觸類旁通 融會貫通
——以《省刻度尺》教學為例

○蔣守成

數學主題拓展教學有三個基本要素：主題、拓展、思維。主題是思維的起跑線，拓展是思維的發動機，目標是促進學生形成結構化的思維方式。在這樣的教學范式下，學生的思維方式有了很大的變化，特別是在結構化的思維方式上有了很大的提升，能夠將從一課習得的思想方法運用到相類似或者緊密聯系的某一類數學問題中，學會舉一反三、觸類旁通，從而達到融會貫通。

課前思考

選擇以《省刻度尺》為主題進行拓展教學，主要是基于以下四個方面的思考：一是省刻度尺問題既是“以少表示多”的典型問題，也是華羅庚統籌優化思想的具體表現；二是省刻度尺的研究適合學生去自我探究和發現，可以為學生的后續學習服務，為解讀生活中的優化現象提供經驗；三是省刻度尺的教學是對人教版教材四年級上冊數學廣角“統籌、優化”學習內容的拓展；四是通過省刻度尺的學習，學生對生活中相關聯的一類問題形成結構化的思考。

教學過程

一、聚焦主題，經歷過程，發展思維

（一）經歷數學家一樣的探究過程，明晰什么是省刻度尺。

1.共同探究省一個刻度的情況。

師：今天的數學研究從一把5厘米長的直尺開始。

0 1 cm 2 3 4 5提問：用這把直尺量出3厘米，可以怎么量？生：從0量到3就可以量出3厘米。提問：刻度3被老師省掉了（如下圖），你還能用這把直尺一下子量出3厘米嗎？說說你是怎么想的。0 1 cm 2 4 5

生1：先從刻度0量到刻度2，量出2厘米，然后再量出1厘米。

生（評價）：這樣量不符合用這把直尺一下子量出3厘米的要求。

生2：我們可以從刻度1量到刻度4，因為1到4之間是3厘米。

生3：我們也可以從刻度2量到刻度5，因為2到5之間也是3厘米。

師：雖然沒有刻度3，但我們改變了測量方法，由一直從刻度0開始量改成從刻度1或2開始量，打破了固有的習慣。同學們，我們有的時候解決問題也要打破常規，換一個角度思考就會找到解決問題的新路徑。現在我們將測量3厘米的方法記錄下來：3（1～4）（2～5）。請同學們將其他刻度也用這種方式表示出來。

2．自主探究省兩個刻度和省三個刻度的情況。

師：省掉一個刻度，我們照樣能一次量出所有刻度對應的長度。如果這把5厘米的尺子省掉兩個刻度或三個刻度，你覺得還能不能一次量出所有刻度對應的長度呢？我們一起來研究：

（1）問題：下面這兩把直尺一次能量出哪些長度？先想一想，然后把你能量出的所有長度清楚地記錄在作業紙上。

（2）比較：我們分別研究了5厘米的刻度尺省掉一個刻度、省掉兩個刻度都能夠一次量出所有刻度對應的長度，而省掉三個刻度就不能全部量出來。你覺得哪把直尺上的刻度省得恰到好處？說說你的想法。

（3）分享：省一個刻度雖然可以一次量出1到5厘米之間任意一個整厘米的長度，但是用到的刻度還是多了一個，不是最省刻度的；省三個刻度，1到5厘米之間有些整厘米的長度無法一次量出來，顯然是刻度省得太多了；省兩個刻度不僅能夠一次度量出1到5厘米之間任意一個整厘米的長度，而且用到的刻度也是最省的，所以這把直尺上的刻度省得恰到好處，是最神奇的。

3.明晰什么是省刻度尺。

（1）命名：如果給這把最省刻度的直尺起個名字，你會把它叫什么呢？

生1：神奇的尺子。

生2：奇妙尺。

生3：少刻度的尺。

（2）由來：其實早在100多年前英國數學游戲大師杜登尼就發現了這種特殊的刻度尺，并命名為“省刻度尺”，我們一起來看一段微視頻。

一根23厘米長的尺子，通過最省、最優的辦法只需六個刻度（頭尾不用刻），就能夠度量出1到23之間任何整厘米長的物品。如果減少一個刻度就不能量出所有整厘米的長度，如果增加一個刻度就不是最省，我們把這種尺稱為“省刻度尺”。

（3）標準：什么樣的刻度尺才是省刻度尺？標準是什么？

學生通過討論得到：不僅能一次量出所有長度中的任意一個，而且刻度最省。

（4）判斷：下面的刻度尺是不是省刻度尺？

下面是一把7厘米長的直尺，0和7之間只有兩個刻度，它是不是一把省刻度尺呢？先把能量出的長度有序地記錄在作業紙上，然后再想一想它是不是省刻度尺。

生：不能量出3厘米，所以不是省刻度尺。

師：根據老師的研究，0和7之間至少要有三個刻度才能成為省刻度尺，那么再添一個刻度使它成為一把省刻度尺，請你添一個并把記錄補充完整。

生：添3，就可量出3厘米，（0，2，3，6，7）。

生：添4，4到7是3，（0，2，4，6，7）。

生：添5，2到5是3，（0，2，5，6，7）。

師：同樣是缺3厘米，添的數不同，得到的省刻度尺也不同。看來解決這個問題的答案不止一種，我們不能把“之一”當“唯一”。其實，這把直尺添上三個刻度成為一把省刻度尺還有更多的方法：除了從1開始想，（0，1，2，5，7）、（0，1，3，5，7）、（0，1，4，5，7）；還可以從2開始想，（0，2，3，6，7）、（0，2，4，6，7）、（0，2，5，6，7）；也可以從3、4開始想，（0，3，5，6，7）、（0，4，5，6，7）……這樣有序的思考可以幫助我們找到更多解決問題的辦法。帶著這樣的思考我們一起來創造一把省刻度尺。

（二）引導學生嘗試創造一把省刻度尺。

問題：這是一把6厘米長的刻度尺，請你添上最少的刻度，設計成一把省刻度尺。

學生嘗試添一添，教師巡視，展示、評價學生的作業，最后同時呈現多種不同的添加刻度的方法。

展示：學生展示自己創造的省刻度尺——（0，1，4，6），（0，2，5，6）。

提問：仔細觀察同學添加的這些刻度，你覺得我們在添加這些刻度時有什么方法可循嗎？

分享總結：不管添加哪兩個數，四個數中至少要有兩個數是相鄰的，然后我們可以再進行比較和調整，達到最省的標準。

讓學生自己設計一把省刻度尺，在設計的過程中體驗省的方法和策略，為進一步研究省刻度尺是否存在一般規律的問題提供經驗。

二、觸類旁通，全面體悟省的學問和省的智慧

問題一：量角器上的省刻度。

師：直尺上的刻度省了照樣可以量出所有的刻度，那量角器上的刻度可不可以省呢？（出示：一個不完整的量角器）利用這個量角器可以一次量出哪些度數的角？同學們先獨立思考，然后同桌交流，形成共識后向全班展示。

追問：除了可以量出以上這些度數外，還可以量出哪些度數？

學生討論得出:還可以從右邊180度考慮，例如量出170°（10°～180°），150°（30°～180°）……

問題二：人民幣中的省面額。

師：我們在研究直尺、量角器的過程中發現，雖然刻度省了，但照樣能量出更多的長度或角度。省不僅是一種學問，省也是一種智慧。除了省刻度，我們經常用的人民幣中也用到了省的智慧。

同學們，你知道嗎？為什么常見的小額面值的人民幣只有1元、2元、5元和10元，而沒有3元、6元等其他面值呢？

生1：用1元、2元、5元進行加減運算就可以得到另外一些數，如1+2=3，2+2=4，1+5=6，2+5=7，10-2=8，10-1=9等。

生2：現在2元的人民幣都省掉了，只是運算次數多了而已。

微視頻介紹：為什么常見的小額面值的人民幣只有1元、2元、5元和10元這四種？

抓住“省刻度尺”的本質，同時結合生活實際進行拓展，延伸到同類問題，進行觸類旁通的學習，讓學生進一步體會到省的智慧、省的學問。

課后思考

這節課是以省刻度為主題，培養了學生獨立思考和自由探索的數學品質。學生感受到了以少表示多的神奇之處，習得了省的學問，同時拓展了對統籌和優化思想的認識，為后續學習優選法和統籌法中最優化等問題打下基礎。例如，學生學完省刻度就能理解和解釋其他相鄰的兩個面積單位的進率都是100、而公頃和平方米的進率卻是10000的道理，原來中間省了一個面積單位公畝。關于人民幣的面值，學生還會思考：中國古代貨幣的面值是怎樣設計的？外國貨幣的面值是怎樣設計的？未來的貨幣又會是什么樣呢？