用雙穩態勢場模型研究觀點轉變的驅動-響應關系*

王鵬 潘鳳春 郭晶晶 李婷婷 王旭明 2)?

1) (寧夏大學物理與電子電氣工程學院, 銀川750021)

2) (寧夏沙漠信息智能感知重點實驗室, 銀川750021)

(2019 年 10 月 8日收到; 2019 年 12 月 19 日收到修改稿)

從物理學的視角看, 群體觀點演化實質可以看作是觀點粒子狀態變化的集體效應. 本文考察在雙穩態勢中噪聲誘導觀點粒子的狀態轉變, 利用加權拉蓋爾完備正交函數法計算了時間關聯函數和描述驅動-響應關系的弛豫時間. 理論計算結果表明, 噪聲誘導作用存在一個臨界值Dc, 若噪聲強度高于臨界值, 時間關聯函數隨關聯時間呈指數型增加. 結果還顯示, 存在弛豫時間隨勢壘縱橫比/噪聲強度變化取值趨于無窮的雙奇異點現象. 奇異點處無法實現觀點粒子狀態的轉變. 弛豫時間與勢壘縱橫比之間存在線性關系, 預示著在雙穩態勢場中觀點粒子受噪聲驅動呈現類似牛頓第二定律的驅動-響應關系, 而弛豫時間在這個關系中充當表征慣性質量的角色.

1 引言

現實社會中, 一些事件會引發廣泛關注和深刻討論, 導致觀點一致或分化等強烈變化[1?3]. 事件發展的動力學機制是什么? 如何刻畫? 目前, 基于伊辛模型的基本思想, 建立了觀點動力學[4?6]、人文動力學[7]、語言動力學[8]、動物的集群行為[9]、人類遷移動力學[10?13]等模型定量描述了人類行為規律, 探索了人類行為的特征量或屬性量. 德國物理學家Helbing[14?16]引入社會力, 提出類慣性的屬性量, 依據牛頓第二定律考察人類空間行走和人群應急出逃的路徑選擇等行為, 為將人類社會行為研究納入經典物理學理論框架進行了有益探索. 觀點演化等人類信念傳播過程中, 個體的“狀態”變化亦可能受普適物理學規律的支配, 類慣性等屬性應當存在于驅動-響應關系中, 但如何表達應該是一個非常大的挑戰.

在經典統計物理理論框架下, 觀點動力學研究取得了豐富的結果[17?23]. 一些物理學家基于伊辛模型以及相關的統計理論, 發現隨機漲落會誘導雙穩態間的翻轉[24,25]. Sznajd-Weron和Sznajd[21]模擬了噪聲誘導一維觀點粒子的自發翻轉. 同時, 觀點傳播被理解為輿論在對稱雙穩態有效勢場中的運動, 揭示了觀點粒子在雙穩態間自發翻轉的最大等待時間與系統尺寸間呈冪指數關系[25]. de la Lama等[26]依據Sznajd模型的個體觀點變化遞歸關系, 以概率p實現觀點轉變, 則以概率 ( 1?p) 保持觀點不變, 結果表明若p>pc(這里pc是個體狀態轉變的閾值)時, 個體觀點會自發地形成雙穩態,相反則形成單穩態或無序態.

受上述雙穩態勢場觀點粒子特征的啟發, 本文試圖考察觀點粒子在雙穩態勢場中, 噪聲誘導其狀態翻轉的動力學特征, 展示狀態變化的驅動-響應關系, 揭示類慣性的表現方式, 即獲得類似于彈性系數扮演系統屬性量的角色, 通過類比, 可理解觀點翻轉過程的因果律.

2 觀點轉變的隨機動力學模型

輿情的形成、觀點傳播等社會群體行為, 其實質是每個個體狀態的轉變. 與實物粒子系統類似,群體狀態轉變通常存在一個動力學臨界, 表現為一種標度規律. 為了清晰地展示這種群體狀態的轉變, 將觀點粒子的狀態轉變抽象為雙穩態勢中的粒子從一個穩態跳躍至另一個穩態的動力學行為.基于物理系統中對雙穩態勢的選取[27], 取V(x)=這里x表示觀點空間,是調整雙穩態場勢壘高度的參數, 雙穩態對應的觀點位置分別為勢壘高度為

如圖1所示.勢壘高度描述粒子躍遷所需的最小能量, 可以刻畫觀點粒子實現轉變的困難程度. 為了考慮勢壘寬度對狀態轉變的影響, 將其與勢壘高度的影響歸并,從而引入勢壘的高寬比即縱橫比從縱橫比的表達形式可知, 縱橫比越大(α越大, 即勢壘高度越大), 觀點粒子維持狀態的能力越強, 實現翻轉需要注入的能量越多, 反之則相反. 對于開放的社會系統, 觀點粒子狀態的變化不僅受確定勢場的作用, 同時還會受由社會環境施加的不確定作用, 即隨機作用(突發事件、突然的關注等不確定的作用)的影響. 因此, 應由Langevin方程描述觀點粒子的動力學, 則有

圖1 不同勢壘高度下的雙穩態廣義勢Fig. 1. Bistable generalized potential with different barrier heights.

其中??V(x) 表示觀點粒子受勢場的負梯度力;ξ(t)表示由社會環境不確定因素引發的隨機力, 服從高斯白噪聲, 其統計特征滿足:

用Kramers-Moyal級數展開方法將方程(1)轉變為概率演化方程[11?13,27], 即 Fokker-Planck方程

這里N0是歸一化常數.

為了考察觀點粒子從一個穩定狀態轉變為另一個穩定狀態的統計規律, 即粒子從雙穩態勢的左谷向右谷的轉變, 從而實現對觀點粒子輸運特征的測量. 根據 Graham 和 Schenzle[28], Huber和Tsimring[29], Lett等[30]對關聯函數的定義, 考察變量時間關聯函數

這里P(x,τ;x0,0) 表示初始條件為x(0)=x0, 經歷時間τ出現在位置x(τ) 的概率. 由于觀點粒子狀態的變化是一個隨機過程, 因此, 從狀態經過時間間隔τ轉變為狀態x的概率可以通過轉移概率密度P(x,τ|x0,0) 獲得, 即

根據方程(3)中微分算符的時間獨立性, 可以推出轉移概率的廣義形式為

將方程(7)和方程(8)代入方程(6), 得時間關聯函數

發現此函數滿足Fokker-Planck方程(方程(3)),即此函數是Fokker-Planck方程的一種含時解, 且初始條件滿足

將含時解代入方程(10), 則時間關聯函數的形式轉變為

基于初始條件以及穩態解的可積性, 可將Fokker-Planck方程的概率解在完備正交函數空間展開, 即

根據Sancho等[31]對時間關聯函數的標準化定義, 則有

將方程(14)代入方程(17), 則

將方程(15)和方程(16)代入方程(18), 則

依據加權拉蓋爾多項式的正交性和平方可積性, 即

將方程(21)代入方程(18), 可得

為了計算含時系數, 將方程(14)代入方程(11),借助加權廣義拉蓋爾多項式的正交性和遞歸關系得

具體計算過程以及系數的表達形式請參考附錄A.

那么方程(23)轉變為三角矢量遞歸關系[27], 其形式為

對方程(25)做Laplace變換, 則有

這里I是單位矩陣,是穩態展開系數. 根據加權廣義拉蓋爾展開系數的定義式

從方程(28)可知穩態概率的拉蓋爾級數展開系數為于是可推出

李錦認為，國企應該通過混改，帶來吸引資金、降低杠桿率、優化公司治理、試點職業經理人制度等多重效益，不能單打一。

對(27)式進行連續迭代, 從而建立了關聯矩陣的連分數形式

方程(36)可以看作是Q為未知量的一元二次方程,其解為

根據連分數極限收斂性質, 則關聯矩陣收斂于上述解的最小值[27], 即

那么, 含時系數的遞歸關系可寫成為

將方程(39)代入方程(27), 可得

將方程 (26), (27), (30)和 (38)代入方程 (40),計算得

其中, 參數A,B,,和分別為

對方程(43)進行Laplace逆變換, 則有

和

將方程(44)和方程(45)代入方程(22) 即得時間關聯函數

為了能展示觀點粒子系統對噪聲驅動所作響應的本質特征, 引入描述系統相變的弛豫時間, 即對時間關聯函數進行積分

據此可考察相變過程的驅動-響應關系.

3 結果分析

通過上述理論解析, 獲得了刻畫雙穩態觀點粒子狀態轉變的時間關聯函數和弛豫時間. 圖2展示了時間關聯函數對關聯長度的依賴關系, 噪聲強度D的差異將時間關聯函數劃分為兩種不同的變化方式: 若DDc, 時間關聯函數隨時間呈指數形式遞增, 如圖2(b)所示. 指數隨著噪聲作用的增強而變大(D=0.20→0.25 對應指數從ke=0.14→0.32 ),標志著強噪聲作用強到完全壓制關聯函數隨時間衰減的程度, 噪聲誘導群體狀態轉變的有序性隨之提高.

顯然, 弛豫時間能夠反映上述相變過程的快慢, 一定程度上體現了此過程驅動-響應關系中的慣性, 稱之為類慣性. 為揭示這種關系, 考察其對噪聲強度和勢壘縱橫比的依賴關系, 從而揭示輿情傳播、觀點演化過程的本質特征. 圖3展示了觀點粒子狀態轉變的弛豫時間. 弛豫時間隨勢壘縱橫比呈現出衰減趨勢且存在兩個不連續的奇異點, 如圖3(a)所示. 衰減變化表明勢壘越高, 兩態轉變的弛豫時間越短. 這可從相反的情形得到理解, 即勢壘越低, 觀點粒子雖然越容易跨過勢壘到達另一狀態, 但越難穩定于此狀態, 即弛豫時間越長. 圖3(b)刻畫了弛豫時間與噪聲強度間的依賴關系, 同樣呈現出雙奇異點現象. 弛豫時間對縱橫比和噪聲強度的雙奇異點, 從方程(48)的表達形式可知產生奇異的兩種情形, 8D?6α →0 和K?x(0)→0 . 這兩種情形分別對應圖3中的第一個和第二個不連續奇異點, 前者表示噪聲強度與勢壘縱橫比間競爭的臨界關系, 后者描述了群體系統位移的均方差趨于0, 即觀點粒子分布趨于空間均勻. 第一個奇異點的參數Ds=0.75α和與之對應的勢壘縱橫比

圖2 在確定勢壘高度的縱橫比 ( γ =0.2 )情形下, 時間關聯函數對關聯時間長度的依賴關系(a) 若噪聲強度DDc , 時間關聯函數對關聯時間長度呈指數關系, Φx(τ)∝ e?keτFig. 2. Time correlation function with different aspect ratios of energy barrier: (a) When D Dc , time correlation function increases with time correlation length exponentially,Φx(τ)∝ e?keτ.

圖3 (a) 在不同的噪聲強度情形下, 弛豫時間對勢壘深度縱橫比的依賴關系; (b) 在不同縱橫比情形下, 弛豫時間對噪聲強度的依賴關系Fig. 3. (a) Dependence of relaxation time on aspect ratio of energy barrier under different noise intensities; (b) dependence of relaxation time on noise intensity under different aspect ratios of energy barrier.

圖5 (a) 弛豫時間與噪聲強度間呈線性依賴關系; (b) 關聯系數與縱橫比間呈線性依賴關系Fig. 5. (a) Relaxation time depends linearly on noise intensity; (b) correlation coefficient depends linearly on aspect ratio of energy barrier.

奇異點標志著噪聲誘導無法實現觀點粒子的狀態翻轉. 第一個奇異點意味著噪聲強度與縱橫比的競爭勢均力敵(方程(49))時觀點粒子無法實現狀態轉變. 第二個奇異點是系統整體趨于無序的均勻狀態, 亦無法實現觀點粒子的狀態翻轉.

為了找出前述相變過程驅動-響應關系及其對應的量, 在無奇異現象的參數情形下考察弛豫時間與噪聲強度的這種關系. 圖5(a)展示了弛豫時間(過程特征)與噪聲強度(驅動)間呈線性相關, 即

其中 1 /C是關聯系數. 圖5(b)展示了噪聲強度與紅色圈連成的線表示臨界條件

圖4 藍色點連成的線為

Fig. 4. Dotted blue line shows the critical condition ofred circle line presents the critical condition

勢壘縱橫比間呈線性關系, 因此方程(51) 可變形為

其中k是C與勢壘縱橫比的比例系數.

至此, 可以用方程(52)來描述觀點粒子狀態轉變的驅動-響應關系. 在這個關系中D是驅動力,代表觀點粒子狀態變化的難度, 一定程度上反映兩個態之間的差異程度, 對應相變時的狀態變化量, 度量系統對驅動的響應;T描述觀點粒子從一個態變到且穩定于另一個態的“瞬態”時長, 在這個驅動響應關系中, 具有表征慣性的“質量”的意義, 稱之為“類慣性”.

4 結論

通過理論計算時間關聯函數以及弛豫時間, 考察觀點粒子狀態轉變過程的細節特征. 時間關聯函數的變化規律顯示: 在確定的縱橫比下, 噪聲誘導觀點粒子狀態轉變存在一個臨界值, 若噪聲誘導群體狀態轉變的有序性先增強后減弱, 若誘導群體狀態轉變的時間關聯函數呈指數型遞增, 表明噪聲作用引起群體的局部關聯與時間關聯長度間形成競爭. 噪聲誘導作用強, 群體狀態轉變行為顯著且有序性高. 弛豫時間與縱橫比/

附錄A含時系數的計算

為了計算含時系數, 將方程(14)代入方程(11), 則噪聲強度間的雙奇異點現象揭示了: 1)當系統處于均勻的空間分布狀態時, 噪聲無法誘導觀點粒子狀態的轉變; 2)噪聲誘導作用與觀點粒子狀態轉變困難程度的競爭處于平衡時, 即處于參數曲線時, 同樣無法實現觀點粒子狀態的轉變. 弛豫時間隨勢壘縱橫比的衰減關系表明, 觀點狀態轉變的難度越高, 群體系統對噪聲的響應時間越短. 弛豫時間與噪聲強度以及C與勢壘縱橫比間的線性關系, 實際體現了群體系統的驅動-響應關系, 即其中D是驅動強度,C是系統的響應,T則度量系統的類慣性大小.這個關系可以看作是支配觀點演化的“牛頓第二定律”.

本文結果還隱含了另外一個重要關系, 即能量和信息量的聯系. 在本文的雙穩態勢場模型中, 觀點粒子從一個穩態躍遷至另一個穩態首先需要獲得能量以越過勢壘. 換一個角度看, 觀點粒子之所以能夠從一個穩態躍遷至另一個穩態, 是因為它通過噪聲關聯, 獲得了信息. 從這個意義上講, 能量和信息量在這一過程中聯系起來了. 可以看作是與微觀領域兩者之間存在的本質聯系[32?34]一致的經典領域的結果.

方程(A1)右邊第一項記為

對方程(A1)右邊第二項化簡得

第三項化簡得

對方程(A5)進行遞歸關系變換, 即做如下的遞歸變換:

方程(A5)右邊的項分別為

將方程(A7)—(A14)代入方程(A5), 化簡得

為了書寫方便, 假設方程(A15)中的系數分別為