基于起點(diǎn)究算理 數(shù)形結(jié)合涵素養(yǎng)
——《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》教材解讀與教學(xué)建議

○劉愛東

《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)第四單元的內(nèi)容，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了多位數(shù)乘一位數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。這是第一學(xué)段最為復(fù)雜的計(jì)算知識(shí)，也是整數(shù)乘法的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一。尤其是筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)，與學(xué)生已有的豎式經(jīng)驗(yàn)相比，無論從思維角度，還是書寫格式上，都有一定的難度。但另一方面，學(xué)生只要理解并掌握了筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理和方法，就能夠自主類推出位數(shù)更多的整數(shù)相乘的方法，為后續(xù)學(xué)習(xí)三位數(shù)乘兩位數(shù)、整數(shù)四則混合運(yùn)算等打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。

一、教材解讀

本單元教學(xué)內(nèi)容在教材中直接用“1.口算乘法”“2.筆算乘法”標(biāo)出，有利于學(xué)生明晰學(xué)習(xí)思路、開展自主探究。內(nèi)容主要是學(xué)習(xí)口算乘法和筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)，以及運(yùn)用連乘、連除兩步計(jì)算解決問題。

1.口算乘法。

口算乘法包括兩部分內(nèi)容：

第一部分是兩位數(shù)乘一位數(shù)（積在100以內(nèi)的進(jìn)位乘法）和幾百幾十乘一位數(shù)（進(jìn)位）。例1通過創(chuàng)設(shè)搬運(yùn)草莓的生活情境，提出問題“3筐草莓有多少盒”。在列出算式15×3后，要鼓勵(lì)學(xué)生自主探究計(jì)算方法。教材中呈現(xiàn)了兩種不同的口算思路，這里重點(diǎn)要引導(dǎo)學(xué)生掌握將兩位數(shù)拆成整十?dāng)?shù)和一位數(shù)，再分別乘另一個(gè)因數(shù)，最后把兩個(gè)部分積相加求出結(jié)果的口算方法。教材用小方塊圖，把抽象的算理直觀地呈現(xiàn)出來，便于學(xué)生正確理解口算算理，掌握口算方法，而這種“先分后合”的算理和方法，正好與筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)相一致。再通過“想一想”遷移掌握幾百幾十乘一位數(shù)（進(jìn)位）的口算方法，“做一做”中的對(duì)比練習(xí)，能使學(xué)生進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)兩位數(shù)乘一位數(shù)和幾百幾十乘一位數(shù)之間的異同。

第二部分是兩位數(shù)乘整十、整百數(shù)。例2的編排分兩個(gè)層次，其一是結(jié)合實(shí)物圖“橙子每盒6個(gè)，10盒有多少個(gè)”，口算一位數(shù)乘10，引導(dǎo)學(xué)生利用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)（表內(nèi)乘法）先口算出9盒橙子的個(gè)數(shù)，再加上1盒橙子的個(gè)數(shù)，來求出總個(gè)數(shù)。接著，通過口算一位數(shù)、兩位數(shù)乘10的練習(xí)，發(fā)現(xiàn)并體會(huì)乘10最簡便的口算方法。其二是通過例題“橙子每盒12個(gè)，20盒有多少個(gè)”發(fā)現(xiàn)并體會(huì)兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的口算方法。“做一做”中的對(duì)比練習(xí)，使學(xué)生進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)和整十?dāng)?shù)乘整十?dāng)?shù)、兩位數(shù)乘整百數(shù)之間的聯(lián)系和區(qū)別。

口算是筆算的基礎(chǔ)，教材先安排口算，從算理和方法上為學(xué)生學(xué)習(xí)筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)做好了必要的準(zhǔn)備。

2.筆算乘法。

筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)不僅是本單元的教學(xué)重點(diǎn)，在整個(gè)小學(xué)階段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中也起著舉足輕重的作用。教材安排了四道例題，依次教學(xué)筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）、筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)（進(jìn)位）和運(yùn)用連乘、連除兩步計(jì)算解決問題，由淺入深，有助于學(xué)生在自主探索的過程中逐步掌握筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理和方法，培養(yǎng)學(xué)生靈活解決問題的能力。

（1）立足學(xué)習(xí)起點(diǎn)，感悟算理算法。

筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）的教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生立足已有經(jīng)驗(yàn)，在完整經(jīng)歷豎式計(jì)算的過程中，促進(jìn)學(xué)生對(duì)算理的理解，厘清乘的順序、各部分積的書寫位置和各部分積的實(shí)際含義。例1依據(jù)王老師買書的情境呈現(xiàn)乘法算式14×12后，鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合直觀形象的點(diǎn)子圖自主探索計(jì)算方法，如可以把4套書看成1份，12套書就是這樣的3份，先算出1份有多少本，再算出3份共有多少本；也可以先分別算出10套和2套書的本數(shù)，再算出一共有多少本。接著，結(jié)合第二種計(jì)算方法，通過“想一想”引出豎式計(jì)算方法，突出豎式計(jì)算過程，具體說明各部分積的實(shí)際含義和書寫位置，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)，要先用第一個(gè)乘數(shù)分別去乘第二個(gè)乘數(shù)個(gè)位和十位上的數(shù)，再把兩次乘得的積相加。應(yīng)該注意的是，在乘第二個(gè)乘數(shù)十位上的數(shù)時(shí)，由于得到的數(shù)表示若干個(gè)十，所以，個(gè)位上的0省略不寫，所乘得的數(shù)的末位要和十位對(duì)齊。

（2）開放探究時(shí)空，形成知識(shí)體系。

筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)（進(jìn)位）的教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)總結(jié)筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法，打通多位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)（口算、筆算）之間的聯(lián)系，建構(gòu)知識(shí)體系。例2通過創(chuàng)設(shè)給春風(fēng)小學(xué)37個(gè)班發(fā)放酸奶的情境，呈現(xiàn)算式48×37。先是利用估算的策略對(duì)乘積進(jìn)行初步判斷，培養(yǎng)學(xué)生的估算能力；接著，在給出的不完全的豎式中，引導(dǎo)學(xué)生探究筆算的方法。例2與例1的算理相同，只是計(jì)算過程中需要進(jìn)位，因此可放手讓學(xué)生自己嘗試。然后通過小組討論等方式，進(jìn)一步明確筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法，總結(jié)計(jì)算法則。既有助于學(xué)生個(gè)性化表達(dá)對(duì)筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)算理和方法的理解，又較好地體現(xiàn)出數(shù)學(xué)抽象的規(guī)范性和簡潔性。

（3）靈活解決問題，彰顯計(jì)算價(jià)值。

運(yùn)用連乘、連除兩步計(jì)算解決問題的教學(xué)，一方面能夠?yàn)閷W(xué)生提供更多的兩位數(shù)乘兩位數(shù)的練習(xí)機(jī)會(huì)，體悟所學(xué)計(jì)算的應(yīng)用價(jià)值；另一方面，也促進(jìn)學(xué)生對(duì)乘法運(yùn)算的一些基本規(guī)律和特點(diǎn)有更深的感悟，從而提高分析問題和解決問題的能力。例3、例4運(yùn)用連乘、連除兩步計(jì)算解決問題，必須要弄清楚“先求什么，再求什么”，這兩個(gè)例題都體現(xiàn)了解題方法的多樣性，要讓學(xué)生理解對(duì)于不同的解題方法第一步求的是不一樣的。例3中綜合算式是教材直接給出的，而例4需要學(xué)生自己列出算式，尤其是第二種方法有一定的難度，需要學(xué)生理解計(jì)算內(nèi)容的順序，如果先計(jì)算60人分成幾組，則需要先計(jì)算3×2，因此要添寫小括號(hào)，否則運(yùn)算順序和計(jì)算結(jié)果都有可能發(fā)生變化。

二、教材編排特點(diǎn)

關(guān)于《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》這一單元，目前使用的教材與原來使用的實(shí)驗(yàn)教材相比，既保持了原教材的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)又呈現(xiàn)出一些新的特點(diǎn)。

1.重視估算策略，調(diào)整估算教學(xué)編排。

教材十分重視估算教學(xué)在日常生活中的廣泛應(yīng)用，打破了原來“先口算—再估算—再筆算”的編排順序，把乘法估算提前安排到第二單元《除數(shù)是一位數(shù)的除法》中，作為解決實(shí)際問題的方法和策略進(jìn)行教學(xué)，再在筆算乘法時(shí)加以應(yīng)用。因此，教材按照“先口算—再筆算—再解決實(shí)際問題”的順序進(jìn)行編排，同時(shí)把已掌握的估算方法穿插在筆算乘法（例2）等解決實(shí)際問題中。這樣的編排，體現(xiàn)了估算對(duì)于解決實(shí)際問題的重要作用，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用估算解決實(shí)際問題，在實(shí)踐中逐步形成估算意識(shí)，掌握估算策略，提高估算能力。

2.借助幾何直觀，理解算理掌握算法。

教材不僅把例題置于學(xué)生常見的生活情境中，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)與學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)充分發(fā)揮圖形的直觀形象、易操作等優(yōu)勢(shì)，幫助學(xué)生理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，掌握算法。如學(xué)習(xí)口算兩位數(shù)乘一位數(shù)時(shí)，教材安排了擺方塊的方法幫助學(xué)生理解；學(xué)習(xí)筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）的計(jì)算時(shí)，利用點(diǎn)子圖放手讓學(xué)生去思考、探究算法、理解算理，進(jìn)而得到乘法豎式，不僅讓學(xué)生經(jīng)歷了算法的多樣化，而且能體會(huì)到乘法算式的簡潔有效；其余例題也是通過常見的圖形，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)形結(jié)合中親歷建構(gòu)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的數(shù)學(xué)模型的過程，不僅能有效地幫助學(xué)生理解算理、掌握算法，同時(shí)也為學(xué)生提供了數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)交流的機(jī)會(huì)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感和推理素養(yǎng)。

3.注重探究規(guī)律，培養(yǎng)數(shù)學(xué)高階思維。

在教學(xué)中，利用計(jì)算過程中算法的一致性或相似性尋找規(guī)律，促進(jìn)計(jì)算方法的有效遷移。如學(xué)習(xí)口算乘法例1，在學(xué)生學(xué)完15×3的口算方法后，接著就呈現(xiàn)150×3，讓學(xué)生在比較的過程中，體悟兩道口算題之間的聯(lián)系與區(qū)別。再如學(xué)習(xí)筆算乘法例2，讓學(xué)生在已經(jīng)學(xué)會(huì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）的算理、方法和格式的基礎(chǔ)上，自主探究兩位數(shù)乘兩位數(shù)（進(jìn)位）的計(jì)算法則。學(xué)生經(jīng)歷“探究方法—明確算理—總結(jié)算法”的學(xué)習(xí)過程，不僅對(duì)計(jì)算知識(shí)有較為深刻的理解，同時(shí)也是獲得數(shù)學(xué)基本思想方法的過程，由具體題目的計(jì)算上升到對(duì)一般方法的抽象概括，由對(duì)算理的感性認(rèn)識(shí)上升到對(duì)方法的理性認(rèn)識(shí)。

4.重視問題意識(shí)，提升問題解決能力。

教材努力呈現(xiàn)這樣的教育思想:一是通過計(jì)算教學(xué)，努力讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)具有重大的工具性作用，使學(xué)生意識(shí)到計(jì)算是幫助我們解決問題的工具，計(jì)算具有廣泛的應(yīng)用性；二是通過計(jì)算教學(xué)，努力讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維的方法，即面對(duì)具體的問題時(shí)，能夠用數(shù)學(xué)的眼光判斷是否需要計(jì)算，如果需要，則選擇合適的計(jì)算方法解決問題。教材新增了兩個(gè)解決問題的例題，其余例題和大多數(shù)的練習(xí)也都設(shè)置了豐富的情境，問題的解決注意體現(xiàn)策略的多樣性和策略優(yōu)化的過程，能夠有效提高學(xué)生解決問題的能力。

三、教學(xué)建議

1.注重方法指導(dǎo)，形成口算技能。

教師應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生由兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算方法，類推出兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)、整百數(shù)的口算方法。鼓勵(lì)學(xué)生聯(lián)系相關(guān)生活經(jīng)驗(yàn)，自主探索口算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的簡便計(jì)算過程，并能結(jié)合直觀形象的方塊圖（例1）、水果圖（例2），用語言正確地表述出口算過程中每一步的意義，在充分理解算理的基礎(chǔ)上，逐步掌握形式化的口算方法，形成正確、迅速的口算技能。比如，兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的口算，可以先算出兩位數(shù)乘一位數(shù)的積，再在所算出的積的后面添上一個(gè)0；兩個(gè)整十?dāng)?shù)相乘的口算，可以先算出一位數(shù)乘一位數(shù)的積，再在所算出的積的后面添上兩個(gè)0。同時(shí)可以通過題組練習(xí)，促進(jìn)學(xué)生不斷鞏固認(rèn)知，加強(qiáng)理解。

2.厚實(shí)探究過程，深刻理解算理。

（1）發(fā)揮原有計(jì)算經(jīng)驗(yàn)的效用。

學(xué)生前面學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘一位數(shù)、口算兩位數(shù)乘兩位數(shù)時(shí)的經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)習(xí)新知打下基礎(chǔ)。要引導(dǎo)學(xué)生善于把新的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的計(jì)算，或聯(lián)系已有相關(guān)計(jì)算原理的認(rèn)知，對(duì)新的計(jì)算方法進(jìn)行類推、解釋，確保學(xué)生在積極的思維狀態(tài)中多角度關(guān)注和探究算理算法。如教學(xué)豎式14×12時(shí)，可以組織學(xué)生討論：第一步是計(jì)算哪兩個(gè)數(shù)相乘？14×2算到的是幾套書的本數(shù)？第二步是計(jì)算哪兩個(gè)數(shù)相乘？14×10算到的是幾套書的本數(shù)？為什么豎式中的14能夠表示140？

（2）注重直觀模型的應(yīng)用。

筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的難點(diǎn)在于如何借助直觀的算理獲得抽象的算法，而點(diǎn)子圖就是溝通直觀算理和抽象算法的橋梁。教師要引導(dǎo)學(xué)生利用點(diǎn)子圖，自主探究筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的方法與得數(shù)，理解拆分方法的合理性，讓學(xué)生更加直觀、清楚地理解算理、掌握算法，融通口算和筆算方法，真正實(shí)現(xiàn)以理馭法。

此外，還要重視驗(yàn)算方法的指導(dǎo)、驗(yàn)算習(xí)慣的培養(yǎng)。幫助學(xué)生逐步養(yǎng)成自覺驗(yàn)算的好習(xí)慣，提升計(jì)算正確率，優(yōu)化計(jì)算能力。

3.豐富解題策略，優(yōu)化思維品質(zhì)。

用兩步連乘或連除解決的實(shí)際問題中，由于已知條件變成了三個(gè)，所以往往會(huì)有不止一種正確的組合方式，從不同的角度分析就有可能得到不同的解決問題的方法。要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同的算式進(jìn)行適當(dāng)?shù)谋容^，體會(huì)解決問題的多樣化，即針對(duì)同一題列出的不同算式，每一步計(jì)算的實(shí)際意義也各不相同，但這些連乘或連除的算式所表示的結(jié)果卻是相同的。如例3、例4都呈現(xiàn)了兩種計(jì)算方法，有助于培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用信息解決問題的能力。

資料存盤

1.《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》課標(biāo)解讀。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在“學(xué)段目標(biāo)”的“第一學(xué)段”中提出：能計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法；認(rèn)識(shí)小括號(hào)，能進(jìn)行簡單的整數(shù)四則混合運(yùn)算（兩步）；能結(jié)合具體情境，選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行估算，體會(huì)估算在生活中的作用；經(jīng)歷與他人交流各自算法的過程；能運(yùn)用數(shù)及數(shù)的運(yùn)算解決生活中的簡單問題，并能對(duì)結(jié)果的實(shí)際意義作出解釋。

2.格子乘法。

格子乘法由古代阿拉伯傳入我國，明朝《算法統(tǒng)宗》里稱為鋪地錦。比如，計(jì)算46×75，先把因數(shù)分別寫在上邊和右邊，然后，計(jì)算6×7=42，寫在右上角的格子里，左邊寫4，右邊寫2，以此類推，填好格子。最后，把同一斜線格上的數(shù)相加，和寫在相應(yīng)的斜線格外面。從右下角開始，第一條斜線格上單獨(dú)一個(gè)0，在格子外寫0；第二條斜線格上“2+3+0＝5”，在格子外寫5；第三條斜線格上“4+8+2＝14”，格子外寫4，1進(jìn)到下一斜線格中；第四條斜線格上的2，與進(jìn)位1相加得3，在格子外寫3。由此得到：46×75=3450。

3.特殊的兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法。

如果兩個(gè)兩位數(shù)的十位相同，個(gè)位數(shù)相加和為10，那么可以根據(jù)口訣“十位乘以大一數(shù)，個(gè)位之積后面拖”，求出這兩個(gè)數(shù)的乘積。比如，54和56這兩個(gè)兩位數(shù)的十位都是5，個(gè)位數(shù)之和是10，則它們乘積的前兩位是5×（5+1）=30，后兩位就是4×6=24，也就是說，54×56=3024，類似的，47×43=2021，25×25=625……這種速算方法，可用含有字母的式子推導(dǎo)得出：（10x+y）【10x+（10-y）】=100x（x+1）+y（10-y），對(duì)任意x和y都成立。