提升學生數學學科核心素養：問題解決的視角

王海伴

[摘 ?要] 通過主題“關于導函數零點無法直接求解”的解決，闡述在高考二輪備考復習中，以函數的零點、方程的根、不等式的解集之間的關系為突破口，尋求解決問題的思路與方法，領悟這類數學問題的本質，來嘗試激活備考狀態下的數學課堂，落實高三學生數學學科核心素養.

[關鍵詞] 數學學科核心素養;導函數;零點

高中數學學科六大核心素養之間相互影響、相互制約、相互促進，其中直觀想象是邏輯推理、數學抽象、數學建模的思維基礎. 導函數零點無法直接求解，是學生導數應用問題中最常見、最犯難的一類問題，導致很多學生無法參與課堂教學，更談不上核心素養的落實. 下面通過實例來談談這類問題中提升學生數學學科核心素養的看法，不當之處，懇請批評指正.

問題提出

在高三文科二輪備考復習中，學生反饋，近幾年高考文科數學新課標（Ⅱ）卷導數壓軸題，難度較大，得分率很低，通過與學生的交流發現，問題的焦點在于導函數零點無法直接求解，其實2016年20題、2017年21題與2010年新課標理科21題相似.

問題：（2010年新課標全國Ⅱ卷理第21題）設函數f（x）=ex-1-x-ax2.

（Ⅰ）略;（Ⅱ）若當x≥0時，f（x）≥0，求a的取值范圍.

問題分析與解決

對于上述問題第二問，筆者在教學實踐中，發現部分學生存在以下學習障礙.

學習障礙一：不明白為什么要對原函數求導數，從而導致導函數零點無法直接求解時迷失方向;

學習障礙二：學生對函數的零點、方程的根、不等式的解集之間的關系認識不夠，導致無法處理導函數零點問題;

學習障礙三：學生沒有從數與形的角度來深刻領悟常見不等式模型，也就談不上常見不等式放縮模型的應用.

1. 數形結合，嘗試求根，落實直觀想象素養

學生完成f ′（x）=ex-1-2ax，x≥0的計算，令f ′（x）=0，無法直接求出f ′（x）的零點，此時引導學生回顧解方程與不等式的常用方法，讓其認識到除了從數的角度，也可以從形的角度（圖像）近似估算方程的根.通過學生容易理解的方程，例如x2-4=0，由特殊到一般歸納解方程、解不等式、求函數零點的數學本質相同. f（x）=0，即ex-2ax-1=0，從而ex-1=2ax，令g（x）=ex-1，h（x）=2ax，此時類比x2=4的圖像解法. 如圖1，由于在點（0，0）處g（x）的切線為y=x，所以當2a≤1，即a≤ 時，g（x）>h（x），？坌x∈（0，+∞），則（0，+∞）為f（x）的一個單調遞增區間. 又f（0）=0，所以x∈[0，+∞），f（x）≥0.

當a> 時，如圖2所示，存在x ∈（0，+∞），使得f ′（x）=0，這樣在區間（0，x ）上f′（x）<0，從而（0，+∞）為f（x）的一個單調遞減區間. 又f（0）=0，于是當x∈（0，x ）時，f（x）<0. 綜上a∈-∞， .

通過問題解決可以看出，當x≥0時，要使f（x）≥0，只需f（x）min≥0，但方程f ′（x）=0無法直接求出，學生思維受阻，無法通過導函數判斷函數的單調性. 引導學生回顧高中階段解方程的一般性思路，不能直接解方程時，能否考慮利用圖像法近似解方程，考慮在點（0，0）處g（x）的切線為y=x，對2a進行分類討論，使問題得到了順利解決. 通過數形結合，使學生在求根的思考中有效落實了直觀想象素養.

2. 參考特值，多次求導，提升邏輯推理素養

引導學生再次類比x2-4=0的圖像解法，令f ′（x）=0，無法直接求出f ′（x）的零點，然而導函數f ′（x）的單調性未知，怎樣考察y=f ′（x）的單調性，此時自然會想到計算f ″（x）. 設g（x）=ex-2ax-1，g′（x）=ex-2a，當a≤ 時，g′（x）≥0，這樣[0，+∞）為g（x）的一個單調遞增區間，于是g（x）≥g（0），即f ′（x）≥0，從而[0，+∞）為f（x）一個單調遞增區間，f（0）=0，則x∈[0，+∞），f（x）≥0. a∈ ，+∞時，由g′（x）>0，得ex>2a，解得x>ln（2a），所以[0，ln（2a））為g（x）的一個單調遞減區間，[ln（2a），+∞）為g（x）的一個單調遞增區間. 又g（x）min=g（ln（2a））

方程f ′（x）=0無法直接求出，是問題解決的重要障礙，此時學生往往會出現思維受阻. 此時，教師應該減慢課堂節奏，再次類比x2-4=0的圖像解法，進一步引導學生體會再次求導函數的必要性，讓學生明白兩種解法的本質是相同的，都是以利用圖像法解方程、解不等式作為出發點. 此外，我們可將參數a分離，構建函數h（x）= ，“參考特值，多次求導”，最后借助洛必達法則，問題得以順利解決. 這樣在透視數學問題的本質中提升了學生邏輯推理素養.

3. 構建直觀模型，適當放縮，發展數學建模素養

直觀模型的建立，需要教師通過輔助教學工具，引導學生通過感知形、理解數的角度來學習，增強學生對模型的深刻理解，例如對于ex≥1+x的理解，這樣才有可能將這一直觀模型在問題解決中信手拈來. 由不等式模型ex≥1+x，得f ′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，即a≤ 時，f ′（x）≥0 （x≥0），故（0，+∞）為f（x）的一個單調遞增，而f（0）=0，于是當x≥0時，f（x）≥0. 由ex>1+x（x≠0），得e-x>1-x（x≠0）. 當a∈ ，+∞， f ′（x）

學生在求f（x）在[0，+∞）上的最小值時，發現方程f′（x）=0無法直接求出，思維受阻，教師引導學生，從數與形的角度認識ex≥1+x，x≥ln（x+1）等模型，引導學生利用不等式ex≥1+x（當且僅當x=0時，取等號）直觀模型，參考特值f（0）=0，f′（0）=0，使問題得到圓滿解決，從而有效發展了學生邏輯推理與數學建模素養.

4. 設出零點，整體代換，增強數學運算核心素養

學生核心素養的提升，不能定格在簡單模仿解決問題的層面上，而是要抓住數學本真. 教師應該在把握學情、注重過程性學習的基礎上，努力為學生設置合理的問題.充分調動學生的積極性，讓其創造性地解決問題，這也正是數學的魅力所在.

例：（2013年新課標全國Ⅱ卷理第21題）已知函數f（x）=ex-ln（x+m）.

（Ⅰ）略;

（Ⅱ）當m≤2時，證明：f（x）>0.

引導學生完成，當m≤2，x∈（-m，+∞）時，ln（x+m）≤ln（x+2）的判斷，為后續問題掃清障礙. 故只需證明當m=2時，f（x）>0. 當m=2時，函數f ′（x）=ex- 在（-2，+∞）上單調遞增. y=f ′（x）導函數零點無法直接求解，給學生充分探究空間，為創造性解決問題奠定基礎. 又f ′（-1）<0，f ′（0）>0，故f ′（x）=0在（-2，+∞）上有唯一實根x0，x0∈（-1，0）. 當x∈（-2，x0）時，f ′（x）<0;當x∈（x0，+∞）時，f ′（x）>0，從而當x=x0時，f（x）取得最小值. 此時根據學生探索情況，注意引導學生體會轉化思想的重要作用，然后通過f ′（x0）=0得出ex0= ，這樣就得到ln（x0+2）=-x0，而f（x0）= +x0= >0. 由以上分析得m≤2時，f（x）>0.

通過問題解決，學生領悟到當導函數零點直接不可求時，可以借助零點定理設出零點，由f ′（x0）=0，得ex0= 進行整體代換，從而使問題得到順利解決，有效促進了學生邏輯推理與數學運算.

結束語

要論證某種教學方式的正確性和有效性，應該根據核心素養的要求進行.檢驗學生核心素養的高低，必須通過解決數學問題來體現. 問題解決過程能有效增進學生數學素養的落實. 在教學實踐中，只要教師慢下匆忙的腳步，進行主題梳理，抓住數學問題本真，充分進行形與數的有機結合，即使在高三二輪復習的課堂教學中，學生也能領略沿途美麗的風景，這樣就自然將數學學科素養落到了實處.