三種求根方法的比較

溫智琦

摘要：實踐中，求解方程得出的近似解必須有著必要的精度，也就是說求解方法必須使得近似解可以精確到小數點后任意位。求解方程近似解時，運用二分法、牛頓迭代法和不動點法，實際上是使用了算法的思想，可以解決一些一元多次方程和無理數方程、超越方程等問題。

關鍵詞：二分法 ? 牛頓法 ? 不動點法 ? 迅速求根 ? 收斂

函數是因變量關于自變量的對應關系，方程是函數的基礎上，求解特定自變量的等式。

對于一些簡單的方程，我們可以用公式法求得精確解[1]。但對于高次方程、超越不等式、隱函數方程等很難在理論上求出精確的解。在實踐中的目的是尋求方程的近似解。那么，求解方程近似解的方法便成為了必須要解決的問題。而且，求解得出的近似解必須有著必要的精度，也就是說求解方法必須使得近似解可以精確到小數點后任意位。

求解方程近似解時，運用二分法、牛頓迭代法和不動點法，實際上是使用了算法的思想，可以解決一些一元多次方程和無理數方程、超越方程等問題。

一、二分法

（一）二分法的概念

首先，引入零點存在定理：在區間上連續并且端點值異號的函數在這個區間上一定存在零點[2]。

根據零點存在定理可以得出求解方程近似解的二分法——即一分為二的方法。

若函數y=f（x）在區間[α，b]上連續，并且f（α）*f（b）<0，可以通過把函數f（x）的零點所在的較小的區間分成兩部分，然后選擇根所在的那個區間，繼續二分該區間，逐步迭代，使區間越來越小。當區間的兩個端點的精確度足夠時，任一端點均可作為近似解。這就是二分法的精髓。

（二）二分法舉例

以方程 x4+x3+2x2-3=0為例。

（1）嘗試選取x1=1，x2=-1。將x1=1 與x2=-1代入函數f（x）=x4+x3+2x2-3，即可得f（1）=1，f（-1）=-1;

（2）f（x1）與f（x2）異號，所以直接進入下一步。否則重復第一步，直到找出f（x1）與f（x2）異號的結果;

（3）將x1與x2兩者的平均數x3代入函數f（x），也就是將x3=0可得f（x3）=-3<0;

（4）f（x3）=-3<0，令x1=x1，x2=x3;否則令x1=x3，x2=x2，然后回到步驟（1），循環這個步驟[3]。

我們將迭代使用的近似根列在下表中：

這樣，十步迭代之后，我們可以得出該方程的一個近似根在（0.898425，0.90028125）之間。

二、牛頓法

（一）牛頓法概念

牛頓法又稱為牛頓迭代法、牛頓-拉弗森方法[4]。牛頓法是把非線性方程在局部小區間線性化的近似方法。把f（x）在點x0的某鄰域內展開：

取其線性部分（即泰勒展開的前兩項），并令其等于0，即

，以此作為非線性方程f（x）=0的近似方程，若 ? ? ? ? ? ? ? ，則其解為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，同理可得：

（二）牛頓法舉例

仍以方程x4+x3+2x2-3=0為例。

（1）嘗試選取x1=1。將x1=1代入函數f（x）=x4+x3+2x2-3 ，即可得f（1）=1;

（2）求 ? ? ;

（3）即 ? ?;

（4）令x1=x2，回到步驟（1），循環這個步驟。

我們將迭代使用的近似根列在下表中：

這樣，經過三步迭代之后，我們已經得到該方程的一個近似根在0.89943附近。

（三）牛頓法局限性

舉一個例子： ? ? ? ? ? ?。

首先，嘗試選取x1=1;則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。則x2

。然后，繼續令x1=-2;則

我們發現，首先選取的根為1，第二步迭代后為-2，但是第三步迭代后的根為4.0028，這在（-2，1）的范圍外。顯然可知，

的根為，在（-2，1）的區間之內。所以，牛頓法具有局限性，對于某些方程，可能無法快速算出有效的結果。

三、不動點法

（一）不動點法概念

不動點原理是泛函分析中最重要的一個原理之一，它依據于著名的巴拿赫壓縮映射[5]。

由方程f（x）=0構造方程g（x）=x。其中g（x）是連續函數。若x=x*是方程f（x）=0的根，則其肯定也滿足g（x*）=x*，x*是函數g（x）的不動點（之一）。

構造迭代公式

這就是不動點迭代法，若該式滿足 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，則x*是函數g（x）的一個不動點，即方程f（x）=0的一個根。

（二）不動點法舉例

仍以方程 x4+x3+2x2-3=0為例。構造函數 ? ? ? ? ? ? ? ? ?。然后，

（1）嘗試選取x1=1，則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?;

（2）令x1=x2，回到步驟（1），循環這個步驟。

我們將迭代使用的近似根列在下表中：

這樣，經過三步迭代之后，我們得到該方程的一個近似根在0.89附近。并且10次之迭代后，我們可以確定該方程的一個根的前四位有效數字為0.8994。

（三）不動點法局限性

仍以方程x4+x3+2x2-3=0為例。若構造函數 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

然后以同樣的思路，我們發現經過幾次迭代后并不收斂。所以不動點法求根，具有一定的局限性。

四、結語

三種方法都是求解近似根的方法。首先都需要確定一個初始迭代值，然后逐步迭代，逼近方程的理論上的實數根。并且都只是求解出一個或者幾個近似根，并不能在理論上保證求出所有的根。

二分法易于理解，并且使用范圍廣。只要在連續函數區間[a，b]上由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，就能夠通過二分法求得該方程的一個解。但是，其收斂很慢，需要迭代步數多。最終確定的是根的所在小區間，而且無法判斷所求根更靠近區間的哪一端。

牛頓法也易于理解。相較于二分法，它的收斂很快，但是適用范圍小，對有的方程迭代后并不收斂，需要重新選取初始迭代值，或者選用別的方法。所以牛頓法具有一定的局限性。

不動點法原理不是很易于理解。相較于二分法，它可以較快地收斂。相較于牛頓法，它的步驟簡單。但是，不動點法使用范圍小，對于一些方程迭代后并不收斂。所以不動點法也有一定的局限性。

所以，在求解實際問題中，選取何種方法，要由方程本身的性質決定，也要考慮收斂速度的因素。盡量選取既適用，又可以迅速得出近似根的方法。

參考文獻：

[1]陸桂菊.求方程的近似解與近年高考題[J].數學通報，2013，（02）：47-50+53.

[2]王涵，匡佳佳，許國會.“用二分法求方程的近似解”一課教學設計[J].高中數學教與學，2018，（10）：16-18.

[3]盧欽和.方程近似解、二分法及其它（續）[J].中學數學月刊，2005，（10）：1-3.

[4]張曉勇，王仲君.二分法和牛頓迭代法求解非線性方程的比較及應用[J].教育教學論壇，2013，（25）：139.

[5]張麗婭.不動點原理在分析中的應用[J].甘肅聯合大學學報（自然科學版），2007，（04）：25-26+35.

（作者單位：河北石家莊精英中學）