時，結果均穩定收斂于表3中的優化結果，且隨著材料彈性模量E增大，柔性鉸鏈的厚度h逐漸減小。與表3優化結果對應的等截面梁CD的待定結構參數均為：Ld=7 mm，Bd=0.25 mm，γ=0.76°。

表3 基于優化模型2的單力輸入單級柔順正交位移放大機構參數優化結果Table 3 Parameter optimization results of single-stage compliant orthogonal displacement amplification mechanism with single-force input based on optimization model 2 單位：mm

3 機構輸出位移非線性模型和優化結果的有限元仿真驗證

本節通過小變形靜力學有限元仿真驗證剪切非線性修正系數α擬合結果的準確性，并結合幾何非線性靜力學有限元仿真驗證幾何非線性修正系數β擬合結果的準確性，最后通過有限元仿真驗證優化結果的有效性。

對材料與結構參數均不同的單力輸入單級柔順正交位移放大機構進行靜力學有限元仿真分析，取5組算例，各算例中變截面梁AB 的參數設置如表4所示。對于表4中的5組算例，變截面梁AB輸出端結構參數lBC1=1.1 mm，lCC1=0.2 mm，計算得到各算例中等截面梁CD 的待定結構參數，如表5 所示。在5 組算例中，柔性鉸鏈的長徑比l/t值分別為5.50，4.00，5.00，4.29，8.00，其中，算例I、Ⅳ中變截面梁AB 不滿足歐拉-伯努利梁假設。

表4 各算例中變截面梁AB的參數設置Table 4 Parameter setting of variable section beam AB in each example 單位：mm

表5 各算例中等截面梁CD的待定結構參數Table 5 Pending structural parameters of constant-section beam CD in each example

3.1 考慮剪切作用的小變形建模驗證

利用ANSYS Workbench小變形靜力學有限元仿真分別獲取各組算例的yBs值，其中輸入力Fin=10 N。算例I對應的單力輸入單級柔順正交位移放大機構的小變形靜力學有限元仿真結果如圖7與圖8所示。圖7中X正方向與圖2中yB正方向相同。通過對比5組算例的yBs的理論值和仿真值可知，兩者的相對誤差分別為0.01%，5.38%，1.72%，3.42%，3.38%，均小于6.00%，說明剪切非線性修正系數α 的擬合結果準確。

圖7 算例I 對應的單力輸入單級柔順正交位移放大機構的邊界條件設置與小變形靜力學有限元仿真結果(Fin=10 N)Fig. 7 Boundary condition setting and small deformationbased static finite element simulation results of singlestage compliant orthogonal displacement amplification mechanism with single-force input corresponding to example I(Fin=10 N)

3.2 幾何非線性修正系數模型驗證

對于表4 中的5 組算例，分別取Fin=1，2，…，10 N，在不同輸入力下通過幾何非線性靜力學有限元仿真（邊界條件如圖7（a）所示）和小變形靜力學有限元仿真分別求出yB值和yBs值，結果如圖9所示，進而計算β的仿真值，并與基于式（12）和式（13）求出的理論值進行對比，結果如圖10所示。通過對比可知5組算例β 的理論值和仿真值的相對誤差分別為1.61%，0.89%，2.10%，1.50%，1.51%，均小于2.50%，說明幾何非線性修正系數β的擬合結果準確。

圖8 yBs的理論值與小變形靜力學有限元仿真值對比Fig. 8 Comparison of theoretical values and small deflection-based static finite element simulation values of yBs

圖9 算例I 對應的單力輸入單級柔順正交位移放大機構的幾何非線性靜力學有限元仿真結果(Fin=10 N)Fig. 9 Geometrical nonlinear static finite element simulation results of single-stage compliant orthogonal displacement amplification mechanism with single-force input corresponding to example I(Fin=10 N)

3.3 非線性優化結果驗證

表4 中算例I、II、V對應的單力輸入單級柔順正交位移放大機構的參數滿足優化模型1的約束條件，可將它們設為初始組，表6為初始組與基于優化模型1 優化的yB的有限元仿真值對比。依據基于優化模型1的優化結果，可構造3組具有最大理論位移放大倍數的對照組，分別與算例I、II、V對應，各對照組中變截面梁AB 的尺寸參數為：l=2.40 mm，t=0.30 mm，L=12 mm，tr=1 mm，h=1.2 mm。取輸出端結構參數lBC1=1.1 mm，lCC1=0.2 mm，計算得到相應的梁CD 的待定結構參數：Ld=10.75 mm，Bd=0.31 mm，γ=1.98°。相對于初始組，優化組輸出位移的幾何非線性程度提高，但輸出位移顯著增大。盡管對照組具有最大理論位移放大倍數，但優化組具有更大的輸出位移，說明優化結果有效。

表6 初始組、優化組與對照組的yB、β 的有限元仿真值對比（Fin=10 N）Table 6 Comparison of finite element simulation values of yB and β in the initial group, optimal group and control group (Fin=10 N)

基于優化模型2優化的yB和β的有限元仿真值如表7 所示。在優化組II（鎂合金）中，β 控制在約束范圍內；在其它優化組中，盡管β超出約束范圍，但β的有限元仿真值相對于約束條件中β的閾值的誤差分別為0.07%，0.05%，0.07%，0.11%，0.20%，均小于0.50%，說明優化結果有效。

圖10 β的理論值與有限元仿真值對比Fig. 10 Comparison of theoretical values and finite element simulation values of β

表7 基于優化模型2的yB、β的有限元仿真值（Fin=10 N）Table 7 Finite element simulation values of yB and β based on optimization model 2（Fin=10 N）

4 結 論

本文對單力輸入單級柔順正交位移放大機構進行了非線性建模與參數優化。通過對機構輸入輸出關系的兩步法半解析建模，實現了非線性結果的快速預測。結合卡式第二定理、有限元仿真法與最小二乘擬合法，建立了剪切非線性修正系數與無量綱尺寸參數因子間的二階多項式模型。基于有限元仿真法與最小二乘擬合法，建立了幾何非線性修正系數與無量綱結構尺寸、載荷參數的三階多項式擬合模型。通過ANSYS Workbench有限元仿真驗證了上述2個模型的準確性，其誤差均小于5%。綜合考慮輸出位移最大化與抑制幾何非線性的影響，提出2種平面尺寸和厚度綜合優化策略，并利用ANSYS Workbench有限元仿真驗證了優化結果的有效性。利用本文方法對單級柔順正交位移放大機構進行非線性建模與優化，可有效提高壓電驅動柔順微夾鉗的位移輸出性能與開環控制的精度和實時性，有利于實現穩定靈活的微操作。