重視數學閱讀材料，探尋多維立體的數學教育

張鵬

[摘 ?要] 在新時代的背景下，高中數學教師應當具備先進的教育理念和扎實精湛的教學技能. 高中數學教材中的“閱讀材料”內容豐富、功能全面，教師應當認真學習和研究，以它為參考進行數學活動，并引導學生主動學習. 教師不但應更新理念，培養全面的教學技能，還應從不同的層次讓學生獲得多維立體的數學教育，讓學生感悟到數學的價值、文化和精神.

[關鍵詞] 數學教育;數學素養;閱讀材料;HPM教學

近幾年來，筆者通過調查發現，許多教師在備課過程中，常常忽略了數學教材中的“小字部分”，即數學閱讀材料.他們認為這些內容“不重要”“不會考”，也“沒有時間講”，學生不必學，教師自然也不重視這些內容，甚至從來沒有仔細研究過. 其實，許多教師在備課過程中對教材上的考點下足了功夫，設計了各種教學提問，討論了各種教學方式，就應對考試而言，課程的重難點突破了，學生能牢記知識并應用于解題了，但是就核心素養的全面培育及數學課程的教育功能而言，目標是沒有達到的. 這樣的數學課堂和數學教育是應試的，是孤立片面的，未能對學生的可持續發展和終身學習創造條件. 筆者認為，重視數學教材上的閱讀材料，探尋多維立體的數學教育勢在必行.

數學課程的教育目標是多維的

《普通高中數學課程標準（2017版）》明確指出了數學課程的目標應當是多維的：第一維度，要讓學生獲得“四基”，提高“四能”;第二維度，要能讓學生發展數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等核心素養;第三維度，更長遠地，通過高中數學課程的學習，學生能提高學習數學的興趣，發展自主學習的能力，不斷提高實踐能力，提升創新意識，認識數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值.

不難理解，在“應試教育”固化思想的影響下，不少教師對數學教材的理解比較狹隘，他們研讀教材的重點只放在概念、公式和習題上，因此對數學課程目標的認識也比較局限，教學目標常常只能夠達到第一維度和第二維度，能上升到第三維度的數學教學并不多見. 事實上，全面認真地研究數學教材的所有知識內容后不難發現，數學閱讀材料上的許多教學資源，能夠讓數學課程教育的多維目標得以實現.

要在數學教學活動中實現多維的教育目標，教師應當仔細研究數學教材上的閱讀材料，這能讓教師打開思路，從更系統、更廣闊的角度理解數學知識，能用更高效、更直觀的技術手段制作教學資源，能以更加多樣和科學的方式來進行數學教學活動，這樣的數學教育對學生才是多維立體的.

數學閱讀材料的德育功能

立德樹人是教育的根本任務，數學教材上的許多閱讀材料能夠發揮數學德育教育的功能.

《普通高中數學課程標準（2017版）》中指出，數學課程要注重數學文化的滲透.在閱讀材料中，不少有關數學家克服重重困難取得數學成就造福人類的史料.如《必修2》中的“歐幾里得《原本》與公理化方法”和“笛卡爾與解析幾何”，《選修4-4》中的“笛卡爾、費馬與坐標方法”，《選修4-5》中的“法國科學家柯西”，等等. 需要注意的是，閱讀材料中也特別介紹了許多中國自古以來的數學家為人類科學發展所做的貢獻，如《必修5》中的“海倫與秦九韶”，《必修2》中的“祖暅原理與柱體、椎體、球體的體積”和“坐標法與機器證明”，《必修3》中的“割圓術”，《選修2-3》中的“‘楊輝三角中的一些秘密”，等等. 學生通過對材料的閱讀，在增長知識見識的同時，能夠感悟數學的歷史文化，能夠從數學家身上學習不屈不撓的科學奮斗精神，能夠看到中國數學的發展在人類科學發展史中的重要地位，能夠大大增強文化自信心. 另外，通過延伸閱讀，學生還能了解老一輩數學家和科學工作者為祖國的建設和發展而不懈奮斗的故事，激發學生的愛國熱情，從而樹立堅定的理想信念，立志肩負起民族復興的時代重任.

數學閱讀材料的教學功能

筆者通過統計發現，在人教A版普通高中數學教材中，數學閱讀材料主要分為“閱讀與思考”“信息技術應用”“探究與發現”“實習作業”等欄目.在高考考綱范圍內的必修與選修教材中，數學閱讀材料有80余項，內容涉及數學史與數學文化、信息技術在數學教學中的應用、數學建模與數學實驗、研究性學習等方面.

1. 拓展和深化知識內容

在教材中，許多閱讀材料就數學知識點作了補充和進一步深化，并引導學生對所學內容進行更深層次的思考和探索.

例如，在《必修5》的“正弦定理和余弦定理”這一節中，學生已經知道正弦定理和余弦定理分別從定量的角度確定一個三角形的四種條件. 同時學生在計算過程中又發現，在已知三角形兩邊及其中一邊對角的情況下，用正弦定理解出來的三角形可能不唯一，有時有兩解，有時只有一解，有時卻無解. 那么什么時候是兩解，什么時候是一解，什么時候是無解呢？這一節末尾的“解三角形的進一步討論中”，閱讀材料引導學生探索和總結了這三種情況發生的條件：

已知三角形的a，b，A，那么：

（1）如果已知的A是鈍角或直角，有一個解;

（2）如果已知的A是銳角，并且a>b或者a=b，有一個解;

（3）如果已知的A是銳角，并且a

①如果a>bsinA，有兩個解;

②如果a=bsinA，有一個解;

③如果a

通過細致的分析，使得學生在解三角形的過程中條理更加清晰，運算更加有效.

諸如此類的數學閱讀材料在教材中還有很多，如《必修1》的“集合中元素的個數”，《必修3》的“相關關系的強與弱”，等等. 事實證明，在教師的積極引導和鼓勵下，數學閱讀材料中的許多內容學生是可以自行學習和探究的. 在這個過程中，學生的“四基”得到了進一步鞏固，“四能”獲得了進一步提升，學生的數學閱讀能力、理解能力和自學能力可以得到很大的提高，能夠大大幫助學生樹立學習自信心.

2. 培養數學建模素養和數學應用能力

實際生活中，在工業設計、經濟設計或任何其他設計中會運用到數學的語言和方法，就是數學建模. 《普通高中數學課程標準（2017版）》明確指出，數學建?；顒优c數學探究活動是高中數學課程內容的四條主線之一. 在人教A版高中數學教材中，不少閱讀材料從多個角度培養學生的建模素養、應用能力和創新意識.

首先，教材中的許多閱讀材料介紹了學生所學數學知識在實際生活中的應用，例如，《必修4》中的“三角學與天文學”，《選修2-1》中的“圓錐曲線的光學性質及其應用”，等等. 這些材料使學生深切體會數學的科學價值和應用價值.

其次，數學建模需要信息技術的輔助. 在“信息技術應用”和“探索與發現”等閱讀材料中，常常使用幾何畫板與Excel等軟件進行繪圖、建模、計算和分析. 筆者發現，盡管現代教育技術是教師教學活動的必備技能，但是閱讀材料也十分鼓勵學生參與信息技術活動. 如果學校有條件的話，不只要學生“看數學”，更要學生“做數學”. 例如，在《必修1》的“借助信息技術探究指數函數的性質”中，學生可以在教師指導下制作教學資源，觀察和展示當底數a變化時的函數圖像變化，總結出指數函數的性質，從而成為課堂真正的主人翁.

另外，教材中的許多“探索與發現”和“實習作業”，都鼓勵學生參與實際的數學建模和研究性學習，引導學生應用數學解決實際問題. 例如，《必修1》中“物體在常溫環境下溫度變化的冷卻模型”是一個很好的數學研究性學習活動.材料給出了牛頓提出的冷卻模型函數θ=θ0+（θ1-θ0）·e-kt，但沒有給出常數k的值. 學生可以通過動手測量，利用函數模型求出k的值. 若利用信息技術建模，研究過程會更加高效，數據會更加可靠.在整個研究過程中，學生完善和驗證了函數模型，體會了函數模型在生活中的真切應用，進而提出更多的問題. 例如，“這個函數模型同樣適用于固體、液體和氣體嗎？”“這個函數模型適用的溫度范圍是多少？”等等. 從而引發更深層的思考和研究.

3. 培育數學史觀

在現代數學教育理論中，HPM已經發展成為一個十分活躍的國際數學教育研究領域. 教材中的許多閱讀材料都滲透了厚重的數學歷史文化.

例如，在人教A版《必修1》的“對數函數”一節中，對數概念是用指數冪的運算給出的，這樣的設計固然簡潔而便于學生記憶，但是在此基礎上介紹常用對數和自然對數這兩個“特殊”的對數，對學生而言也顯得突兀了，常用對數“常用”在哪兒？e是怎么來的？為什么以e為底的對數比較特殊？這一系列問題都會在學生的腦海中盤旋. 此時，若教師能夠引導學生閱讀和研究本節末尾的“閱讀與思考”，學生會驚奇地發現數學史上對數的發明并沒有利用指數與對數的互逆關系. 對數的發明，其實是在天文、航海、工程等領域的發展中為了將大數化小數的簡便運算，在這種“化小”和“化簡”的思想影響下，常用對數和自然對數的地位才顯得尤為“尊貴”. 當然，為了讓學生在數學史和數學文化的熏陶下獲得多元的發展，教師可以開設趣味小講座，介紹e的由來和它的廣泛應用，帶領學生制作簡易的計算尺（如圖1），等等.

教材中的許多閱讀材料都涉及數學知識的發生和發展，或用文字材料加以介紹，或鼓勵學生通過實習作業的方式去查閱和收集資料，引導學生站在數學史觀和數學文化觀的新高度認識數學，如《《選修1-1》的“走進微積分”，《選修2-2》的“代數基本定理”，等等. 這些材料不但適合高中生閱讀，也適合廣大的數學愛好者們閱讀，是數學普及的優質資源.

合理利用數學教材的閱讀材料，探尋多維立體的數學教育

數學教材上的閱讀材料內容豐富，功能強大，教師既要重視研究，更要合理利用. 平時既有備考任務，教學課時數量也有限，那應當怎樣發揮數學閱讀材料的積極作用呢？筆者有一些建議，如：

1. 鼓勵HPM視角下的教學設計，將數學歷史文化教育融入教學過程中.這需要教師不拘泥于傳統，多思考，多探討，敢于創新，敢于重構.

2. 適當開設數學實驗課，使學生感受“做數學”的快樂. 在有條件的情況下，教師多鉆研現代教育技術在數學課堂中的應用，引入或者開發數學小實驗，讓學生參與互動，領略直觀的、動態的數學.

3. 將數學閱讀材料作為校本課程開發的一部分. 若要充分地、系統地利用數學閱讀材料，可集合教師的集體智慧，將其制作成為校本課程，有計劃、有特色地實施和推廣，既可開設小講座、小課堂普惠于學生，也可制作資源庫普惠于教師.

4. 可借助研究性學習活動或創客比賽等契機推廣數學閱讀材料. 數學閱讀材料中有很多探究性的學術問題，也有很多數學知識在解決實際問題中的應用. 學生在探究性學習活動或創客比賽中可以此為基礎參考選題，既鍛煉了學生的實踐能力，也培養了他們的創新意識.

在黨的十九大報告中，習近平總書記指出，“建設教育強國是中華民族偉大復興的基礎工程，必須把教育事業放在優先位置，加快教育現代化，辦好人民滿意的教育”. 在新時代深化教育改革的背景下，教師應當具有現代化的教育理念，賦有現代化的教育技術，切勿犯經驗主義錯誤，這就需要教師多思考、多學習和多研究. 高中數學教材中的閱讀材料兼具科學性、教育性和趣味性，無論數學教材的版本怎樣更新，數學閱讀材料的內容怎樣改變，它都是教師提升教學能力的好幫手，也是學生培養綜合素質的好資源.教師應當認真研究，合理利用，主動創新，給予學生多維立體的數學教育. 在此基礎上，教師還可以開發更多的數學閱讀資源，讓學生領略數學王國的精彩與奇妙！