主題拓展，讓思維向更深處漫溯

○蔣守成

在已有教材內容基礎上，在不改變當下教材體系的前提下，通過資源整合、融通，用主題的方式進行拓展教學，這是我們研究并傳承華羅庚的“一條龍教學法”思想提出的教學主張。

一、主題拓展教學的內涵解析

所謂主題拓展教學，是以“發展思維”為核心，“提升數學核心素養”為目標，圍繞有價值的主題“牽一發”而“動”學生已有知識與能力體系的“全身”，將課內外、各學科零碎的內容統整起來，促進學生形成系統化、結構化思考的開放式教學。

“主題拓展教學”不是讓學生獲得一堆零散、呆板、無用的數學知識，而是師生共同經歷的一段智慧之旅，促進學生形成系統化、結構化的數學思維方式，獲得數學的基本思想，掌握解決問題的一般策略和方法，從而通過數學更好地認識現實世界，解決現實世界中具有挑戰性的問題。

主題拓展教學是基于教材進行課程開發形態的一種教學主張，它是對日常課堂教學的融合和補充，是學生根據已有認知水平和已有生活經驗進行有序聯想、自由思考的一種學習形態，更多地趨向于以主題為載體的獨立思考和合作研究。

二、主題拓展教學的組織實施

“主題”是主題拓展教學的“魂”，它既是教學活動的主線，也是生發學生思維的核心；既是教師進行教學規劃的“種子”，也是學生形成系統化思考的“發源地”。“拓展”是數學主題教學的方式，它可以從條件或結論出發圍繞主題通過追本溯源，不斷向未知的領域進行拓展，掌握其來龍去脈以及相關知識和問題的內在聯系；也可以從問題出發，圍繞主題通過資料查找、數據統計、邏輯推理、問題轉化等途徑解決問題。讓學生從具體到抽象或從抽象到具體的過程中穿梭，表面上是對一個問題的深入理解或解決某個問題，本質上是一種系統化、結構化的數學思維方式和數學基本思想的有力滲透。

1.循序推斷，把握知識的邏輯之鏈，促進學生形成系統化、結構化的思維方式。

學生學習的內容本身是按照一定的邏輯關系來安排的，但往往會出現割裂和離散的現象，這就需要梳理和推斷形成系統結構。

例如：按照正常的邏輯關系，相鄰的兩個面積單位的進率應該都是100，那為什么公頃和平方米的進率是10000呢？同樣的道理，每相鄰兩個長度單位的進率是10，為什么千米到米的進率是1000呢？這會給學生的系統化認知造成障礙。因此，我們可以從問題出發，圍繞面積單位這個主題追本溯源，在求聯中系統推理，明晰其中的原理。

首先，理清面積單位進率的“序”。通過課前資料查找，學生明白面積單位在教材中呈現的只是其中的一部分，原來的公制面積單位公畝（a）已經不再使用，教材也就沒有介紹。因為1公畝等于100平方米，如果將公畝算進去每相鄰兩個面積單位的進率都是100。那為什么教材不把公畝放在里面進行教學呢，一是數學優化的結果，二是擔心和市制計量單位“畝”混淆。

其次，按面積單位規定的“序”進行合理推斷。邊長是100米的正方形土地面積是1公頃，為什么要這樣規定？原來相鄰的長度單位的進率也都是10，只是十米和百米跟公畝一樣在實踐過程中優化了。按照面積規定的“序”：邊長為1厘米、1分米、1米、10米的正方形的面積分別是1平方厘米、1平方分米、1平方米、1公畝，學生由此進行合理推斷得到邊長是100米的正方形土地面積是1公頃，再大一點就是邊長1千米的正方形面積為1平方千米，這樣的數學化的推算過程滲透了推理的思想，也為學生后續學習平方千米找到了路徑，形成了正遷移。

教材編寫時會強調概念和命題之間的邏輯結構，會按照學生認知的“序”進行科學編排。例如，圖形的面積計算，從長方形（正方形）的面積計算開始，到平行四邊面積計算，再到三角形面積計算、梯形面積計算，最后到圓的面積計算。然而，我們僅僅看到這種線性的、單向的“邏輯結構”顯然是不夠的。例如，我們在教學三角形面積時就不僅僅滿足于轉化成平行四邊形這一個路徑，還可以通過折紙的方式轉化成長方形。教學圓的面積時也不僅僅滿足于轉化成長方形，還可以轉化成三角形、梯形。同理，梯形不僅可以轉化成平行四邊形，也可以轉化成長方形。

圖形之間是可以多元相互轉化的，打破了由于教學的先后次序所形成的邏輯線索的束縛，在平面圖形面積之間建立更為廣泛的聯系，形成了結構化表達，也意味著內部的“線索”更加豐富。

2.融通整合，主題關聯零碎散落的教學資源，促進學生構建新系統，獲得新見解。

研究表明，當學習者所掌握的知識以一種網絡結構的方式進行排列的時候，就可以大大提高知識的提取應用的效率，從而提高解決問題的能力。數學主題拓展教學從主題出發，通過網絡結點主動關聯相關內容，形成縱橫交錯、有機互補的新的主題結構，隨著經驗和知識的生長，將不斷豐富該結構，促進學生構建新的系統，獲得新的見解。

例如，學習圓柱體的體積后有這樣一道題：選一張長方形紙，卷成兩個大小不同的圓柱，分別算出體積。與同學交流，怎樣卷圓柱的體積比較大？

我們發現，教師的處理方式大都是：給出具體的數據，讓學生計算得出結論，然后讓學生記住以長為底面周長時卷成的體積大。學生通過計算獲得答案，然后形成經驗。那么，這種經驗一定是正確的嗎？有沒有更好的方法呢？由此，我們以“圓柱體的再認識”為主題進行拓展教學，讓學生對圓柱的體積、表面積構建更豐富的系統，獲得新的見解。

首先，構建圓柱體體積方法的新系統。

圓柱體的體積是由長方體的體積轉化得來的，因為長方體有三個不同的面，所以體積就有三種不同的表達，由此推斷圓柱體的體積應該有三種不同的表達形式，讓學生構建體積方法的新模型，獲得解決問題的新路徑。我們可以尋找到一般的方法進行證明誰卷成的體積大。如果將拼成的長方體翻轉，即原來圓柱側面積的一半作底，就可以得到新的方法：側面積的一半乘底面半徑。

學生運用剛才的推導公式來解釋為什么以A4紙長邊為周長卷出來的圓柱的體積大。如圖，側面積一樣的情況下，半徑越大，體積越大。同樣道理，將一張長方形A4紙分別以長和寬為半徑旋轉形成的圓柱體哪個體積大？如圖，通過推斷得到新的求體積的方法，可以得出結論。

通過兩個現實的問題，豐富了圓柱和長方體體積之間的聯系，使學生更好地體會推理基本思想的價值。

其次，構建圓柱體表面積方法的新系統。

通過“圓柱體再認識”這一主題進一步讓學生明晰數學知識間內在的邏輯關系，幫助學生建立清晰的知識結構和方法結構，將原本散落在教材中的零碎知識以結構關聯的模型呈現出來，為后續的學習提供系統化的思維路徑。

3.主題研究，創造學生“主動思考”的關鍵事件，幫助學生獲取解決復雜問題的能力和素養。

除了通過循序推斷、融通整合促進學生形成系統化結構化的思維方式，更需要向學生展現真實世界的復雜和多變，讓他們有可能在非常規、非線性的復雜問題求解過程中，重組經驗系統，歷練系統思維。

（1）選擇現實的有挑戰性的問題進行主題研究。

例如，五年級學生進行“住房面積有多大”的主題研究。問題有：學生如何運用學到的規則圖形面積的知識，去解決實際生活中不規則圖形的面積問題？對于住房面積中的實際使用面積、墻體面積、公攤建筑面積等概念，學生如何運用已經學會的面積知識來理解？使用圖紙計算和通過實際測量計算哪種方法好？實際測量的面積和房產證上的面積有哪些區別？在研究中，學生經歷了收集數據、作出假設、建立模型、實踐檢驗、作出決策等過程。

像這樣的主題研究活動，我們已經形成了系列。例如：六年級“膠帶紙有多長”、四年級“媽媽有多少根頭發”、五年級“樹葉的面積有多大”等，帶領他們走向更廣闊的數學世界，感悟數學思維精髓與數學素養的魅力。

（2）選擇經典的數學問題進行主題研究。

我們對小學生能懂的經典的數學猜想和數學名題，如“冰雹猜想”“四色問題”“孿生素數猜想”“李白喝酒”“省刻度尺”等進行主題拓展研究。給學生種下一顆數學研究的種子，讓他們能夠有機會盡早接觸經典問題，經歷和數學家一樣的研究歷程，并在解決問題的過程中，積累活動經驗，感悟數學思想，沉淀數學素養。

“主題拓展教學”的探索，打破了傳統的以“課”為組織、以知識“點”為單位的固化教學框架，明顯跳出以單純課堂教學組織方式改良的范疇，拓展了數學學習的渠道，豐富了數學學習的方式，為小學數學課程的實施提供了新的視角，也積累了實踐經驗。