基于初中數學數形結合思想教學研究與案例分析

吳若林

【摘要】本文闡述了數形結合思想的概念，并結合實際案例對數形結合思想的教學應用進行了深入分析.希望能夠通過對數形結合教學案例的展示，幫助更多數學教師領悟教學方法、提高教學技能，提高學生的數學學科核心素養，提高其解決問題的能力.

【關鍵詞】初中數學;教學方法;數形結合;案例分析

引 言

小學學段，隨著課程教學的不斷深入，小學生掌握了部分數學學科的基礎知識.在初中學段，引導學生掌握數學思想、體會數學方法和了解數學知識的應用是數學教學過程中的核心內容.美國教育心理學家布魯納指出：掌握基本的數學思想方法，能使數學更易于理解和更利于記憶，領會基本數學思想和方法是通向遷移大道的“光明之路”.因此，領悟數學思想是幫助學生提高數學成績、建立科學思維方式、形成創造性思維的有效途徑.

一、我國初中數形結合教學存在的問題

（一）重視程度不足

部分數學教師對數形結合思想在初中數學教學過程中的應用的重視程度不足.在實際教學過程中，教師不僅需要講解概念、定理、法則和公式等基礎知識，還需要引導學生形成數形結合思想，提高自身數形結合的運用能力.例如，角平分線性質的定理就和數形結合思想緊密聯系，需要教師在課堂教學環節明確指出并強化學生記憶.

（二）教學方法單一

在教學方法上，很多教師的教學形式過于單一，一味地追求“口述+板書”的傳統教學形式.教師想通過這種簡單的教學方式，使學生熟練地掌握數形結合思想，但是，多數學生基礎知識掌握得不扎實、理解能力不過關，需要教師在傳統教學的基礎上靈活地運用多媒體課件進行教學，運用分組合作教學，為學生營造討論氛圍，使學生相互取長補短.例如，在學習平方差公式時，很多學生無法充分理解公式的幾何意義.這時，教師應運用多媒體課件，運用分組合作的方式教學，降低學生的學習難度.

（三）忽視能力培養

部分教師過度重視培養學生解題技巧，忽視學生思維能力的培養.很多教師都希望能夠通過課堂教學環節提高學生的數學成績，一味地使用題海戰術，忽略了學生是否真的從例題中獲得啟示，不關注學生是否形成了數形結合思想.這種教學方式下，學生僅初步了解了解題方式和基本思路.顯然地，粗獷的題海戰術無法滲透和訓練學生的數學思想，甚至很多教師的這種教學理念直接導致學生不具備數形結合思想和能力.

二、數形結合教學開展的有效策略

教師需要明確數形結合思想是一種運動的思想，是一種變化的思想，同時也是一種在運用和計算的過程中需要不斷轉化的思想.教師應引導學生在動態思維模式下學習數形結合思想.例如，均勻地向一個容器注水，最后把容器注滿.在注水的過程中，水面高度h隨時間t的變化規律如圖1所示（圖中OABC為一折線），這個容器的形狀是圖中的哪一個？你能畫出向另兩個容器注水時水面高度h隨時間t變化的圖像（草圖）嗎？

如上題所示，運用動態思維方式研究這一例題，將每一個容器的形狀和坐標系中的折線規律進行同步思考，更有利于學生理解數形結合思想的運用，同時可以有效加快學生的解題速度.在了解了O到A，A到B，B到C三段折線的角度之后，可以推導出B到C這一階段液面高度增長速度最快，容器最頂層的體積最小.由此可以排除第2選項.再對比O到A，A到B兩段可以得到第2層的液面上升速度最慢，由此可以排除1，最終答案為3號容器.此外，根據上述問題，學生在找出相對應的容器形狀之后，還需要進行反向思維，運用坐標系中的折線反推出其他兩個容器在注水時的液面高度.值得注意的是，在解題的全過程都需要學生保持動態思維模式.

（一）以數化形

在了解了數形結合思想是一種持續不斷運動和變化的思維模式之后，數學教師就可以向學生滲透以數化形這一思維概念，讓學生了解數字和圖形之間的基本關系.

例如，平方差公式是初中數學課程教學中相對基礎的知識點，而平方差的運用也是數形結合思想.運用的主要內容之一，比如，計算多項式 （x+1）（x-1）， （m+2）（m-2），（2x+1）（2x-1），通過計算并比較計算結果，找到其中存在的規律，從而計算出（a+b）（a-b）.教師可以在結合多項式乘以多項式的法則基礎上，運用幾何圖形來闡述這個知識點.根據教材內容，學生可以了解到（a+b）（a-b）=a2-b2，根據幾何公式，配合圖2進行分析，可以得到a加b以及a減b的長度再利用圖形面積的方式得到 a2，b2，2ab的面積由此計算出相應的平方差公式.

這種計算方式能夠結合教材內容，根據公式的幾何背景，培養學生數形結合的思想，同時也能夠讓學生對代數知識的認識更加具體、形象，便于其觀察和計算.另外，教師也可以用割補法講解上述例題.割補法是我國古代數學最重要的發現之一，是通過圖形面積來表示多項式關系的一種有效途徑.用圖形來解釋公式更加直觀、形象，也有利于學生接受和記憶.教師通過幾何方法將代數運算具體化，是數形結合思想的基本體現.然而這種數形結合的教學方式，雖然能夠降低教學難度，但同時也存在局限性.

（二）以形變數

對學生來說，圖形更加直觀、形象，其能夠將抽象的數學關系以具體的形式表現出來.但是，由于圖形只能表示相應的比例和區間，因此想要明確定量，還需要借助數字計算的過程.尤其是當學生在面對過于簡單或過于復雜的圖形時，很難通過直接觀察得到需要的規律和結論.為此，教師需要在圖形教學的基礎上以數字作為標準，使圖形具有幾何意義，引導學生發現其中規律，將圖形數字化，進而有效解決圖形問題.

例如，在教學“角平分線的性質”這一知識點的過程中，如何使學生熟練掌握該知識點，這需要教師利用圖形和教材向學生闡述平分角的性質，介紹平分角儀器，讓學生熟悉其操作方法并根據其工作原理結合動手實踐，了解角的平分線性質和定理，在推導過程中總結數形結合思想.最基礎的教學方法是讓學生折疊角，利用一個直角三角形來觀察折痕數量和位置，從而得到角的平分線.

（三）形數互變

如圖3所示，平面直角坐標系是學生形成數形結合思想最關鍵的一種工具，平面直角坐標系不只能表示相應的位置關系，同時也是幾何與代數兩個大模塊之間的重要橋梁.平面直角坐標系能夠將有序實數對和平面上的點一一對應，通過圖像的形式表述函數的關系，使學生能夠用幾何方法來表述代數關系或者運用代數方法來研究幾何性質.尤其是在學習一次函數的過程中，所涉及的變量與函數概念是學生在未來學習更高難度數學知識的重要前提.函數、變量、圖像在后續學段中的應用極其廣泛，學習平面直角坐標系能夠幫助學生有效解決各類問題.

例如，一次函數 y=kx+b，k≠0.首先，可以確定的是k的正負值會決定直線在圖像中的變化趨勢，也可以說 k決定了函數y隨x的變化規律.當了解上述情況后，教師就可以運用數形結合思想，將k>0，k<0兩種方式進行推導并在這兩種情況下分別觀察 b>0，b=0，b<0三種情況，畫出函數圖像，確定其經過的象限，并最終得到直線的變化趨勢.同時，教師還可以鼓勵學生在解一次函數問題時構建思維導圖，用核心詞、箭頭表述不同情況，從而得到精準的答案.數形結合思維讓解題方式更簡單有效，這也是學生未來學習更高難度函數知識的基礎.

（四）數形結合的教學建議

為培養學生數形結合思想，教師需要在教學過程中結合教材內容，了解學生的身心發展特點和理解能力，在各個教學環節充分滲透數形結合思想.從課前預習、課上教學、課后復習、隨堂小結、教學評價等環節不斷強調數形結合思想的重要性，并循序漸進地提高自身數形結合思想能力.另外，由于初中學段部分知識點抽象性、綜合性較強，因此需要教師注重對學生思維形式的培養，讓學生能夠發掘數軸、絕對值、坐標系、函數等知識點和數形結合思想之間的潛在聯系.為了實現這一目標，教師需要著重培養學生對數字和圖形的敏感度和聯想能力，讓學生在了解了形的特征和數字的定量關系之后，不斷挖掘其存在的內在等式和不等式，了解不同數字、點、公式在圖像上的運用方法，了解數字在圖像中的特性，提高學生利用數形結合思想解決問題的能力.

結束語

綜上所述，數形結合思想既是初中數學教學過程中最基礎的數學能力之一，同時也是轉化學生學習方式、學習理念的重要途徑.無論在加深各知識點關聯性，還是學習新知識點時都發揮著積極的作用.為了讓學生更好地掌握數形結合思想，教師需要結合不同案例向學生滲透以數化形、以形變數、數形互變、數形結合等概念的實際應用方式，同時，強調各類知識點和數形結合思想潛在的邏輯關系，讓學生能夠將數形結合當成一種學習習慣，加強對數形結合思想的認知，深入挖掘教材，挖掘例題中蘊含的數學思想.為了讓學生更加直觀地了解數形結合在解題和實際生活中的運用，教師需要在課堂教學環節發揮互聯網教學資源，運用信息化教學模式、多媒體教學方法和分組合作教學探究的特點，讓學生充分討論、積極聯想，提高其思維靈活性和思維延展度.

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