有耗介質層上多導體傳輸線的電磁耦合時域分析方法*

葉志紅 張杰 周健健 茍丹

(重慶郵電大學通信與信息工程學院, 重慶400065)

(2019 年 8 月 9日收到; 2020 年 1 月 5日收到修改稿)

目前, 針對空間電磁場作用有耗介質層上傳輸線的電磁耦合, 仍缺乏有效的數值分析方法. 因此, 本文提出一種高效的時域混合算法, 很好地解決了有耗介質層上傳輸線電磁耦合建模難的問題. 首先, 對經典傳輸線方程進行改進, 推導了適用于有耗介質層上多導體傳輸線電磁耦合分析的修正傳輸線方程. 然后, 結合時域有限差分方法和相應插值技術, 求解修正傳輸線方程, 獲得多導線及其端接負載上的電壓和電流響應, 并實現空間電磁場輻射與多導線瞬態響應的同步計算. 最后, 通過相應計算實例的數值模擬, 與CST軟件的仿真結果進行對比, 驗證了時域混合算法的正確性和高效性.

1 引言

非金屬導電材料具備質量輕和導電性好的特點, 廣泛應用于工業和軍事等領域作為設備制造材料, 例如飛機蒙皮使用的復合材料就是典型的非金屬導電材料. 在飛機等復雜目標中, 大量的傳輸線鋪設在非金屬導電材料上, 實現不同設備之間的數據通信. 當這類目標處于復雜電磁環境中時, 空間強電磁干擾源將通過目標內的傳輸線耦合產生強電流信號, 該信號必然流入傳輸線端接電路, 對電路上的敏感元件造成干擾或破壞. 因此, 實現對非金屬導電材料上傳輸線的電磁耦合建模, 是分析飛機等電大尺寸目標電磁環境效應的前提.

由傳輸線理論可知, 在空間電磁場的激勵下,傳輸線與其鄰近的非金屬導電材料之間將形成電流回路. 為了便于分析, 將非金屬導電材料等效為具有一定介電常數和電導率的有限尺寸大小和厚度的有耗介質層. 全波算法是模擬有耗介質層上傳輸線電磁耦合的最直接方法, 其中時域有限差分(FDTD)方法[1?4]是應用非常廣泛的時域算法. 但是, 采用FDTD方法進行模擬, 需要對有耗介質層和傳輸線精細結構直接建模, 剖分所需網格量較大, 勢必造成計算效率低. 因此, 國內外學者基于傳輸線方程理論, 開展了大量的數值算法研究, 實現傳輸線電磁耦合的高效計算. 這類算法的核心思想是在避免對傳輸線直接建模的前提下, 獲得與全波算法具有相同精度的計算結果. 其中, 主流的算法有 3類: Beam-Liu-Tesche (BLT)方程[5?11]、FDTD-SPICE (simulation program with integrated circuit emphasis)算法[12?17]和 FDTD-TL(transmission line)算法[18?20]. BLT 方程是將傳輸線看作管道, 激勵源和負載看作節點, 構建節點電壓電流經管道傳播的關系矩陣, 進而求解矩陣以獲得負載上的電壓和電流響應. 但是, BLT方程是一種頻域方法, 當入射波為寬頻帶信號時, 計算效率不高. FDTD-SPICE算法是一種時域方法, 其首先使用傳輸線理論建立傳輸線的SPICE等效電路模型[21], 然后通過FDTD方法模擬傳輸線的激勵場并引入 SPICE軟件作為激勵源, 最后, 采用SPICE軟件仿真得到傳輸線端接負載上的電壓和電流響應. 但是, 該算法在推導SPICE等效電路模型時需要用到大量的理論推導, 且算法中負載瞬態響應與傳輸線激勵場需分開計算, 因此計算效率不高. FDTD-TL算法是本文的前期研究成果, 首先使用傳輸線方程構建空間電磁場作用傳輸線的電磁耦合模型, 然后通過FDTD方法模擬傳輸線周圍空間的電磁場分布, 并在FDTD的每個時間步上引入到傳輸線方程作為等效分布源項, 最后采用FDTD的中心差分格式離散傳輸線方程[22], 迭代求解得到傳輸線和端接負載上的瞬態響應. 相較于其他算法, 該算法實現了空間電磁場輻射與傳輸線瞬態響應的同步計算. 然而, 這類算法針對的研究對象均是理想地和實際地面上的傳輸線, 而對于有耗介質層上傳輸線的研究還未開展, 其原因是現有的傳輸線方程不適用于有耗介質層上傳輸線的電磁耦合分析.

因此, 本文首先基于經典傳輸線方程, 推導了適用于有耗介質層上傳輸線電磁耦合分析的修正傳輸線方程. 然后, 結合FDTD-TL算法和插值技術, 提出了一種高效的時域混合算法, 實現有耗介質層上多導體傳輸線瞬態響應的快速計算. 最后,通過相應計算實例的數值模擬, 驗證了時域混合算法的正確性和高效性.

2 時域混合算法理論

2.1 有耗介質層上傳輸線電磁耦合分析的修正傳輸線方程推導

時域混合算法的核心是建立適用于有耗介質層上傳輸線電磁耦合分析的傳輸線方程. 經典的傳輸線方程包含兩個方程, 稱之為第一和第二電報方程, 其均由Maxwell方程組推導得到. 下面以經典傳輸線方程為原型, 詳細介紹修正傳輸線方程的推導過程.

建立第一電報方程時, 需在傳輸線與接地面零電勢位置之間選取合適的閉合回路. 當接地面為金屬地時, 零電勢位于金屬地表面. 接地面為實際地面時, 零電勢為無窮遠處. 適用于金屬地和實際地面上傳輸線電磁耦合分析的傳輸線方程及其推導過程, 已在文獻 [23]中給出. 然而, 有耗介質層是具有一定介電常數和電導率的有限厚度的損耗介質, 已有的傳輸線方程無法滿足電磁波作用有耗介質層上傳輸線的電磁耦合建模需求.

圖 1 閉合回路和閉合曲面的選取Fig. 1. Selections of closed loop and surface.

當空間電磁場進入有耗介質層之后, 隨著深度的增加而不斷衰減, 因此可以將有耗介質層下表面近似看成零電勢位置. 按照圖1中的閉合回路, 應用電磁感應定律并按照積分形式展開得到:

其中,d和h分別表示有耗介質層的厚度與傳輸線架設的高度;,和均為總場. 考慮到傳輸線為良導體, 導體表面切向電場為零, 而且電磁場到達有耗介質層下表面時衰減到近似為零, 即此時, 將 (1)式對y求導, 可得

y處傳輸線與有耗介質層下表面之間的電壓可表示為

基于此, (4)式可以表示為

其中,

建立第二電報方程時, 需要在傳輸線上選取合適的閉合曲面, 如圖1所示. 根據安培環路定律方程兩邊同時進行閉合面積分,并應用奧氏公式和旋度的散度恒等于零的結論可得

其中,E為總電場,H為總磁場,J為傳輸線上的電流密度. 將電場E分解為入射電場Einc和散射電場Esca的疊加, 可得

將(10)式代入(9)式, 并將兩邊對y求導, 可得

(11)式即為修正以后的第二電報方程.

將(5)和(11)式由頻域轉換為時域, 即可獲得適用于有耗介質層上傳輸線電磁耦合分析的時域傳輸線方程. 該方程可擴展到多導體傳輸線的情況, 表示為

修正傳輸線方程的方程結構形式與經典傳輸線方程[18]保持一致, 兩者最大的區別在于等效分布源項的計算. 修正傳輸線方程的項表示有耗介質層下表面與傳輸線位置之間的垂直入射電場分量的沿線積分,為傳輸線位置的切向入射電場分量與有耗介質層下表面的切向電場分量之差. 換言之, 修正傳輸線方程考慮了有耗介質層內部的電場對傳輸線電磁耦合的影響.

2.2 有耗介質層上多導線電磁耦合的FDTD求解

修正傳輸線方程建立了空間電磁場與有耗介質層上多導線之間的電磁耦合關系, 通過求解傳輸線方程, 即可獲得多導線上的瞬態響應. 需要說明的是, 傳輸線方程中的傳輸線單位長度分布參數和等效分布源項均為未知量, 其計算精度決定了傳輸線方程的建模準確度. 因此, 在求解傳輸線方程之前, 需要準確計算有耗介質層上多導體傳輸線的單位長度分布參數和等效分布源項.

2.2.1 多導線單位長度分布參數的計算

多導線單位長度電感參數矩陣L可由經驗公式和計算得到, 其中i和j分別表示第i根和j根傳輸線,和分別表示第i根傳輸線的自電感以及與第j根傳輸線的互電感;,和分別表示第i根和第j根傳輸線的高度以及兩根傳輸線之間的距離, 如圖2所示. 電容參數矩陣C由公式計算得到.

圖2 多導體傳輸線的橫截面幾何結構Fig. 2. Cross section geometry of multi-conductor transmission lines.

2.2.2 多導體傳輸線等效分布源項的計算

多導體傳輸線等效分布源項由傳輸線周圍的空間電磁場獲得, 而空間電磁場由FDTD方法計算得到[24,25]. 由 (16)和 (17)式可以發現, 等效分布源項只與入射電場有關, 而與多導線的散射電場無關, 這是因為: 一方面, 導線的橫截面較小, 散射場較弱; 另一方面, 根據鏡像原理, 有耗介質層對入射波的反射會抵消導線的部分散射場. 因此, 采用FDTD方法模擬多導線周圍空間電磁場時, 只需對有耗介質層進行網格剖分, 而無需對多導線直接建模. 但是, 多導線的高度和間距可為任意值,即多導線未必落在FDTD網格的棱邊上. 因此, 多導線等效分布源項所需的電場分量需要采用插值技術由相鄰棱邊上的FDTD電場分量計算得到,如圖3所示.

圖3 多導線沿線和垂直電場分量的插值示意圖Fig. 3. Interpolation schemes of the electric fields along and perpendicular to the multi-conductor transmission lines.

將計算得到的傳輸線激勵場在FDTD的每個時間步進上引入到傳輸線方程作為等效分布源項.建立好傳輸線方程之后, 采用FDTD方法的中心差分格式進行離散, 獲得傳輸線電壓和電流的FDTD迭代求解公式, 從而求解得到多導線及其端接負載上的電壓和電流響應. 具體的迭代求解公式可由文獻[15]獲得.

對于多導線端接負載上的電壓V0和VN不滿足中心差分格式, 需分別采用前向差分和后向差分進行離散. 假定多導線按照FDTD網格劃分成N段, 如圖4所示, 負載上的電壓迭代公式表示為

圖4 傳輸線的 FDTD網格劃分Fig. 4. FDTD grid division of transmission lines.

3 數值仿真與分析

采用時域混合算法對有耗介質層上單導體傳輸線和多導體傳輸線的電磁耦合進行數值模擬, 并與商業電磁仿真軟件CST的計算結果進行對比,來驗證算法的正確性和高效性.

算例1有耗介質層上單導線的電磁耦合模型如圖 5所示, 有耗介質層大小為 0.2 m × 0.4 m,厚度為 0.01 m, 相對介電常數為 10, 電導率為20 S/m. 單導線長度為 20 cm, 高度為 1.9 cm, 端接負載分別為50和100 W. 入射波為高斯脈沖垂直照射單導線, 幅度為 1000 V/m, 脈寬為 2 ns. 為了保證計算精度, 時域混合算法選用的網格大小為 5 mm. 在計算空間電磁場分布時, 選用各向異性介質完全匹配層(UPML)截斷邊界, 入射波距離多導線的高度為4個空間網格大小. 圖6給出了時域混合算法與CST微波工作室計算得到的負載R2上的電壓響應對比曲線. 可以看出, 兩種方法的計算結果振蕩周期保持一致, 且幅值吻合度非常高. 表1列出了兩種算法計算所需內存和時間的對比, 可以看出, 時域混合算法相較于 CST, 節省了47%左右的計算時間, 是因為時域混合算法無需對單導線直接建模. 這里需要說明的是, CST軟件雖然提供線纜工作室模擬傳輸線的電磁耦合, 但是只適用于接地面為金屬體的情況.

圖5 有耗介質層上單導線的電磁耦合模型Fig. 5. Coupling model of single transmission line on the lossy dielectric layer.

圖6 負載 R2 上的電壓響應Fig. 6. Voltages on the load R2 computed by the two methods.

表 1 兩種方法計算算例1時所需內存和時間對比Table 1. Memories and computation time needed by the two methods for the first example.

算例2有耗介質層上多導體傳輸線的電磁耦合模型見圖7, 有耗介質層的大小為0.4 m ×0.7 m, 厚度為 0.01 m, 相對介電常數為 10, 電導率為50 S/m. 5根導線平行放置在有耗介質層上,長度為 0.5 m, 高度為 1.1 cm, 間距為 4 mm, 半徑為 1 mm. 始端負載R1—R5均為 50 W, 終端負載R6—R10均為100 W. 入射波類型和算法選用的網格大小與算例1的相同.

圖7 有耗介質層上多導體傳輸線的電磁耦合模型Fig. 7. Coupling model of multi-conductor transmission lines on the lossy dielectric layer.

圖8 入射波垂直照射下的多導線端接負載的電壓響應(a)負載R1上的電壓; (b)負載R7上的電壓Fig. 8. Voltages on the terminal loads of multi-conductor transmission lines under the condition of ambient wave perpendicular to the multi-conductor transmission lines:(a) Voltages on R1; (b) voltages on R7.

首先, 入射波角度設置為q= 180°,f= 90°和a= 180°, 即垂直照射多導線. 采用時域混合算法與電磁仿真軟件CST計算得到負載R1和R7上的電壓響應對比曲線, 如圖8所示. 可以看出, 兩種算法的計算結果基本保持一致.

然后, 考慮入射波斜照射的情況, 將入射角度設置為q= 135°,f= 45°和a= 180°, 同樣采用兩種方法計算得到負載R1和R7上的電壓響應對比曲線, 如圖9所示. 可以看出, 在入射波斜照射的情況下, 兩種算法的計算結果仍能保證很好的吻合度. 另外, 表2列出了兩種算法計算所需內存和時間的對比. 相較于算例1, 時域混合算法比CST節省了更多的計算時間, 是因為導線數量增加, 導致CST剖分所需網格量增多.

圖9 入射波斜照射下的多導線端接負載的電壓響應(a)負載R1上的電壓; (b)負載R7上的電壓Fig. 9. Voltages on the terminal loads of multi-conductor transmission lines under the condition of ambient wave oblique to the multi-conductor transmission lines: (a) Voltages on R1; (b) voltages on R7.

表2 兩種方法計算算例2時所需內存和時間對比Table 2. Memories and computation time needed by the two methods for the second example.

4 結論

經典傳輸線方程不適用于電磁波作用有耗介質層上傳輸線的電磁耦合問題. 因此, 基于經典傳輸線方程, 推導了適用于有耗介質層上多導體傳輸線電磁耦合分析的修正傳輸線方程. 然后, 結合前期研究的FDTD-TL算法和相應的插值技術, 提出了一種高效的時域混合算法, 實現修正傳輸線方程的快速求解, 獲得多導體傳輸線及其端接負載上的瞬態響應. 該時域混合算法避免了對多導線精細結構的直接建模, 并實現了空間電磁場輻射與多導線瞬態響應的同步計算. 通過相應計算實例的數值模擬, 驗證了時域混合算法能夠與CST微波工作室的全波仿真保持相同的計算精度. 當使用相同網格大小時, CST軟件所需內存和計算時間較時域混合算法有優勢, 但由于在時域混合算法中精細的傳輸線結構無需剖分網格, 因此, 在獲得相同精度的條件下, 時域混合算法相較于CST軟件具有顯著的優勢.