車輪踏面磨耗及軌道不平順聯合作用下的車輛-軌道系統隨機分析模型

徐 磊，翟婉明

(1.中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075；2.西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，四川 成都 610031)

隨著機車車輛的不斷運行，車輪踏面及輪緣均會受到一定的磨損，從而影響輪軌間的動力匹配特性，惡化機車車輛的運行安全性、舒適性及平穩性。關于車輪磨耗的研究，已引起國內外科技工作者的極大關注，在踏面磨耗預測模型與統計分析[1-9]、車輪型面幾何設計[10-11]、車輪磨耗與列車動力相互作用關系[12-15]等方面成果顯著。

然而，考慮車輪磨耗的概率特征，并與軌道隨機不平順聯合分析的車輛-軌道系統隨機動力分析還較少。與軌道隨機不平順類似，車輪磨耗的形成與發展亦是眾多隨機因素(如輪軌隨機動荷載、初始車輪不圓順、材料疲勞傷損等)共同作用的結果。在不同的單位運營里程下，車輪磨損量具有非確定性；與此同時，在輪軌相互作用過程中，軌道不平順客觀存在且隨機變化。由于輪軌相互作用是車輛-軌道系統動力模型的核心，故而在研究車輪磨耗時，應該同時考慮軌道不平順的影響，以精確計算輪-軌不平順聯合作用時的車輛-軌道耦合動力性能。

本文依據車輪踏面磨耗速率、高斯分布假設及軌道不平順概率模型，進行車輪踏面磨耗和軌道不平順的隨機模擬；采用數論法(Numerical Theory Method，NTM)實現車輪踏面磨耗和軌道隨機不平順代表性樣本的高效選?。蛔詈螅o出了車輪踏面磨耗-軌道隨機不平順聯合作用下的車輛-軌道系統隨機動力分析、可靠度計算方法及典型計算結果。

1 車輪踏面磨耗及軌道不平順隨機模擬

1.1 車輪踏面磨耗模擬

車輪踏面的變化與其磨耗量直接相關，一旦了解踏面的磨耗演變規律，便掌握了車輪踏面的時變演化行為。由于不平順激擾、輪軌接觸應力等因素具有隨機性，車輪型面在本質上是亦是隨機變化的[8]。不失一般性，可將其表達為

?(y,s)=?0(y)+ζ(y,s)

(1)

式中：y為不同的踏面磨耗點；s為運行里程；?為車輪型面不同踏面磨耗點的滾動半徑，由y和s確定；?0(y)為車輪踏面的初始型面；ζ為踏面磨耗量，由于踏面不同位置的接觸應力分布及累計磨損量均存在一定的差別，故而它也是y和s的函數。

(2)

一般而言，車輪磨耗深度可用磨耗速率表達為

(3)

由式(2)、式(3)可知，在單位時間內車輪踏面圓周磨耗量服從對數正態分布?；诖?，本文做如下假設：

(2)同一車輪的兩側輪對磨耗呈對稱分布，且同一車輛的四組車輪磨耗一致；

(3)僅考慮車輪圓周磨耗，無車輪不圓順。

根據上述假定，只需確定踏面圓周磨耗的均值及標準差即可確定車輪踏面磨耗曲線。根據概率學基本原理，若G(x)是某隨機變量的分布函數，且嚴格單調遞增，則G(x)服從均勻分布，即：若U～U(0,1)，則G-1(U)具有分布函數G(x)，G-1(x)是G(x)的反函數。故而，可以通過生成均勻分布隨機數，采用概率算法可快速模擬出單位里程內不同踏面點的隨機磨耗量，再結合式(1)實現車輪踏面的隨機模擬。

取對數均值μ=ln2.5 mm，對數標準差σ=0.2，車輪踏面磨耗的概率密度函數(Probability Density Function，PDF)及相應的車輪踏面磨耗曲面見圖1。

圖1 車輪踏面磨耗示例

由圖1可知，車輪踏面磨耗的分布規律基本與假設相一致，踏面圓周位置磨耗較深，向兩側逐漸減小。

需要指出的是，車輪踏面磨耗下的車輛-軌道系統隨機動力問題正是源于單位里程內磨耗量(亦或磨耗速率)的隨機性。

1.2 軌道隨機不平順模擬

軌道不平順是車輛-軌道系統最為常見的激擾源，可視為弱平穩隨機過程[16]。在鋼軌軋制及軌道鋪設過程中，軌道不平順已呈現初始隨機形態。隨著線路的不斷運營，不同的軌道不平順里程點將處在時間域隨機演化，而這些隨機不平順點的組合又將進一步形成不平順空間序列的隨機性，故而軌道不平順是較為典型的時-空隨機場量。

可將軌道不平順隨機向量表達為

(4)

對于一條特定的干線鐵路，通過軌檢車定期檢測軌道隨機不平順的累積數據是十分巨大的。換言之，車輪踏面磨耗將與豐富的、幅-頻特性各異的軌道不平順形成隨機接觸，從而產生輪軌隨機相互作用力及車輛-軌道系統隨機行為。

分析車輪踏面磨耗-軌道不平順聯合動力作用，最為可靠的方法是將所有的車輪型面?(y,s)和軌道不平順序列U(u)輸入車輛-軌道動力分析模型[17]，再統計、分析數值計算結果。但是這種方法的工作量很大，因為U(u)中可能包含了數千乃至上萬公里的軌道隨機不平順信息。

基于此，文獻[18-20]提出并驗證了一種軌道不平順概率模型，可用小樣本的軌道不平順樣本代表原始的不平順實測大數據信息，并且保證車輛-軌道系統動力響應的統計特征在可靠精度范圍內，從而提高了隨機分析的效率，本文即采用這一方法。

2 車輛-軌道系統隨機分析方法

2.1 車輪磨耗-軌道不平順聯合激勵源的代表樣本選取

車輛-軌道系統的隨機性主要來自于車輪型面和軌道不平順的隨機性，此車輛-軌道系統的隨機域R可用5個隨機變量表達為

(5)

針對蒙特卡洛(MC)法隨機收斂、效率低的問題，文獻[21]基于華羅庚和王元分圓域思想，提出一種隨機變量空間選點的數論方法(Number Theory Method,NTM)。將不同類型的軌道不平順和車輪磨耗視為相互獨立的隨機過程，通過構造積分域中單位超立方體內的均勻散布點集，給出如下點列

(6)

式中：k=1,2,…,s，表示隨機變量，s=5；j=1,2,…,n，n為一正整數。n和hj構成整數矢量(n,h1,h2,…,hs)，具體推導見文獻[21-22]。

由于基本隨機變量的聯合概率密度函數一般是(或近似)球對稱的，故而可以對單位超立方體內的隨機點進行篩選，條件式為

(7)

2.2 可靠度計算方法

由于車輛-軌道系統是大自由度的非線性復雜系統，一般難以建立動力可靠度與系統隨機變量間的數學函數關系，只能采用數值方法考察動力指標與隨機變量間的關系，若采用響應面法，則需迭代計算，分析效率較低。

基于概率密度演化的隨機結構可靠度分析方法[23]，可計算車輛-軌道系統的動力可靠度。車輛-軌道耦合系統的振動方程可寫為

(8)

令Xl(t)為X的第l個分量，則根據概率守恒原理，(Xl(t),ΩT)T的概率密度函數pXlΩ(x,Ω,t)滿足一階偏微分方程[23-24]

(9)

式中：hl(Ω,t)為給定Xl時系統的速度反應。

式(9)的初始條件一般為

pXlΩ(x,Ω,t)|t=0=δ(x-xl,0)pΩ(Ω)

(10)

聯合求解式(9)、式(10)，積分可得Xl(t)的概率密度函數

(11)

式中：ΠΩ為Ω相應的積分區域。

顯然，若給定動力反應的上、下限值xu和xd，則動力反應Xl(t)的可靠度為

(12)

3 數值分析

3.1 計算條件

采用CRH3型動力車，CRTSⅡ型直線板式軌道，行車速度為350 km/h，軌道不平順取中國某高速鐵路近6個月的實測數據，截止波長1～120 m。

以0.5 mm為間隔，令車輪踏面圓周磨耗均值分別為1～5 mm，以C1～C9表示；以C0表示僅軌道不平順參與系統激勵，而無車輪磨耗情況。

由于文中沒有考慮車輪不圓順(如車輪多邊形)和車輪偏磨，故而車輪磨耗對車輛-軌道系統的垂向動力響應影響較小，本文將重點考察代表性橫向動力指標在車輪踏面磨耗和隨機不平順影響下的響應特征。

3.2 結果分析

3.2.1 橫向動力響應分析

在確定性計算中，基于車輛-軌道耦合動力學模型[19]，可算出在軌道不平順和車輪踏面磨耗型面下的車輛、軌道系統動力響應時程。

C0、C3、C7計算工況下某軌道不平順-車輪踏面磨耗聯合樣本下的輪軌橫向力和鋼軌橫向位移響應時程見圖2。

圖2 典型動力時程比較

由圖2可知，相較于C0和C3工況，當車輪磨耗達到C7(圓周磨耗均值4 mm)時，輪軌橫向力和鋼軌橫向位移的動力時程發生顯著變化，如輪軌橫向力極值由C0條件下的5.52 kN、C3條件下的8.14 kN增至19.02 kN；鋼軌橫向位移與輪軌橫向力的分布基本一致。此外，在C7工況下的動力響應時程明顯異于C0和C3工況，呈現諧波形態。為了判斷是否出現了失穩狀態，采用文獻[17]給出的方法，僅在車輛運行前期設置一小段軌道不平順激擾(見圖3)，然后觀察車輛系統的動力響應隨時間是否衰減。失穩和穩定狀態下首位輪對橫向位移和輪軌橫向力的時程圖分別見圖4和圖5。

圖3 軌道不平順激勵

圖4 動力響應時程(失穩狀態)

圖5 動力響應時程(穩定狀態)

由圖4可知，當車輪踏面磨耗達到一定的程度時，可能形成較為不利的車輪幾何型面，此型面將使輪軌相互作用處于失穩狀態。與穩定的輪軌接觸狀態不同(見圖5)，失穩狀態下的車輛-軌道系統只需微弱的軌道不平順激擾，就可能產生持續的劇烈振動狀態?；谏鲜鲅芯?，作者進一步分析了不同車輪踏面磨耗下的系統動力響應特征，統計了失穩發生時的車輪踏面磨耗區域，見圖6。

圖6 車輪踏面磨耗失穩區域

由圖6可知，在車輪磨耗由淺到深的過程中，存在一個車輪踏面失穩臨界區域，車輛-軌道系統將對應出現由穩定到失穩再到穩定的過程。

3.2.2 概率密度演化及可靠度分析

顯然，上述分析是隨機振動計算時某一確定性工況下的計算分析，由車輪踏面磨耗的隨機性可知，Ci(i=1,2,…,9)僅代表磨耗均值，各踏面點的磨耗量還存在變異性，再考慮C0工況下軌道不平順的隨機性，可知將車輪磨耗與軌道不平順兩者做隨機激勵考慮時，車輛-軌道系統的動力響應無法用確定性分析(圖2)描述。概率密度函數(PDF)抓住了隨機動力響應幅值和概率兩方面的特性，是分析隨機振動統計信息的有力工具，也是動力可靠度計算的基礎。

采用本文方法，車輪踏面隨機磨耗-軌道隨機不平順聯合作用時，C0、C7工況下車體橫向加速度概率密度演化曲面見圖7。

圖7 車體橫向加速度概率密度演化曲面

由圖7可知，當考慮車輪踏面與軌道不平順遍歷聯合作用時，動力指標的響應并非單一的時間歷程曲線，而是具有幅值波動特性的概率密度演化過程。對比圖7(a)、圖7(b)可知，在C0工況下，車體橫向加速度的概率密度演化過程主要由軌道不平順控制，呈現明顯的蜿蜒軌跡，與對應的軌道不平順時程分布呈較強相關性；而當車輪出現較大的隨機磨耗時(如C7工況)，由于出現了車體失穩狀態，不僅車體橫向加速度的概率演化形態被顯著改變，而且振動響應幅值總體增大且出現一定的周期特征。

輪軌橫向力和鋼軌橫向加速度在3.5 s的概率密度分布見圖8。

圖8 動力指標在3.5 s的概率密度分布

由圖8可知，不同車輪磨耗深度對車輛-軌道系統的動力影響不同，一般而言，磨耗越深，影響越大。在僅考慮軌道不平順的隨機性(C0工況)時，動力指標(如輪軌橫向力、鋼軌橫向加速度等)呈現顯著的幅值離散性，故而在考慮車輪磨耗動力作用時，不可忽視隨機不平順的影響；當磨耗深度較小時，如C1、C3，輪軌橫向力和鋼軌橫向加速度動力幅值和概率分布將會發生一定的變化，但幅度較小，此時系統的動力響應來自于軌道隨機不平順的影響；而在磨耗深度較大時，如C7、C9，輪軌接觸幾何形態已發生顯著改變，甚至發生失穩，此時車輛-軌道系統的隨機動力響應將由車輪踏面磨耗和軌道不平順聯合控制。

此外，由式(12)，結合動力指標的概率密度演化分布(見圖7)，可以十分方便的得到車輛-軌道系統不同動力指標的時變可靠度。若以10 kN為輪軌橫向力的可靠度限界，不同磨耗深度下的2～3 s的時變可靠度見圖9。

圖9 輪軌橫向力的時變可靠度

由圖9可知，當車輪磨耗達到C5～C7深度，輪軌橫向相互作用的可靠度逐步降低，出現失效情況；在2.43 s時刻，可靠度最低僅51%，即輪軌橫向作用力的失效概率達到49%；而在其他時刻，失效概率亦基本達到10%～20%，為了提高車輛運行的動力可靠度，應嚴格控制車輪磨耗量。

4 結論

本文假定車輪踏面磨耗和軌道不平順均具有一定的概率分布特性，用數論法選取代表性的車輪踏面磨耗和軌道隨機不平順聯合樣本，用概率密度方法分析系統激勵樣本與隨機響應輸出間的概率傳遞問題，從而較為有效的建立了車輪踏面磨耗-軌道隨機不平順聯合作用下的車輛-軌道系統隨機動力分析模型。

從計算結果可知：

(1)考察車輪磨耗的動力影響時，建議考慮軌道隨機不平順的聯合作用。

(2)在車輪踏面磨耗過程中，存在一個失穩臨界區域。此臨界區域對保證行車安全、指導車輪璇修等工作具有指導意義。

(3)基于本文模型，可以進一步深入開展車輪磨耗下的車輛-軌道系統隨機分析及動力可靠度研究。建議進一步搜集、整理、歸納車輪磨耗數據，統計分析車輪磨耗的概率分布特征，以建立更為精細的車輪踏面磨耗概率反演模型。