一道不等式競賽試題的證明及推廣

張曉建

(安徽省滁州中學 239000)

一、試題呈現

(第8屆香港奧林匹克試題)設a,b,c,d>0，且滿足a+b+c+d=1，求證：

為后續行文方便，筆者在這里把證明所需不等式一并介紹.

算數—幾何平均值不等式設x1,x2,…,xn∈R*,則

其中等號當且僅當x1=x2=…=xn時取到.

柯西不等式設ai,bi∈R,i=1,2,…,n，則

(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2，

當數組a1,a2,…,an，b1,b2,…,bn不全為0時，等號當且僅當bi=λai(1≤i≤n)時成立.

排序不等式設有兩組數a1,a2,…,an，b1,b2,…,bn，滿足：a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，則有

a1bn+a2bn-1+…+anb1(反序和)

≤a1bt1+a2bt2+…+anbtn(亂序和)

≤a1b1+a2b2+…+anbn(同序和).

其中{t1,t2,…,tn}={1,2,…,n}.當且僅當a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn時等號成立.

切比雪夫不等式設兩個正數序列{an},{bn},

若a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，則

二、解法賞析

解析一0

我們首先證明：

即證48x3-8x2-5x+1≥0,

即證(4x-1)2(3x+1)≥0.

而當0

則f(a)+f(b)+f(c)+f(d)

解析二原不等式等價于

48(a3+b3+c3+d3)≥8(a2+b2+c2+d2)(a+b+c+d)+(a+b+c+d)3，

展開化簡可得：

≥a2b+b2c+c2d+d2a。

此不等式證明可以使用排序不等式解決，在這里不做證明，其余三式類似表達.

評析利用已知條件a+b+c+d=1，將不等式兩邊齊次化，然后展開即可證明不等式，有一定的運算量，注重于齊次化思想以及排序不等式的應用.

解析三6(a3+b3+c3+d3)

解析四由柯西不等式得：

4(a2+b2+c2+d2)≥(a+b+c+d)2

由切比雪夫不等式得：

故原不等式左邊滿足：

評析直接利用切比雪夫不等式和柯西不等式解決問題，緊抓不等式結構特點，實現降次、放縮，進而完成證明.當然也可以使用柯西不等式直接證明，由此我們也可以有下證明方法.

解析五由柯西不等式得：

4(a2+b2+c2+d2)≥(a+b+c+d)2

(a3+b3+c3+d3)(a+b+c+d)

≥(a2+b2+c2+d2)2

?a3+b3+c3+d3≥(a2+b2+c2+d2)2,

即證48(a2+b2+c2+d2)2-8(a2+b2+c2+d2)-1≥0，

即證[4(a2+b2+c2+d2)-1][12(a2+b2+c2+d2)+1]≥0.

三、結論推廣

證明由柯西不等式得：

由切比雪夫不等式得：

故原不等式左邊滿足：

證明對m∈N*使用數學歸納法進行證明.

由柯西不等式可知不等式成立.

②假設m=k時，不等式成立,

則當m=k+1時,

由切比雪夫不等式可得：

即當m=k+1時，不等式成立.

本文從一個4元不等式出發，在證明的過程中，發現并得到其n元形式，同時對n元形式又加推廣，與廣大的不等式愛好者共享，希望能夠一起探討、交流.