同弧定圓法在動態平衡問題中的應用及探討

姚永霞

（寧夏銀川一中 寧夏 750001）

“動態平衡”是指平衡問題中的一部分力是變力，力的大小和方向均可能發生變化，是一種動態力，所以叫動態平衡。這是高中力學平衡中的一類難題，也是高考的熱點問題。動態平衡往往是三個力的平衡，有以下幾種情況①一個力的大小方向均不變，另一個力的方向不變，剩下一個力的大小方向都變，這種情況適用于圖解法；②一個力的大小方向都不變，剩下的兩個力的大小和方向都改變，并且這兩個力之間的夾角也是變化的，通常題目中會出現沿著繩方向的拉力、沿圓形物體半徑方向的彈力等，因此我們可以找到與力的矢量三角形相似的幾何三角形，適用于相似三角形的解法；③一個力的大小方向都不變，剩下的兩個力的大小和方向都發生改變，但是這兩個力之間的夾角是不變的，這種適用于同弧定圓法（輔助圓法）。

同弧定圓法（輔助圓法）：如圖1所示，同一個圓中同一段弧所對應的的圓周角相等；同一條弦對應兩段弧，一段優弧，一段劣弧，優弧對應的圓周角為α，α>90°，劣弧對應的圓周角為β，β＜90°，同一條弦同側的圓周角對應于同一段弧，因此同一條弦同側的圓周角相等。這個定理就是我們同弧定圓法的理論基礎。我們可以畫一個定圓，將不變的力作為一條定弦，剩余兩個力在這條弦的一側變化，這兩個力夾角的補交就是定弦的圓周角，圓周角不變就能保證這兩個力的夾角不變。

本文通過近幾年高考題和相關模擬試題研究其中同弧定圓法的應用及解法探討。

【例題1】如圖2所示，兩根細繩拉住一小球，開始時AC水平，現保持兩細線間的夾角不變，將整個裝置順時針緩慢轉過90°，則在轉動過程中，AC繩的張力F1和BC繩的張力F2大小變化情況是（ ）

A.F2先變大后變小，F1一直變小

B.F1先變大后變小，F2一直變小

C.F1先變小后變大，F2一直變小

D.F2先變小后變大，F1一直變大

解析：首先對M點重物進行初始狀態的受力分析得到圖3。后期緩慢轉動的過程每一個狀態

都是平衡態，三力可以構成閉合的力的矢量三角形，如圖4。觀察受力，重力不變，其余兩力夾角α不變且α>90°，兩力夾角的補角β＜90°，因此我們將力的矢量三角形放進圓里的時以不變的力——重力為固定的弦，圓周角為兩力夾角的補角β，β＜90°，即劣弧對應的圓周角，按照圖4的矢量三角形，定弦G就應該放在直徑的右側。將力的矢量三角形平移進去，畫出圖5。按照題目要求使整個裝置順時針轉動90°，分析F1和 F2方向的變化，畫出繩可能處于中間過程對應的力的矢量三角形，得到圖6，通過分析表示各力的線段長度的變化，得出各力的大小變化。F1先增大（直徑時最大）后減小，F2一直減小，正確答案選B。

【例題2】半圓柱體P放在粗糙的水平面上，有一個擋板MN，延長線總是過半圓柱體的軸心O，但擋板與半圓柱不接觸，在P和MN之間放一個光滑均勻的小圓柱體Q，整個裝置處于靜止狀態，如圖是這個裝置的截面圖，現用外力使MN繞O點緩慢地順時針轉動，在MN到達水平位置前，發現P始終保持靜止，在此過程中，下列說法中正確的是( )

A.MN對Q的彈力逐漸增大 B.MN對Q的彈力先增大后減小

C.P、Q間的彈力先減小后增大 D.Q所受的合力逐漸增大

解析：我們對初始狀態的Q物體進行受力分析，得到圖8，在MN順時針緩慢移動的過程中，重力保持不變，MN對Q 的彈力F1和P對Q的彈力F2的大小方向都發生變化，但是這兩個力的夾角保持不變α，分析角α的大小，F1垂直于MN，F2過小球Q的圓心，所以F1，F2的夾角小于90°，則兩力夾角的補角β＞90°。我們將受力分析中的各力移動形成力的矢量三角形，得到圖9，將力的矢量三角形移進圓，以重力為固定的弦，β＞90°，按照圖9的矢量三角形，定弦對應優弧應當在直徑的右側，如圖10，MN順時針移動，畫出各個中間狀態的力的矢量三角形如圖11，觀察可得MN對Q 的彈力F1一直增大，P對Q的彈力F2一直減小，因此A正確，B，C錯誤。Q所受合力一直為零，不變，故D錯誤。

總結：通過以上兩個例題，我們得到通過同弧定圓法解決動態平衡問題中一個力不變，另外兩個力夾角不變的這類題，可以有一下步驟①確定研究對象，對其進行初態的受力分析②構成力的矢量三角形圖③將力的矢量三角形圖畫進定圓中（兩力夾角大于90°則不變力作為定弦對應優弧；兩力夾角小于90°則不變力作為定弦對應劣弧，兩力夾角等于90°則不變力作為定弦為直徑）④畫出中間動態過程可能的力的矢量三角形在教學過程中，通過以上三個例題引導學生了解、掌握同弧定圓法，并嘗試用該方法解決一些該類型的題目，達到強化的作用。在解題的過程中體現了應用數學工具解決物理問題的思想，拓寬學生的思維。