激光選區熔化制備負泊松比橢圓多孔AlSi10Mg合金性能的數值模擬

王 曉，王懷明，祁俊峰2，李志杰，張 揚

(1.北華航天工業學院機電工程學院，廊坊 065000；2.北京衛星制造廠有限公司，北京 100020)

0 引 言

航天技術的快速發展對航天器的輕量化提出了越來越高的要求。負泊松比橢圓多孔材料作為一種輕量化材料，具有輕質、較大的能量吸收比、良好的抗凹陷能力、優異的抗斷裂能力、較高的剪切強度等特點，作為航天器中的填充材料應用時不僅可大幅減輕航天器的質量，還可保證被填充零部件優良的力學性能，因此在航天領域中有著廣闊的應用前景。負泊松比橢圓多孔材料具有十分復雜的結構，采用傳統方法難以制備。在20世紀末出現的增材制造技術在制備復雜結構零件(材料)方面有著獨特的優勢，目前常采用激光選區熔化(SLM)增材制造技術來制備負泊松比多孔材料。BERTOLDIO等[1]研究表明，當二維圓孔多孔材料在受壓力作用且材料孔隙率大于0.34時，材料中的相鄰兩圓孔將變為相互垂直的兩橢圓孔，同時材料將表現出負泊松比的特性。TAYLOR等[2]對具有低孔隙率的二維相互垂直橢圓多孔材料的泊松比進行了研究，發現橢圓孔的長/短軸之比、孔隙率是影響材料泊松比的重要因素。WILLSHAW等[3]研究發現，當柔性三維圓孔多孔材料受壓力作用時，其相鄰兩圓孔將變為相互垂直的兩橢圓孔，同時材料將表現出負泊松比的特性。SHEN等[4]提出了一種柔性負泊松比多孔材料的設計方法，并指出缺陷度和相對密度是影響該材料泊松比的主要因素。REN等[5]在SHEN等研究的基礎上對負泊松比多孔金屬材料進行了研究，指出形狀程度因子和材料體積分數(實際體積與其表觀體積的比)是影響其泊松比的主要因素。

目前，有關負泊松比橢圓多孔材料的研究主要集中在設計參數對材料泊松比、彈性模量影響的定性研究方面，而鮮見設計參數與泊松比、彈性模量之間的定量研究報道。為此，作者將橢圓的長/短軸之比、橢圓的短軸半軸長和初始胞元的邊長作為設計參數，提出了一種簡化的負泊松比橢圓多孔材料設計方法；通過負泊松比橢圓多孔材料的幾何關系建立設計參數與泊松比間的數學模型，同時通過引入Gibson-Ashby模型確定了設計參數與彈性模量間的數學模型；以航天領域內最常用的AlSi10Mg合金為基體材料，采用激光選區熔化技術制備負泊松比橢圓多孔AlSi10Mg合金，通過準靜態壓縮試驗對該合金的泊松比數學模型進行驗證，并確定彈性模量數學模型中的常數C，這對負泊松比橢圓多孔材料的設計和應用具有十分重要的意義。

1 負泊松比橢圓多孔材料的設計

SHEN等[4]和REN等[5]采用相同的方法設計負泊松比橢圓多孔材料，即用Abaqus軟件中的屈服分析模塊，通過屈服變形將模型上相鄰兩圓孔變為兩長軸相互垂直的橢圓孔，從而產生負泊松比效應。該設計方法較為復雜且過程十分繁瑣，因此作者在此基礎上，提出了一種簡化的設計方法，其主要步驟為：先確定橢圓的長/短軸之比R、橢圓的短軸半軸長b、初始胞元的邊長c，然后根據已知R和b，確定橢圓的長軸半軸長a，從而確定材料中橢圓的尺寸。在邊長為c的立方體的3個主方向上，拉伸切除掉3個橢圓柱，得到初始胞元，其中切除掉柱體的橫截面為橢圓，其長軸半軸長為a、短軸半軸長為b，并且柱體橫截面橢圓的形心與立方體表面的形心重合；由于無法直接通過陣列初始胞元得到負泊松比材料，因此在3個主方向分別排列3個初始胞元，得到一個由27個初始胞元組成的結構；將此結構中的多余部分去除，可以得到一個新的胞元，為了同初始胞加以區分，將這個新的胞元稱為最終胞元；將最終胞元沿著3個主方向排列得到最終的負泊松比橢圓多孔材料。負泊松比橢圓多孔材料的具體設計過程如圖1所示。

圖1 負泊松比橢圓多孔材料設計過程示意Fig.1 Diagram of design process of auxetic elliptical porous material

2 材料性能與設計參數的關系

2.1 泊松比與設計參數的關系

由于在研究材料的泊松比時，只關注材料在某一平面內的軸向變形和橫向變形，因此可將該材料看作是一個二維材料。研究發現，負泊松比橢圓多孔材料在受壓縮時，其變形特性與旋轉方形負泊松比材料的相似[4-5]。GRIMA等[6]認為在研究旋轉方形負泊松比材料的泊松比和彈性模量時，可將材料中的方塊用其2條對角線代替。因此，作者先將負泊松比橢圓多孔材料簡化為旋轉方形負泊松比材料，再用對角線代替旋轉方形負泊松比材料中的方塊，從而得到簡化模型，最終胞元的簡化模型如圖2所示。假設圖2中的對角線為方形橫截面的細桿，其橫截面的邊長l為c-a-b；同一方塊的2條對角線剛性連接，同時相鄰方塊的對角線通過鉸鏈進行連接。當負泊松比多孔材料受軸向載荷時，相當于在簡化模型中點A1、點A2、點A3、點A4同時施加2組大小相等、方向相同的力FA，如圖2所示。此時，4組對角線細桿的受力條件完全相同，可知這4組對角線細桿在軸向和橫向的變形情況也是完全相同的，因此只需研究其中一組對角線細桿的軸向變形和橫向變形，即可得到整體的泊松比。

圖2 負泊松比橢圓多孔材料的簡化模型示意Fig.2 Diagram of simplified model of auxetic elliptical porous material

圖3 負泊松比橢圓多孔材料的受力示意Fig.3 Force diagram of auxetic elliptical porous material

圖3中點A1、點B1、點C1、點D1分別為圖中虛線段的中點。將圖中點A1受到的軸向力FA沿著桿A1C1方向以及垂直于桿A1C1方向進行正交分解，分別得到力F1和力F2。力F1作用在桿A1C1上，并沿著桿A1C1方向產生壓縮變形；力F2在O點產生一個力矩MO，使桿A1C1和桿B1D1同時繞著O點旋轉，并在軸向和橫向產生相等的變形量。因此負泊松比橢圓多孔材料在受到軸向載荷時，其變形共有兩部分組成：一部分是沿著桿A1C1方向產生的壓縮變形；另一部分是由桿A1C1和桿B1D1同時繞著O點旋轉產生的軸向和橫向變形。

當F1單獨作用時，材料沿著桿A1C1方向產生壓縮變形，而該壓縮變形可進一步分解為軸向變形和橫向變形，但由于橫向變形對整體變形的影響很小，可忽略不計，因此作者只研究材料沿桿A1C1方向產生的軸向變形，軸向變形量Z1的計算公式為

(1)

(2)

式中:E*為基體材料的彈性模量；Ld為圖3中正方形對角線的長度；A為對角線桿的橫截面積；θ為桿A1C1與水平線的夾角。

將A和θ的計算公式代入式(1)，可得：

(3)

圖4 負泊松比橢圓多孔材料旋轉前后的變形示意Fig.4 Diagram of deformation of auxetic elliptical porous material before and after rotation

當F2單獨作用時，在點O處產生一個力矩MO，如圖4所示。為使整體材料保持平衡，在桿B1D1和桿A1C1上分別產生力矩MB和MC，力矩MB和MC的合力矩與力矩MO相等。當桿A1C1和桿B1D1在力矩MO的作用下繞著O點旋轉時，桿B1D1相對于水平直線、桿A1C1相對于豎直直線轉過相同的角度Δθ，這使桿B1D1在水平方向投影的長度和桿A1C1在豎直方向的投影長度均減小，從而導致材料產生軸向和橫向變形。其中，Δθ主要與點B1和點B2處鉸鏈的旋轉剛度kθ有關，旋轉剛度的表達式為

(4)

式中：I為對角線桿的截面慣性矩。

由于桿A1C1、桿B1D1的橫截面相同，I相同，因此點B1、點C1處的旋轉剛度相同。

由于桿A1C1和桿B1D1所轉動的角度Δθ相同，且點B1、點C1處的旋轉剛度也相同，因此作用在桿A1C1、桿B1D1上的力矩MB和MC也相等。以桿B1D1為例，在MO的作用下，桿B1D1轉過的角度Δθ為

(5)

此時桿B1D1在轉動Δθ后的軸向變形量Z2為

Z2=Ldsinθ-Ldsin(θ-Δθ)

(6)

由于僅研究基體材料處于線彈性階段時的泊松比，Δθ很小，因此式(6)可以簡化為

Z2=LdΔθcosθ

(7)

將式(2)和式(5)代入到式(7)中，得到：

(8)

由圖4可以看出，當只有F2單獨作用時，材料的軸向變形量Z2與橫向變形量Y相同。

綜上可知，材料在受到軸向載荷時，其泊松比ν的計算公式為

(9)

式中：εy和εz分別為軸向應變和橫向應變。

將式(3)和式(8)代入式(9)，得到負泊松比橢圓多孔材料泊松比與設計參數間的關系式：

ν=-1+c2[c-(R+1)b]2/

{3[c2+(R-1)2b2](R-1)2b2+

c2[c-(R+1)b]2}-1

(10)

2.2 彈性模量與設計參數的關系

GIBSON等[7]在研究開孔金屬泡沫的力學性能時，指出金屬泡沫的等效彈性模量是其相對密度的函數，并給出了Gibson-Ashby模型，其表達式為

(11)

式中：E為金屬泡沫的彈性模量；ρ為金屬泡沫的密度；ρ*為基體材料的密度；ρr為金屬泡沫的相對密度；C為與材料有關的常數，需要通過試驗獲得。

諸多研究[8-11]都將Gibson-Ashby模型用于研究不同類型負泊松比橢圓多孔材料和點陣材料的彈性模量。負泊松比橢圓多孔材料的相對密度與其表觀體積Vb和實際體積Vs的關系為

ρr=ρ/ρ*=Vs/Vb

(12)

由于初始胞元的相對密度與整體負泊松比橢圓多孔材料的相同，因此以初始胞元為例計算材料的相對密度。圖5為初始胞元的形成過程，圖中立方體的體積即為初始胞元的表觀體積；而實際體積無法直接通過計算得到，需要通過表觀體積減去圖中3個相互垂直橢圓柱的體積Vt間接得到。將體積Vt拆分為2個部分分別進行計算，第一部分為2個相互垂直橢圓柱的體積V1，第二部分為豎直方向上橢圓柱的體積V2，如圖6所示。

圖5 初始胞元的形成過程示意Fig.5 Diagram of forming process of initial cell

圖6 3個相互垂直橢圓柱拆分后的兩部分示意Fig.6 Diagram of tow parts of three mutually perpendicular elliptical cylinders after splitting

通過積分得到V1和V2的表達式分別為

(13)

(14)

式(13)和式(14)中的4個積分區域分別為

D1={(x,y)|x∈(0,c),y∈(x,c)}

(15)

(16)

(17)

(18)

將V1和V2代入式(12)中，可得：

(19)

將式(15)代入式(11)中即可建立材料設計參數與彈性模量之間的數學表達式：

(20)

3 負泊松比橢圓多孔AlSi10Mg合金泊松比與彈性模量數學模型的確定

3.1 試驗方法

試驗材料為TLS Tecknik Spezialpulver公司通過氣霧化生產的AlSi10Mg合金粉，粒徑為15～53 μm。采用激光選區熔化(SLM)技術在M290工業級3D金屬打印機上制備負泊松比橢圓多孔AlSi10Mg合金。根據文獻[12]的研究結果，確定SLM的具體工藝參數為：激光功率200 W，掃描速度80 mm·s-1，掃描間距0.08 mm，鋪粉層厚度30 μm。由于SLM設備成形臥孔的極限尺寸為2～4 mm，因此將b設定在1.01.1 mm范圍內。R主要影響材料中橢圓孔的形狀，R過大或者過小都會減小材料在軸向和橫向的可變形范圍，從而導致材料的負泊松比效應變得不顯著。為保證多孔AlSi10Mg合金具有顯著的負泊松比效應，將R的范圍設定在1.1～1.3范圍內。REN等[5]研究發現，當材料的相對密度小于0.345時，材料才會表現出負泊松比的特性。因此，根據已確定的R和b的范圍，并結合式(15)，可以初步確定c的范圍；同時為了保證材料中相鄰的2個橢圓孔不相互重疊，將c設定在3.1～3.3 mm。為了研究b,R,C對泊松比、彈性模量的影響，將這3個設計參數作為3個因素，進行3組單因素試驗,每個因素選取4個水平，通過均分法得到每組試驗中每個因素的水平。為保證試樣的對稱性[4-5]，試樣在3個主方向上分別由4個最終胞元組成。SLM成形試樣的宏觀形貌如圖7所示。試樣制備完成后進行280 ℃×2 h的退火處理，以消除其內部應力。

圖7 SLM成形試樣的宏觀形貌Fig.7 Macromorphology of SLM formed specimen

在試樣中心取16個胞元制備尺寸為20 mm×20 mm×20 mm的試樣，采用Instron 5965型萬能拉伸試驗機在室溫條件下進行壓縮試驗，壓縮速度為2 mm·min-1，試樣壓潰后停止壓縮。在壓縮過程中記錄試樣的力-位移曲線，采用視頻測量法測試樣的泊松比，具體操作過程：用攝像機記錄下試樣壓縮的全過程；從錄下的視頻中截取試樣變形前和變形后的圖像；用圖像處理軟件ImageJ測量圖像中試樣變形前后的高度和寬度，代入式(10)計算泊松比。

3.2 泊松比數學模型的驗證

由圖8可以看出，試樣在彈性階段的泊松比的試驗值和計算值相吻合，相對誤差在10%15%。在研究R對泊松比的影響時，將式(10)中的其他2個設計參數看作常數，對R求導，而R取值范圍為1.11.3，所得導數小于0，可知試樣的泊松比隨著R的增加而減小。同理可以得到，試樣的泊松比隨著b的增加而減小，隨著c的增大而增大。

圖8 負泊松比橢圓多孔AlSi10Mg合金的泊松比的試驗值和計算值隨長/短軸之比、短軸半軸長、初始胞元邊長的變化曲線Fig.8 Tested and calculated values of Poisson′s ratio of auxetic elliptical porous AlSi10Mg alloy vs major/minor axis ratio (a),semi-minor axis length (b) and initial cell edge length (c)

3.3 彈性模量數學模型的確定

由于基體材料和金屬泡沫的結構不同，因此Gibson-Ashby模型的常數C也不相同。為了確定C，需要確定試樣的彈性模量、基體材料的彈性模量以及相對密度。通過壓縮過程中的力-位移曲線確定試樣的彈性模量。研究表明，采用SLM制備得到AlSi10Mg合金的彈性模量在77～80 GPa[12]，因此基體材料的彈性模量取77 GPa。試樣的相對密度可以通過式(19)計算得到。將試樣的彈性模量、基體材料的彈性模量以及相對密度代入Gibson-Ashby模型中，即可得到C。計算得到C的平均值約為4.123，將其代入式(20)中得到彈性模量與設計參數的關系式為

(21)

4 結 論

(1) 負泊松比橢圓多孔材料在受到軸向載荷時，其變形主要由軸向壓縮變形與由材料內部旋轉引起的軸向變形和橫向變形組成。

(2) 建立了負泊松比橢圓多孔材料泊松比、彈性模量與設計參數之間的數學模型，采用SLM制備得到負泊松比橢圓多孔AlSi10Mg合金的泊松比的試驗值和計算值相吻合，相對誤差在10%～15%；橢圓長/短軸之比、短軸半軸長與泊松比呈負相關，而初始胞元邊長與泊松比呈正相關；計算得到負泊松比橢圓多孔AlSi10Mg合金彈性模量數學模型中的常數C約為4.123。