摩擦對斜齒圓柱齒輪嚙合剛度影響規律研究

韓 林

（天津職業技術師范大學機械工程學院，天津 300222）

準確計算時變嚙合剛度是對齒輪副進行設計或分析的關鍵一步，其重要性不言而喻。目前，計算齒輪嚙合剛度的方法有4 種：有限元法[1-3]、解析有限元法[4-5]、解析法[6-9]和試驗法[10-11]。其中，基于材料力學的勢能解析法[6]由于其計算效率高，被廣泛采用，特別適用于對齒輪傳動系統進行動態特性分析。勢能法將輪齒視為變截面懸臂梁，計算嚙合力作用到齒面時的赫茲接觸勢能、剪切勢能、壓縮勢能及彎曲勢能等。眾所周知，除在節線附近，主從動輪嚙合點在其他嚙合位置均存在相對滑動，產生摩擦力。在利用勢能法計算齒輪副嚙合剛度時，應考慮摩擦力。為此，Saxena 等[12-14]以勢能法為基礎，研究了直齒圓柱齒輪副中的摩擦力對嚙合剛度的影響；Han 等[15]雖討論了摩擦力對斜齒圓柱齒輪嚙合剛度的影響，但當采用不同摩擦系數模型時，工況參數對嚙合剛度的影響是否有所區別，其研究工作并未給出相關結論。此外，摩擦力對嚙合剛度的影響程度，是否與斜齒輪副的螺旋角、模數等參數有關[16-17]，也未發現相關報道。針對上述問題，本研究以勢能法為基礎，計及齒面摩擦力的影響，通過采取不同摩擦系數模型，揭示工況參數對斜齒圓柱齒輪副時變嚙合剛度的影響，探討所述影響與斜齒輪副螺旋角、模數等參數之間的關系。

1 時變嚙合剛度計算模型

1.1 勢能法

嚙合剛度計算模型如圖1 所示。作用于該輪齒上的嚙合力為F，可分解為徑向、切向2 個方向上的分力Fa、Fb。

圖1 嚙合剛度計算模型

根據力學相關理論，存儲于該齒內的勢能包括赫茲接觸勢能Uh，壓縮勢能Ua，彎曲勢能Ub及剪切勢能Us，各項可表示為如下形式

式中：kh、kb、ka、ks分別為赫茲接觸剛度、彎曲剛度、壓縮剛度和剪切剛度；G、E、b 分別為齒輪材料剪切模量、楊氏模量和齒寬；Ix、Ax為距離齒根距離為x 處的截面慣性矩及截面面積；hx為對應于到基圓徑向距離為x、垂直于齒中心線的距離；d 為嚙合力的作用點到基圓的徑向距離。

Yang 等[18]的研究結果表明，式（1）中的接觸剛度值kh實際上沿著整條作用線是一常數，與接觸位置及穿入程度無關，可表示為

式中：v 為材料的泊松比。

除此表達式外，還需考慮載荷影響的經驗公式[19]，為簡化起見，此處采用式（6）。將式（5）代入式（2）-（4）中，得

計算過渡圓角變形的幾何參數如圖2 所示。

考慮齒根基體變形[20]，相應的齒根基體剛度為

式中：uf、Sf如圖2所示。

式中：Xi*為系數 L*、M*、P*、Q*，參數 Ai、Bi、Ci、Di、Ei和 Fi所涉及的參數值如表1 所示。hfi=rf/rint，rint如圖2 所示。

圖2 計算過渡圓角變形的幾何參數

表1 公式（11）所涉及的參數值

根據上式，單齒對嚙合剛度可表示為

式中：下標1、2 分別為主、從動輪。若一對齒輪副重合度為ε，則當有n=ceil（ε）對輪齒同時嚙合時，其嚙合剛度為

函數ceil（x）的含義是取比x 大的最小整數。

1.2 斜齒圓柱齒輪嚙合剛度

與直齒輪不同，斜齒圓柱齒輪輪齒在嚙合時，接觸線與軸線不平行，且其長度是逐漸增大又逐漸減小。通常斜齒輪重合度 2 ＜ ε（ε = εα +εβ，εα 為端面重合度，εβ 為軸向重合度）＜3，斜齒圓柱齒輪嚙合的作用面且對應于 εα ＞ εβ，如圖3所示。

圖3 斜齒圓柱齒輪嚙合的作用面

從圖3 可以看出，三齒對嚙合的初始時刻，則單齒對接觸線長度從進入嚙合至退出嚙合，可由下式計算獲得

同理，對于每一對嚙合輪齒，在一個嚙合周期T內，其接觸線長度可表示為

上述計算直齒輪嚙合剛度的方法不能直接用于計算斜齒輪嚙合剛度。為此，若將斜齒輪沿其軸線方向劃分成諸多寬度為dy 的“切片”，則每一片即可視為一直齒輪。由此，可利用上述勢能法計算每片直齒的嚙合剛度，整齒嚙合剛度可通過沿整齒齒寬的積分獲得。切片法模型如圖4 所示。

圖4 切片法模型

作用于切片上的力如圖5 所示。除嚙合力F 外，與F 垂直方向上作用有摩擦力Ff，該摩擦力也可分解為 Ffa、Ffb，大小可由下式獲取

式中：μ 為摩擦系數。

圖5 作用于切片上的力

當接觸線位于節線下方時，根據前述勢能法原理，存儲于每一切片的彎曲勢能為

式中：dIx=（2hx）3dy/12，表示切片的截面慣性矩。

式中：參數α1（y）、d（y）、h（y）及x 如圖1 所示。

將式（22）、（23）代入式（21），經整理，得

則有效接觸線長度為l 的齒對彎曲剛度為

將x 和hx的表達式代入上式，同時由于上式求積分困難，故利用離散求和代替上式直接積分，可得

同理，當接觸線位于節線上方時，有

為簡便起見，令

同理，可推導出剪切剛度的表達式

壓縮剛度的表達式為

當某嚙合齒對接觸線部分位于節線之上，而另一部分位于節線之下時，該齒對彎曲剛度為

式中：N+為對應于接觸線位于節線上部的切片數；N-為對應于接觸線位于節線下部的切片數。

針對 2 ＜ ε ＜ 3 且 εα＞ εβ的情況，在整個嚙合周期內，3 對嚙合齒對的彎曲剛度分別為

式中：N1=lc，1（t）cos βb/Δy；N2=（lc，1（t）-（vt-lBP）/sin βb）cos βb/Δy；N3=lc，1（t）cos βb/Δy-N2；N4=（lBP+（εβ-1）pbtvt）/（Δy·tan βb）；N5=b/Δy-N4；N6=lc，2（t）cos βb/Δy；N7=lc，3（t）cos βb/Δy。

同理可得三齒對嚙合的其他剛度項如ks，ka等，篇幅所限，此處不再列出。

1.3 摩擦系數模型

上述剛度表達式中的摩擦系數與工況及接觸表面質量有關。本研究選用2 個摩擦系數模型，探討工況參數和表面粗糙度對嚙合剛度的影響規律及不同摩擦系數模型對嚙合剛度影響的差異性。

BK 摩擦系數公式[21-22]

式中：η 為潤滑油粘度，單位為cP；S 為用均方根值表示的齒面粗糙度，單位為μin；w 單位長度上的載荷，單位為lbf/in；us、ur分別為嚙合點處相對滑動速度及卷吸速度，單位為in/s。該式中非標準單位在程序執行前，均通過與標準單位的關系轉換。

Xu[23]根據非牛頓流體熱彈流潤滑理論提出了在節點處摩擦系數為零的摩擦系數公式為

式中：v0為在油入口溫度下的絕對黏度（動力黏度），單位cPs；S 為表面粗糙度均方根值，單位μm；bi（i=1，2，…，9）為常系數，取決于潤滑油類型，若為 75W90 齒輪油，則有 v0=10 cPs，bi=-8.92，1.03，1.04，-0.35，2.81，-0.10，0.75，-0.39 ，0.62 ；R 為有效曲率半徑，單位 m，取決于齒輪幾何特征及嚙合位置；卷吸速度為Ve，跟齒輪轉速有關；最大壓力Ph取決于傳遞的載荷，由文獻[24]所述方法獲取，本文開發程序的有效性已在文獻[25]中證實。

2 仿真結果與討論

斜齒圓柱齒輪參數如表2 所示。

表2 斜齒圓柱齒輪參數

接觸線長度和嚙合剛度如圖6 所示。從圖6（a）可知，起始時間為輪齒剛進入嚙合時刻，隨著主動輪不斷轉動，接觸線長度逐漸增大，然后保持一定值不變，又逐漸減小，直至退出嚙合，接觸線長度變為0。

摩擦系數公式不同，在相同工況條件下，所得摩擦系數分布情況不同。摩擦系數分布如圖7 所示。

在負載扭矩T=600 N·m、表面粗糙度S=1.6 μm、主動輪轉速n1=500 r/min 的工況條件下，2 種模型所獲得的摩擦系數沿一對輪齒接觸線方向上的分布情況。

從圖7 中不難發現，BK 模型在整個嚙合過程，摩擦系數差異性不明顯，節線附近摩擦系數達到峰值；而Xu 模型所得摩擦系數在整個嚙合過程分布差異較大，在節線附近達到最小值。

圖6 接觸線長度和嚙合剛度

圖7 摩擦系數分布

表面粗糙度對嚙合剛度的影響如圖8 所示。研究負載扭矩T=600 N·m，主動輪轉速n1=500 r/min 的工況下，輪齒表面粗糙度對嚙合剛度的影響規律。此處忽略了粗糙表面對赫茲接觸剛度的影響。

圖8 表面粗糙度對嚙合剛度的影響

從圖8 可以看出，摩擦因素確實對齒輪副嚙合剛度具有一定影響，且影響規律在整個嚙合周期內并不一致，即部分時間段內是增大嚙合剛度，而余下時間內則是減小嚙合剛度，這主要是因嚙合齒對在越過節線附近時，摩擦力換向所致；此外，從圖8（b）可知，Xu的摩擦系數模型隨著齒面粗糙度取值不同，其影響也隨之表現出明顯差異；而從圖8（a）可知，BK 摩擦系數公式對齒面粗糙度不靈敏，摩擦系數變化不大，故對嚙合剛度的影響趨于相同。

在S=1.6 μm、主動輪轉速n1=500 r/min 的工況下，不同負載轉矩對嚙合剛度的影響如圖9 所示。此處需要說明的是，本文所采用的剛度計算模型忽略了載荷對赫茲接觸剛度的影響，故負載不同，摩擦系數不同，進而影響嚙合剛度。從圖9（a）和（b）可以看出，在不考慮對赫茲接觸剛度影響的前提下，負載轉矩對嚙合剛度的影響不顯著。

在之前的文獻中，計算齒輪副嚙合剛度時，未包括齒輪轉速因素，即認為轉速僅對嚙合頻率產生影響，對嚙合剛度不會產生任何影響。而在本研究中，當計及摩擦因素對嚙合剛度有影響時，由于轉速會影響到摩擦系數，則勢必會間接地對嚙合剛度產生影響。主動輪轉速對嚙合剛度的影響如圖10 所示。

圖9 不同負載轉矩對嚙合剛度的影響

圖10 主動輪轉速對嚙合剛度的影響

由摩擦學理論可知，轉速越低，接觸表面間越不容易形成潤滑油膜，摩擦系數越大，故圖中當n1=100 r/min時，對應的摩擦系數值最大，其對嚙合剛度的影響愈明顯。然而，從圖10 中可以看出，不同轉速對嚙合剛度的影響差異性不大。

以Xu 所提出的摩擦系數公式為例，探討齒面摩擦對不同螺旋角、模數的齒輪副嚙合剛度的影響特征，嚙合剛度波動與齒輪基本參數之間的關系如圖11 所示。

圖11 嚙合剛度波動與齒輪基本參數之間的關系

圖中縱軸代表嚙合剛度的波動量（定義為在1個嚙合周期內，剛度最大值與最小值之差）。從圖11（a）可知，螺旋角分別為 10°、12°、14°時，考慮摩擦及不考慮摩擦時的齒輪副嚙合剛度的情況。不難看出，隨著齒輪副螺旋角的增大，考慮摩擦因素的剛度值與未考慮摩擦因素的剛度值之差逐漸減小，即摩擦因素對嚙合剛度的影響逐漸減小。從圖11（b）可知，齒輪法面模數分別為2.5 mm、3 mm、4 mm 時，摩擦對嚙合剛度波動量的影響規律與螺旋角情況不同，摩擦對齒輪副嚙合剛度的影響隨著模數增加變化不大。

3 結 論

本研究考慮斜齒圓柱齒輪副嚙合時的齒面摩擦力，在勢能法的基礎上，改進了嚙合剛度計算模型。同時，以2 種摩擦系數公式為例，探討了摩擦對嚙合剛度的影響及不同摩擦系數模型之間的差異性。研究結論如下。

（1）摩擦因素對嚙合剛度有一定的影響，在計算嚙合剛度時，應予以考慮。

（2）在1 個嚙合周期內，摩擦對嚙合剛度的影響不一致。

（3）摩擦系數模型不同，工況參數對嚙合剛度的影響規律也不盡相同。

（4）摩擦對嚙合剛度的影響隨著螺旋角的增大而減小，而隨著模數的增加，影響不明顯。

基于上述工作，探討摩擦對系統動力學行為的影響有待進一步深入研究。