數學方法在計算全要素生產率中的應用

張文哲 余玲玲

【摘要】 本文從數學角度對全要素生產率（TFP）的計算方法進行闡述，描述所用到的數學工具.思想方法以及技巧，熟悉該領域的數理方法，為學習更高級的經濟學理論打下基礎.

【關鍵詞】數學方法;全要素生產率;應用

1 引 言

關于全要素生產率（TFP）的研究，除了知道它的具體含義，一個很重要的問題是怎樣去計算它.這個問題目前仍然可以討論，比如對于國內TFP增長率的估算存在分歧，不同學者之間測算結果大不相同，國內外目前沒有一個統一的測算標準.本文的焦點不在于討論TFP的內涵以及測算的分歧，而在于關注目前計算全要素生產率所用到的數學方法和工具，從增長核算法、生產函數法、隨機前沿分析法（SFA）以及數據包絡分析法（DEA）這四種主要方法分類闡述TFP變動背后所涉及的數學理論和方法.

2 增長核算法

從投入產出率的角度出發，需要假設生產函數的形式.設一生產周期內有投入向量X≡x1，x2，…，xnT，對應產出Y，時間變量t，以及動態生產函數Y=f（X，t）.

3 生產函數法

通過建立數學模型描述投入變量與產出變量之間的關系，實際上是數學中函數思想在經濟學中的一個重要應用.在描述經濟增長時，通常涉及增長核算方程，一般的西方經濟學教材中主要介紹的是C-D生產函數Y=AKaN1-a，其中Y為總產出，K為資本投入，L為勞動投入，A為經濟技術狀況，a為0到1的參數.在計算TFP的變動時，通常會用“索洛剩余”的方法來測算，具體是首先采用取對數的技巧將函數乘積形式轉化為對數加減形式，再使用最小二乘法來估計參數.

通過觀察以上推導過程可以看到高等數學的微分學理論在經濟學領域中的應用，具體來說首先是建立生產函數，然后使用多元函數的偏導數理論，通過結合多元復合函數的求導法則以及二階泰勒展開技巧得出所對應的增長率公式.

4 隨機前沿分析法

關于參數和隨機變量的估計，可使用極大似然估計（ML）和修正的普通最小二乘法（COLS），也可通過廣義矩估計、貝葉斯估計等方法來改進隨機前沿分析法.此部分內容較多涉及概率統計方面的技巧方法.

5 數據包絡分析法

從投入-產出的二維幾何平面上看，線性回歸模型試圖通過一條直線來擬合實驗數據，而數據包絡分析（DEA）方法則通過多個平面相交將離散的數據點緊密的包絡在一起.

6 總結

不同于TFP的實證研究，本文從數學角度初步介紹和分析了計算TFP的方法，主要討論了四種方法，分別是增長核算法、生產函數法、隨機前沿分析法和數據包絡分析法.前三種方法為參數法，通常首先是利用函數的思想建立數學模型，通過模型建立各經濟變量之間的聯系.然后通過數學變換以及微積分理論進行分析，得到特定模型下的TFP增長率計算公式;而DEA方法則是非參數的，它利用了集合的思想建立生產可能集，然后由此引入距離函數，再通過線性規劃方法來估算，特別是使用Malmquist生產率指數得到綜合生產率指數，使得TFP的變動得以刻畫.

本文的討論希望能夠增進對于TFP領域數理方法和理論的了解，為學習更高級的經濟學理論打下基礎.

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