從穩定平衡系統的能量最小原則推導幾例物理實驗定律

馬文東

(江蘇省淮北中學 江蘇宿遷 223900)

物理實驗定律一般都是根據大量的實驗數據總結歸納而來的。然而，根據相關理論，我們也可以推導出部分的物理實驗定律。根據哈密頓原理，保守的、完整的力學體系在相同時間內，由某一位形轉移到另一已知位形的一切可能運動中，真實運動的主函數具有穩定值[1]。也就是說，物體真實的運動應是使作用穩定的運動。對于只有一個自由度的保守系統，作為運動最終結果的平衡態，如果系統是處于穩定平衡狀態，則系統各部分能量占比以總能量最小為原則[2-3].本文從穩定平衡系統的能量最小原則推導了幾例物理實驗定律。

一、推導杠桿平衡方程

如圖1所示，輕質杠桿在重力m1g和m2g的作用下，在圖示位置平衡(靜止)。由于系統自由度為1[4]，取θ為自變量，則系統總能量(重力勢能)為

取總能量的一階導數E'=0，易知

式(2)就是我們熟知的杠桿平衡方程。

圖1

二、推導并聯電路電流分配規則

在并聯電路中，電流在各支路中的流動也是一種穩定的平衡狀態。如圖2所示，對于純電阻電路，電流I是如何分配給電阻R1和R2的呢？

圖2

我們看電路的總熱功率(能量從有序到無序功率)

由熱功率一階導數為零(即熱功率取得極值)，可解得

問題討論：單獨測量任一支路電流I1，另一支路電流I2不受影響，無論相距多遠，表現為低維度不相關性。但從干路測量電流，我們就會發現，電流的分配是和電阻成反比的，支路電流I1和I2的表現具有相關性，完全由相關電阻的大小決定，表現為高一維度的相關性。

電流是如何瞬間知道電阻大小，并完成按比例分配的？由于干路電流是由兩支路電流相加的，如果把電流大小看作相關信息，則知干路信息是由支路信息耦合的。低維度的支路信息是否只是在更高的一個維度上才表現為相關性呢？

三、推導胡克定律

如圖3所示，原長為l0的彈簧，當其在物重mg的作用下，自由伸長，以重物開始時的高度為0勢能面，則當系統靜止時，系統總能量可表示為

(6)式就是胡克定律的表達式。

圖3

四、從穩定平衡態能量最小原則推導阿基米德浮力定律

如圖4甲所示，一個邊長為a，密度為ρ1的正方形物體在密度為ρ2的液體上方。已知容器底面積為s，液體高為h，設物體在液體中靜止時如圖4乙所示，此時物體在液體中的深度為y，液面高為x，易知xs=sh+a2y，所以有

圖4

取容器底為0勢能面，則

得到物體靜止時系統的總勢能為

把(7)(8)(9)式代入(10)式，并對y求導后，令E'=0

根據阿基米德浮力定律[6]寫出的表達式為

容易看出(11)式和(12)式是一致的。

由以上諸例可以看出，對于穩定平衡系統而言，其平衡態下的總能量遵從最小原則，推導出的物理實驗定律和我們熟知的物理實驗數據相吻合。