數學核心素養下的大單元結構化教學設計

[摘 ?要] 平面向量作為高中數學的核心概念，集數、形于一身，是數形結合的最好體現，它溝通了代數、幾何、三角之間的聯系，是高考重點考查內容.文章中筆者根據自己的課堂教學實踐來談平面向量的單元復習，使平面向量復習做到既能梳理鞏固已學知識，又能發展數學思維，讓學生從中體會研究數學對象的心路歷程，領悟用數學的觀點看待和認識世界的思想真諦.

[關鍵詞] 平面向量;單元復習課;大單元結構化教學

任何系統都有結構，系統只有開放，與外界有信息交換，才可能使結構有序. 數學教學也不例外.數學概念是反映數學對象本質屬性的一種思維形式，是導出數學定理、法則的基礎. 準確領悟核心概念是學生獲得系統數學知識的源泉，是學好高中數學的關鍵. 數學核心概念作為一個本源概念時，當它蘊含著重要的數學思想時，它所涉及的內容將更為廣泛，有著不可或缺的指引作用;當它預示著數學方法的重大變革時，主要體現在方法的應用上.具體地說，數學核心概念嵌入在完整的概念體系中，起著核心關鍵作用，廣泛地與其他的概念聯系在一起，建構起良好的數學知識結構，形成完整有序的系統. 教學時要厘清數學概念的發展脈絡，樹立“整體觀”和“系統觀”.

平面向量作為高中數學的核心概念，與函數、數列、解析幾何、立體幾何、不等式等知識都有內在聯系，是高考重點考查內容. 如何使平面向量復習做到既能梳理鞏固已學知識，又能發展數學思維、領悟數學思想，是擺在教師面前的一道難題. 本文筆者就自己的課堂教學實踐談談平面向量的復習. 筆者以為本節課的復習，重要的不是回顧向量的形式化定義及幾個相關概念，而是再次體會獲得數學研究對象、認識數學新對象的基本方法，蘊含了用數學的觀點刻畫和研究現實事物的方法和途徑，這是一個帶有本源性質的再認識過程.

平面向量單元復習（一）

執教：秦國清

學習目標

理解平面向量中的相關概念;掌握平面向量的基本運算;體會向量研究問題的思想方法.

學習過程

活動一：復習回顧

教者提問向量概念，舉實例引入復習.

向量是刻畫現實世界的重要數學模型，與實際生活的緊密聯系，在解決實際問題中有廣泛應用，生活中有向量，生活中用向量. 讓學生感受數學的價值，學會用數學的思維方式去觀察、分析現實世界，去解決日常生活和其他學科學習中的問題.

1. 已知點D為△ABC邊BC的中點，設 =a， =b，則 =________. （用a，b表示）

2. 已知a=（1，0），b=（2，1），若ma-b與a+3b共線，則實數m=________.

3. 已知e1，e2是夾角為 π的兩個單位向量，a=e1-2e2，b=ke1+e2，若a⊥b，則k的值為________.

4. 如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點P1（x1，y1）是單位圓上的一點，P，P2分別是單位圓與x軸正半軸、y軸負半軸的交點，設∠POP1為α. 若α= ，則 · =________.

活動一的實施，為學生課前預習，并小組討論，形成章節知識框架，課上小組代表展示，其他小組成員補充，教師總結提升完成.

設計意圖：活動一設置了4個小題，幫學生復習回顧本章節的基本知識. 在復習回顧過程中要引導學生領悟向量概念的本質特征，類比數的概念獲得向量概念的定義及表示，類比數的集合認識向量的集合，類比直線（段）的基本關系認識向量的基本關系.要使學生從中體會到認識一個數學概念的基本，為學生自覺、有序、有效地研究向量問題提供固著點.

第1、2小題在明確向量的概念特征后，著重從向量幾何表示和代數表示出發，通過向量的加、減、數乘等線性運算，如利用向量的數乘運算可以刻畫平行和伸縮，引出向量共線定理;通過向量的加、減的基底運算引出平面向量基本定理. 通過研究向量運算，可以幫助學生發現運算對象的不斷擴展是數學發展的一條重要線索.從數到字母，到向量運算又是一次跳躍.從而加深和拓展了學生對數學運算的理解，有助于學生發展運算能力和推理能力，讓其體會到數學運算在建構數學系統中的作用.

第3、4小題通過研究向量數量積運算的兩種方式（基底和坐標），進一步強調向量有方向，可以刻畫角度、直線、平面等幾何對象及它們的位置關系;向量有長度，可以刻畫長度、面積、體積等幾何度量問題運算及其規律.而向量的數量積運算可以刻畫垂直、角度、距離、三角函數等.當然長度、角度等度量問題只有有向線段是不夠的，必須通過向量坐標化的代數運算，使相關的運算化歸為實數的運算，特別指出的是，平面向量基本定理轉化為直線坐標系、平面直角坐標系、空間直角坐標系的基本定理，它們實即解析幾何發明的本源之一. 至此，向量作為數形轉化橋梁的核心作用躍然紙上.數形結合不但是探究數學的思想，解決數學問題的方法，其實也是數學命題的一種根據和來源，更應是探索創新的思維方式.

另外，第4小題的選擇著重于向量的應用研究，形式上題目的選取后面有三角形、四邊形，選擇一個圓作為背景，選題更全面.更主要的是向量的應用為解決三角形問題（平面問題）提供新的視角.教材在安排必修4的內容，非常巧妙精致，三個章節之間存在緊密的聯系，向量位于本模塊中間章節，充分體現向量雙重特性，同時為利用向量數量積推導出三角恒等變換核心（知識的起點）——兩角差的余弦公式奠定基礎，其中向量運算中的“算兩次”的思想方法得以體現.

知識梳理

如圖2所示：

設計意圖：知識梳理時可以從三個方面展開，一是向量概念的本質特征（大小和方向）引發后面的運算以及應用的方式、方法，上面已談到. 二是從整體的角度，研究與向量密切聯系數學概念，它們通常都是以一定的數學思想或方法聯系在一起的，如三角函數與向量的交匯，促成了向量、坐標、復數三位一體，使相關的運算化歸為實數的運算;明晰了長度與角度的轉化聯系，促成了極坐標與直角坐標的互化;使直線斜率（傾斜角）等解析幾何問題的研究更趨于本質化. 三是從學生獲得研究數學新對象的基本方法入手，通過類比的方法， 引導學生找到用數學的觀點刻畫和研究現實事物的方法和途徑，突出了數學學科教學的根本價值——學科育人.

活動二：典型例題

例1：如圖3，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=2，且 = ， = ?，求 · 的值.

（可在例1的基礎上，即時變角，把直角變為其他特殊角，再讓學生研究）

變式1：如圖4，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5， =3 ， · =2，求 · 的值.

設計意圖：變式1和例1在形式上都是基本幾何圖形，從小題1的三角形，到例題的矩形，再到變式中的平行四邊形，把角的條件、邊的條件逐步換掉后，在陌生背景下再來訓練學生，本質上都是研究向量數量積的兩種基本方法，力求讓高一的學生能夠牢固掌握.這也符合高考命題的要求，重要的知識反復考.在這里教者要賦予學生更多地參與學習的機會和權利，讓每一個學生在自主獨立思考的基礎上，鼓勵學生多思善問，讓學生在鼓勵中不斷調整思維方向. 要給他們充分的時間和機會表達、反思，辨析和體會，讓學生養成自動矯正、調節自己的學習行為的能力.使學生的學習始終處于一種有準備的狀態，更容易進入“自主學習”的境界.培養自覺、自主、自立的學習者，為學生的終身學習打下堅實的基礎.

例2：在△ABC中，∠C=60°，AC=1，BC=2，2 = ，求CE的長.

設計意圖：筆者認為，本題能完美地展示解決向量問題的各種方法，但對于高一學生來講，主要還是從幾何和代數的視角，緊緊抓住基底法和坐標法，夯實基礎. 教者要站在學生的立場，貼近學生的思維發展區，剖析反映數學知識，演化邏輯的知識序、反映學生學習心理活動的思維序、反映教學流程時空推進的教學序，在“三序合一”中化知為識、化識為能、化能為慧.

變式2：在△ABC中，∠C=60°，AC=1，BC=2，2 = ，D是BC的中點，AD與CE交于點O. 求 .

拓展：如圖5，在△ABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點O. 若 · =6 · ，求 的值.

設計意圖：變式2、拓展和例2的解決，從復習回顧的第1小題起就埋下了伏筆，從三角形的中線到三等分點，再到中線的交點——重心，再到變式和拓展，一以貫之的是解決問題的思想和方法，利用向量的加法、減法運算和基底思想很快解決問題，當然也可以利用平面幾何的知識解決.

需要強調的是，作為章節復習課，選題必須典型，本節課的選題都是來自課本和高考卷，也有適當的變化.這樣解題的入口寬，跟高速公路一樣四通八達. 所以變式2、拓展毫無疑問也可以建立坐標系，代數化運算，另外變式2是拓展的特例，拓展是變式2的一般情況. 在向量問題解決方法中特殊化、坐標化也是很常見的.

最后要說明的是，教者要根據課堂的節奏把控教學進度和內容，不要圖“高、大、全”，拓展訓練來不及可以在后面再探討. 由于是章節復習的第一課時，我們在梳理完知識框架和發展脈絡后，典型例題的研究主要選擇求解向量的模長和數量積，下一堂課將在本堂課的完成基礎上，解決一些角的問題，以進一步完善章節復習體系.

活動三：課堂小結

設計意圖：通過師生共同的復習回顧，讓學生進一步感受到：向量是代數的對象，向量是幾何的對象，向量是溝通代數與幾何的一座天然橋梁，是重要的數學模型，有著廣泛的應用.教者要梳理課堂教學發展的脈絡，發掘真實的、靈動的、豐富多彩的高中數學課堂，讓學生從中體驗數學家研究數學對象的心路歷程，領悟數學家用數學的觀點看待和認識世界的思想真諦.教師要挖掘數學及數學教學的價值，讓學生在掌握基本的數學知識技能和思想方法的同時，學會生存、生活和適應社會發展的智慧.

南通教科院曾榮教授認為，本堂課成功地完成了單元復習課的兩項目標：知識梳理結構化和例題應用綜合化. 既明晰了核心概念的來龍去脈、生長生成，讓學生通透知識;又以“合理的選擇、適度的變化和充分的活動”讓例題教學變得精致而深刻.更重要的教者能挖掘所蘊含的數學思想方法，讓學生學習時逐步加深理解，生發出研究數學對象，解決數學問題的方法策略.

對于本節課的“活動單”設計，筆者四易其稿，精益求精. 在隨后的課堂教學中順利達成預期目標，設計意圖很好的得以實施. 教學中筆者還發現，兩組例題、變式教學時類比、比較、循序漸進進行，效果更佳，更能讓學生形成研究向量問題的方法和路徑.

必須強調的是，課堂設計和教學要建立在對課程標準、教學內容和教材有深刻理解，對學生的認知水平有較好的把握上，使得知識內容序與學生的學情認知序結合形成有效的教學序;同時以大概念或大觀念統領教學的各要素，形成主體協同、要素關聯、學力生長、素養聚焦、系統優化的教學結構，建構層級化、關聯性的課堂教學系統. 這就是筆者所在學校正在開展的“大單元結構化教學”模式.

教學中教者要合理設問、適時點撥、直達思維的關鍵處;讓學生經歷過程、突破難點、直擊矛盾的沖突處;要重視思維的自然流露，體現數學的本質特征，關注思維的過程與方式，讓數學思維“看得見、聽得見”;要站在系統的高度，提煉思想，升華觀點. 這樣學生將來不管從事什么工作，當面對工作、生活中的困難時，即使忘掉了所學的數學知識，仍然可以從數學的角度，通過深深銘刻在頭腦中的數學精神、數學思想方法迅速抓住關鍵點，有條理地觀察、分析、論證，隨時隨地解決問題. 筆者認為，這才是我們要的數學核心素養，才是學科育人.