基于AKC的行星拋光裝置構型綜合方法

劉海濤，翟安琪，許 可

（天津大學機構理論與裝備設計教育部重點實驗室，天津300072）

拋光裝置對拋光加工過程的運動平穩性有重大 影響，而拋光裝置的運動性能由其構型決定。因此，得到一種合理的拋光裝置構型對提高拋光精度具有重要意義。獲得機構同源構型（即構型綜合）的方法包括圖論法、桿組鄰接矩陣構型法、位移子群法、約束螺旋綜合法及基于方位特征集的方法等［1］。

孫亮波等［2］提出基于可動型IV級桿組的構型綜合方法，采用圖論法進行構型綜合分析，得到了13種IV級桿組的實用構型；張林等［3］基于圖論相關理論對一種新型裝載機工作裝置進行構型設計，利用胚圖插點法對九桿以內只含單鉸轉動副的平面閉環二自由度機構進行構型綜合，得到了51種拓撲圖；吳凡等［4］通過Assur 桿組法及圖論理論對平面三自由度全轉動副機構進行構件分類和組合，得到一種3條支鏈對稱的混聯機構；李樹軍等［5］以平面六桿機構為研究對象，提出一種基于桿組鄰接矩陣的平面機構綜合方法，得到了364種包含R副和P副的平面機構構型；王強等［6-7］以平面單自由度八桿復鉸機構為研究對象，以Assur桿組代替構件作為鄰接矩陣的基本元素，構建桿組鄰接矩陣，得到了681種八桿復鉸機構構型；Hwang等［8］提出了一種基于桿組鄰接矩陣的簡單關節平面運動鏈的計算機輔助構型綜合方法，該方法可實現同構鏈的自動識別。范彩霞等［9］基于李群理論提出了一類2T2R 型四自由度并聯機構的構型綜合方法，利用該方法可將平面并聯機構演變為空間并聯機構2RRU-2SPS；Lee等［10］以三自由度平動并聯機器手（translational parallel manipulator，TPM）為研究對象，提出基于群論的位移子群綜合法，并系統地綜合了包含雙平面運動鏈的三自由度TPM 新實例；楊彥東等［11］以饋能減振器為研究對象，根據約束螺旋理論提出了一種結構對稱的單自由度螺旋運動并聯機構的構型綜合方法；張彥斌等［12］以PPR-PRRRR-RUPU機構為研究對象，基于互易螺旋理論提出了完全各向同性三自由度平面并聯機構的構型綜合方法，為并聯機構新構型的設計提供了理論基礎；陳子豪等［13］基于螺旋理論設計了一種包含恰約束運動鏈的新型2-CPR/RRR 平面移動并聯機構，該機構具有完全各向同性的運動學特性；沈惠平等［14］分別以二移動一轉動并聯機構和三轉動并聯機構為例，利用基于方位特征集的方法研究了以基本運動鏈（basic kinematic chain，BKC）為基本單元的并聯機構的組成原理及其拓撲結構的設計方法；鄧嘉鳴等［15］以四支路低耦合度六自由度并聯機構為研究對象，應用基于方位特征集的機構拓撲方法，得到了10余種低耦合度六自由度并聯機構的拓撲結構。

鑒于桿組鄰接矩陣構型法便于計算機處理，但其直觀性較差且易產生同構構型，而李群理論、螺旋理論及基于方位特征集的方法多用于空間多自由度機構的構型綜合，本文針對平面單自由度拋光裝置提出了一種基于AKC的構型綜合方法。首先選擇合適的AKC，并拆除其中部分構件，得到若干個多自由度運動鏈，即本源構型；然后通過添加桿-副單元拓撲得到同源構型，對于多自由度的同源構型，通過添加雙滑塊結構、滑塊平行四邊形結構和雙平行四邊形結構來約束多余自由度；最后綜合出符合自由度要求的構型，并根據構型綜合要求優選出最佳構型，用于設計行星拋光裝置。

1 基于AKC的構型綜合方法

由平面機構組成原理可知：平面機構是由1個或若干個自由度為零的運動鏈依次連接主動件和機架而成。該自由度為零的運動鏈即為桿組或Assur 桿組［16］，因此，本文提出的構型綜合方法以AKC為基本單元?；贏KC 的構型綜合是先通過拆除AKC 中的部分機架或多副桿來得到多自由度運動鏈，然后通過添加若干桿-副單元得到單自由度或多自由度同源構型。滿足單自由度要求的構型可直接作為可行構型；而不滿足自由度要求的構型則需通過添加某種結構來限制多余自由度以滿足單自由度要求?；贏KC的平面機構構型綜合步驟如下：

步驟1：定型。根據Assur 桿組類型以及構型綜合條件，確定一種AKC。

步驟2：拆分。按照一定拆分順序，拆除機架或多副桿，得到多自由度運動鏈，即本源構型。

步驟3：拓撲。在運動鏈自由端添加桿-副單元，拓撲得到同源構型。

步驟4：分析。分析同源構型自由度，單自由度構型可直接作為構型綜合結果。

步驟5：約束。對于多自由度構型，添加約束自由度的結構（如雙滑塊、滑塊平行四邊形和雙平行四邊形），以滿足單自由度要求。

步驟6：選型。根據裝置具體的布置條件，優選機構構型。

基于AKC 的平面機構構型綜合流程如圖1 所示。該方法步驟清晰，綜合形式簡單、直觀。下文分別以II級和III級桿組為基本單元，具體說明平面單自由度機構構型綜合過程。

2 平面單自由度機構構型綜合

本文的研究對象是行星拋光裝置，為了避免機構過于復雜，選擇AKC 到III級且滿足單自由度要求。現將Assur桿組的關節用空心圓“○”表示，桿件用線“—”表示，拆除的關節用實心圓“●”表示；在構型名稱中，轉動副用R表示，移動副用P表示，三角形構件用“△”表示，并聯用“||”表示，串聯用關節數量和關節類型表示，如“-3R”表示串聯3個轉動副。

圖1 基于AKC的平面機構構型綜合流程Fig. 1 Flow of configuration synthesis of planar mechanism based on AKC

2.1 II級桿組

步驟1：定型。

II級Assur桿組由2個活動構件和3個低副構成，包括R-R-R、R-R-P、R-P-R、P-R-P 和R-P-P 共5 種形式，如圖2所示。由于驅動副類型以及拋光加工要求的圓周運動限制，僅以R-R-R桿組為基本單元，進行平面單自由度機構的構型綜合。

圖2 II級Assur桿組類型Fig. 2 Type of II-level Assur rod group

步驟2：拆分。

R-R-R 桿組對應的AKC 如圖3（a）所示，其自由度為0。按照不同的構件拆除數量，對AKC 進行拆分：

1）拆除1個構件：將O2點處機架拆除后得到“RR-”結構，如圖3（b）所示；

2）拆除2 個構件：同時將O1和O2點處機架拆除后得到“-R-”結構，如圖3（c）所示。

圖3 II級AKC拆分Fig. 3 Disassembling of II-level AKC

此時，II級AKC 無其他可拆分情況，最終得到“R-R-”和“-R-”這2個本源構型，用于結構拓撲。

步驟3：拓撲。

1）在“R-R-”結構的O2點處添加桿-副單元“RR”，得到R-R-R-R構型，如圖4（a）所示；

2）分別在“-R-”結構的O1、O2點處添加桿-副單元“R-R”，得到R-R-R-R-R構型，如圖4（b）所示。

圖4 II級AKC拓撲Fig. 4 Topology of II-level AKC

步驟4：分析。

R-R-R-R 構型的自由度為1，符合單自由度要求。R-R-R-R-R 構型的自由度為2，需附加1 種降低自由度的結構，使構型自由度滿足要求。

步驟5：約束。

1）添加雙滑塊結構。如圖5（a）所示，“PP”結構為一種雙滑塊結構，兩滑塊垂直固連，其中一個滑塊通過導軌與連桿AB聯接，另一個滑塊通過導軌與機架聯接。雙滑塊結構可以約束多自由度構型的1個自由度，使構型滿足單自由度要求。

2）添加滑塊平行四邊形結構。如圖5（b）所示，“P◇”結構為一種滑塊平行四邊形結構，滑塊與平行四邊形結構固連，其中滑塊通過導軌與連桿AB聯接，平行四邊形結構與機架聯接?；瑝K平行四邊形結構可以約束多自由度構型的1個自由度，使構型滿足單自由度要求。

3）添加雙平行四邊形結構。如圖5（c）所示，“◇◇”結構為一種雙平行四邊形結構，雙平行四邊形結構一端與連桿AB聯接，另一端與機架聯接。雙平行四邊形結構可以約束多自由度構型的1個自由度，使構型滿足單自由度要求。

步驟6：選型。

根據行星拋光裝置對構型的具體要求進行選型。鑒于下文還將對III級桿組進行構型綜合設計，故此處暫不進行選型步驟，在所有構型綜合完成后，再進行選型。

此外，可通過增加Assur 桿組，對綜合的構型進一步拓展［17］，類似約束機構自由度的方法不再贅述。表1為II級AKC滿足要求的構型綜合結果。

圖5 采用不同結構約束自由度后得到的II級AKC最終構型Fig. 5 Final configuration of II-level AKC obtained by restraining degree of freedom using different structures

表1 II級AKC構型綜合結果Table 1 Configuration synthesis results of II-level AKC

2.2 III級桿組

步驟1：定型。

III級Assur 桿組由4 個活動構件和6 個低副構成，共19種形式［18］。鑒于行星拋光裝置對構型要求的特殊性，僅以△-2R||2R||2R 桿組為基本單元，進行單自由度平面機構構型綜合。

步驟2：拆分。

△-2R||2R||2R 桿組對應的AKC 如圖6（a）所示，其拆分過程如下：

1）拆除1個構件：①拆分三角形機構，將三角形機構的邊BC 拆除后得到“R-R||2R||2R”結構，如圖6（b）所示；②拆分外圍機架，將O3點處機架拆除后得到“△-2R||2R||R-”結構，如圖6（c）所示。

2）拆除2 個構件：①拆分三角形機構和外圍機架，將三角形機構的邊BC和O1點或O3點處機架拆除后得到“R-2R||2R||-”或“R-2R||R||R-”結構，如圖6（d）、6（e）所示；②僅拆分外圍機架，將O2、O3點處機架拆除后得到“△-2R||R-||R-”結構，如圖6（f）所示。

3）拆除3 個構件：①拆分三角形機構和外圍機架，將三角形機構的邊BC及O1、O2點或O2、O3點處機架拆除后得到“R-2R||R-||-”或“R-R||R-||R-”結構，如圖6（g）、6（h）所示；②僅拆分外圍機架，將O1、O2和O3點處機架拆除后得到“△-R-||R-||R-”結構，如圖6（i）所示。

4）拆除4個構件：拆分三角形機構和所有外圍機架。但在圖6（g）和6（h）所示結構基礎上，若繼續將O1點或O3點處機架拆除后構型的自由度過大，不予考慮，拆分停止。

步驟3：拓撲。

1）“R-R||2R||2R”結構無自由端，不需添加桿-副單元；

2）“△-2R||2R||R-”結構O3點處添加桿-副單元“R-R”，得到△-2R||2R||3R構型，如圖7（a）所示；

3）“R-2R||2R||-”結構O1點處添加桿-副單元“RR”，得到R-2R||2R||2R構型，如圖7（b）所示；

4）“R-2R||R||R-”結構O3點處添加桿-副單元“RR”，得到R-R||2R||3R構型，如圖7（c）所示；

5）“△-2R||R-||R-”結構O2、O3點處同時添加桿-副單元“R-R”，得到△-2R||3R||3R 構型，如圖7（d）所示；

6）“R-2R||R-||-”結構O1、O2點處同時添加桿-副單元“R-R”，得到R-2R||3R||2R構型，如圖7（e）所示；

7）“R-R||R-||R-”結構O2、O3點處同時添加桿-副單元“R-R”，得到R-R||3R||3R構型，如圖7（f）所示；

8）“△-R-||R-||R-”結構O1、O2、O3點處同時添加桿-副單元“R-R”，得到△-3R||3R||3R構型，如圖7（g）所示。

圖6 III級AKC拆分Fig. 6 Disassembling of III-level AKC

圖7 III級AKC拓撲Fig. 7 Topology of III-level AKC

步驟4：分析。

R-R||2R||2R 構型的自由度為1，符合單自由度要求。△-2R||2R||3R、R-2R||2R||2R、R-R||2R||3R、△-2R||2R||4R 和△-2R||3R||3R 構型的自由度為2，需要附加1 個約束自由度的結構，使構型自由度降至1。R-2R||3R||2R、R-R||3R||3R 和△-3R||3R||3R 構型的自由度為3，需要附加2個約束自由度的結構，使構型自由度降至1。

步驟5：約束。

對圖7所示的所有多自由度構型分別添加“PP”、“P◇”和“◇◇”結構，約束多余自由度，使構型自由度滿足要求。由于篇幅限制，僅將通過添加“PP”結構約束二自由度構型多余自由度的結果列出，如圖8所示。III級AKC構型綜合結果見表2。

圖8 采用雙滑塊結構約束自由度后得到的部分III級AKC最終構型Fig. 8 Partial final configuration of III-level AKC obtained by restraining degree of freedom using double sliding block structure

表2 III級AKC構型綜合結果Table 2 Configuration synthesis results of III-level AKC

至此，完成平面單自由度機構構型綜合。另外，可以將步驟3 中拓撲得到的構型作為新的AKC 單元，采用上述方法進行進一步綜合，綜合流程如圖1所示，此處不再贅述。

步驟6：選型。

行星拋光裝置對構型具體要求如下：

1）單自由度。為減少電機數量以及減輕裝置質量，要求機構構型具有單自由度，從而使拋光裝置輕便且結構簡單。

2）公轉圓周運動及可調性。拋光盤及其連接的輸出軸需要實現完整的圓周運動，從而保證加工精度高以及拋光加工連續。同時，拋光盤的公轉圓周運動半徑需具有可調性以適應不同批次工件的拋光加工，從而增強拋光裝置的通用性。

3）自轉運動。拋光盤滿足公轉圓周運動的同時需要實現自轉運動，以滿足行星拋光裝置的基本拋光功能及加工質量要求。

綜合考慮上文得到的所有構型，可選擇R-R-PPR-R-R、R-R-P◇-R-R-R和R-R-◇◇-R-R-R構型來設計行星拋光裝置。

3 行星拋光裝置可行性驗證

以R-R-PP-R-R-R構型為例，分析其行星拋光運動特性。如圖9 所示，點O1、A 分別為該構型的輸入點和輸出點。該構型的自由度f = 5× 3- 7× 2= 1，滿足單自由度要求。支鏈O2CA為被動鏈，且自由度為0，不影響輸出點A的運動軌跡，則點A與輸入構件末端B點的軌跡相同，即輸出點A作公轉運動。通過改變輸入構件的長度即可改變公轉半徑，從而滿足公轉半徑可調的要求。在O2點處安裝自轉電機，通過二級帶傳動將電機的旋轉運動傳遞至輸出點A，從而實現點A 的自轉運動。綜上，R-R-PP-R-R-R 構型可以作為用于設計行星拋光裝置的可行構型。

圖9 R-R-PP-R-R-R構型運動特性分析Fig. 9 Motion characteristic analysis of R-R-PP-R-R-R configuration

利用R-R-PP-R-R-R構型設計的行星拋光裝置，如圖10所示。該拋光裝置由公轉傳動和自轉傳動兩部分組成。公轉傳動部分包括公轉電機、偏心調節單元、一體式滾動導軌和滾動導軌支撐板。將點O1作為公轉旋轉中心，安裝公轉電機。桿O1B作為可調偏心距曲柄，點O2連接自轉電機，通過桿CO2和桿AC將自轉運動傳遞至拋光軸的點A處。滾動導軌支撐板被一體式滾動導軌約束，減少了1個自由度，故滾動導軌支撐板僅平動。同時，通過改變偏心調節單元的曲柄長度，可實現拋光軸進行不同回轉半徑的公轉運動，以滿足不同拋光工藝要求。自轉傳動部分包括自轉電機和二級帶傳動，其核心作用是將作自轉運動的驅動電機安裝到機架上，以減輕機構運動部件質量。在自轉傳動支鏈中，自轉電機通過二級帶傳動將自轉運動傳遞至拋光軸，配合公轉運動實現拋光軸的自轉運動。

4 結 論

考慮現有綜合平面機構構型直觀性不高的缺點，提出了一種基于AKC的平面機構構型綜合方法，得到以下結論：

1）根據平面機構組成原理，分別選擇II級、III級桿組對應的AKC為基本單元，并按不同的構件拆除數量進行拆分，得到10種本源構型。

2）采用添加桿-副單元的方法對本源構型進行結構拓撲，得到若干同源構型；對于自由度不符合要求的構型，可通過添加雙滑塊結構、滑塊平行四邊形結構和雙平行四邊形結構來約束多余自由度，最終綜合得到47種滿足單自由度要求的平面機構構型。

3）考慮到避免機構發生干涉、構型簡潔及偏心距可調等設計要求，最終確定了3種最佳構型，即RR-PP-R-R-R、R-R-P◇-R-R-R 和R-R-◇◇-R-R-R 構型，并采用R-R-PP-R-R-R構型設計了行星拋光裝置，同時利用運動特性分析驗證了該裝置的可行性。

圖10 行星拋光裝置三維模型Fig. 10 3D model of planetary polishing device