利用微分方程建立汽車尾氣凈化器過(guò)濾過(guò)程的數(shù)學(xué)模型

申淑逸

（曲阜師范大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 山東日照 276826）

一、模型分析

設(shè)排氣管和凈化器的長(zhǎng)度分別為l1和l2，排氣設(shè)備總長(zhǎng)度為l1+l2，有害氣體M均勻分布在排氣管之中，密度w0=M/l1，直接進(jìn)入空氣和沿凈化器穿行的數(shù)量比例為α0:α，α0+α。排氣管中還未通過(guò)凈化器的尾氣對(duì)有害氣體和吸收率和尾氣凈化器對(duì)隨尾氣穿行的有害氣體的吸收率分別是b和β，尾氣沿著排氣設(shè)備穿行的速度為v，燃料燃燒速度為u，并假設(shè)v＞＞v。令進(jìn)入大氣中的有害氣體的量為Q，在為Q建立模型得到數(shù)量表達(dá)式之前，先分析如何降低Q。

很顯然，提高尾氣凈化器對(duì)有害氣體的吸收率β、增長(zhǎng)尾氣凈化器的長(zhǎng)度l2可以降低Q，其次當(dāng)有害氣體沿凈化器穿行的速度v和比例α減少時(shí)，Q也會(huì)降低，下面通過(guò)微分方程建立數(shù)學(xué)模型對(duì)以上分析做出定量解答和驗(yàn)證。

二、模型建立

以排氣管中有害氣體最先經(jīng)過(guò)的一端為坐標(biāo)原點(diǎn)，將排氣設(shè)備視作線段作為x軸的正半軸建立坐標(biāo)系。設(shè)t=0時(shí)在x=0處燃料燃燒，Q由穿過(guò)凈化器的流量確定，流量又與有害氣體在排期設(shè)備中的流量有關(guān)。定義兩個(gè)基本函數(shù)：有害氣體流量q(x,t)，表示單位時(shí)間t內(nèi)通過(guò)設(shè)備截面x處的有害氣體量；有害氣體密度w(x,t)，表示時(shí)刻t截面x處有害氣體含量。易知w(x,0)=w0，已知流量函數(shù)q(x,t)，則進(jìn)入大氣的有害氣體量Q就是x=l處的流量在尾氣穿過(guò)時(shí)間內(nèi)的總和：

首先求t=0時(shí)刻由尾氣攜帶的有害氣體單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)x處的數(shù)量q(x,0)，計(jì)算(x,x+Δx)一段設(shè)備，令Δτ為尾氣穿過(guò)Δ需要的時(shí)間，有害氣體通過(guò)x和x+Δx處的流量分別為q(x,0)和q(x+Δx,0)，兩流量之差就等于這一段未設(shè)備對(duì)有害氣體的吸收量：

令Δτ →0，得微分方程：

設(shè)在x=0處點(diǎn)燃的燃料單位時(shí)間內(nèi)放出的有害氣體的量為H0，初始條件為：

q(0)=aH0,H0=uw0 ③

求解結(jié)果為：

在t時(shí)刻燃料燃燒至x=ut處，設(shè)此時(shí)燃料放出的有害氣體量為H(t)，則

H(t)=uw(ut,t) ⑤

根據(jù)已有分析，將坐標(biāo)原點(diǎn)平移至x=ut處可得：

由④和⑤可得出：

由于還未通過(guò)凈化裝置的尾氣也不斷吸收有害氣體，所以有害氣體密度w(x,t)由初值w0不斷增加，增量為w(x,t+Δt)-w(x,t)，根據(jù)守恒定律它的數(shù)值等于單位長(zhǎng)度尾氣中有害氣體被吸收的部分，即：

如果令Δt→0，并將④和⑤代入，得：

解為：

將⑨代入⑦得：

最后將⑩代入①做積分，得：

三、結(jié)果分析