基于動態(tài)面方法的高速列車蠕滑速度跟蹤控制

徐傳芳，陳希有，鄭 祥，王 英，李衛(wèi)東

(1.大連理工大學(xué) 電氣工程學(xué)院，遼寧 大連 116024；2.大連交通大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院，遼寧 大連 116028)

高速列車的安全運行需要可靠穩(wěn)定的牽引力和制動力，牽引力和制動力的形成主要依賴于輪軌間的黏著，而黏著關(guān)系是一個具有非線性、不確定性和時變性的復(fù)雜問題。黏著力的大小由輪軌間的黏著狀態(tài)決定，受到軌面條件、環(huán)境氣候和列車運行狀況等諸多因素的影響。列車跟蹤預(yù)期運行狀態(tài)時，若牽引力或制動力超過輪軌間最大黏著力，則牽引力或制動力與黏著力之間的平衡關(guān)系就會被打破，列車所具有的多余能量會使輪軌間出現(xiàn)相對滑動現(xiàn)象，即出現(xiàn)車輪空轉(zhuǎn)或打滑現(xiàn)象。采取合理有效的黏著防滑控制策略，可避免高速列車牽引和制動過程中的空轉(zhuǎn)和打滑現(xiàn)象，保障列車的行車安全。

鑒于黏著控制問題的重要性，諸多學(xué)者進行了一系列頗有成效的研究。針對黏著力最大控制問題，文獻[1]基于模糊邏輯參考蠕滑率生成算法，設(shè)計自適應(yīng)滑模制動控制策略，可獲得各種路況下的最大黏著力，改善車輛的制動性能；文獻[2]通過調(diào)整工作點接近車輪蠕滑速度與牽引電機轉(zhuǎn)矩電流之間特性曲線的峰值點，提出一種可以尋找輪軌間切向力峰值的防空轉(zhuǎn)控制方法；文獻[3]提出高速列車的魯棒自適應(yīng)再黏著控制策略，能自動調(diào)整控制轉(zhuǎn)矩，快速驅(qū)動列車遠離滑動區(qū)域，進入安全運行區(qū)域并盡量接近最優(yōu)黏著點；文獻[4]借鑒太陽能發(fā)電中的MPPT(Maximum Peak Power Tracking)方法，提出基于P&O(Perturbation and Observation)的新穎黏著控制算法，可得到電力機車加速模式下的最大黏著系數(shù)，獲得列車的最大加速度。

當(dāng)高速列車運行在風(fēng)霜雨雪等不利環(huán)境、快速加速或緊急制動情況時，黏著力最大控制問題的研究具有重要的意義。而通常在良好的運行環(huán)境下，并沒有必要獲取最大黏著力。在保證防止車輪滑動的前提下，提供滿足牽引力和制動力要求的黏著力也是一個應(yīng)該關(guān)注的重要問題。為能夠得到滿足牽引力和制動力要求的黏著力，很多學(xué)者提出了針對期望蠕滑率進行精確跟蹤的控制算法。文獻[5]采用魯棒自適應(yīng)容錯控制算法，通過調(diào)節(jié)實際蠕滑率跟蹤參考蠕滑率，實現(xiàn)了高速列車的黏著防滑控制。文獻[6]提出基于自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制的高速列車防滑制動控制方法，通過高精度的蠕滑率跟蹤控制，保證列車獲得大的黏著力及良好的制動性能。文獻[7]考慮防滑限制，設(shè)計基于障礙Lyapunov函數(shù)(BLF)的蠕滑率跟蹤控制方法，可在防止車輪滑動的同時，確保牽引與制動運行穩(wěn)定。然而，蠕滑率與列車狀態(tài)構(gòu)成的非線性函數(shù)存在固有奇點，從而可能導(dǎo)致控制算法中的盲點，影響控制效果，使得利用蠕滑率來表現(xiàn)蠕滑的方式在高速列車黏著控制算法設(shè)計中并非合適的選擇[8]。為此有些學(xué)者基于蠕滑速度跟蹤進行黏著防滑控制算法的設(shè)計。對基于蠕滑速度跟蹤，文獻[9]提出高速列車的自適應(yīng)主動黏著防滑控制算法，文獻[10]提出自適應(yīng)補償控制的黏著防滑控制算法。然而文獻[9]在高速列車動力學(xué)模型的建模過程中并未考慮牽引與制動轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生過程；文獻[10]考慮了轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生過程，但并未考慮系統(tǒng)在蠕滑速度跟蹤過程中的瞬時性能，雖然可以實現(xiàn)對期望值的精確跟蹤，但并不能確保跟蹤過程中不發(fā)生車輪滑動現(xiàn)象。

針對高速列車能在主動防滑條件下，獲得滿足牽引力和制動力要求的黏著力問題，本文建立了考慮牽引與制動轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生過程的高速列車動力學(xué)模型，并將黏著控制問題歸結(jié)為含輸出約束的非線性系統(tǒng)的控制問題，提出了高速列車蠕滑速度的動態(tài)面跟蹤控制算法，并進行了證明。本文在策略中采用了在高速列車黏著控制運用中尚不多見的動態(tài)面控制DSC(Dynamic Surface Control)，避免了常規(guī)反步控制中需要對虛擬控制量多次求取微分的困難[11]。未知參數(shù)通過自適應(yīng)更新律估算，未知時變的黏著力和運行阻力由力觀測器估計得到[12]，引入BLF實現(xiàn)對蠕滑速度的上界約束[13]。仿真結(jié)果證明，本文算法實現(xiàn)了蠕滑速度跟蹤控制誤差的半全局一致最終有界，可使黏著工作點始終保持在穩(wěn)定區(qū)域，防止由于控制過程中的瞬態(tài)響應(yīng)問題而出現(xiàn)的車輪空轉(zhuǎn)和打滑現(xiàn)象，實現(xiàn)全局主動黏著防滑控制。

1 高速列車動力學(xué)模型描述

1.1 考慮轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生過程的高速列車動力學(xué)模型描述

考慮高速列車車輛的1/4模型，并忽略牽引電機-輪對間的轉(zhuǎn)矩傳輸動態(tài)，車體及車輪的動態(tài)方程可以表示為

(1)

(2)

式中：M為對應(yīng)模型的列車質(zhì)量；v和ω分別為列車車速和車輪角速度；J和r分別為車輪的等效轉(zhuǎn)動慣量和半徑；B為車輪的黏滯摩擦系數(shù)；Tn為牽引電機輸出轉(zhuǎn)矩(列車牽引轉(zhuǎn)矩或制動轉(zhuǎn)矩)；Fa和Fr分別為列車的輪軌黏著力和運行阻力。

高速列車的運行阻力Fr包括列車運行過程中所受到的空氣阻力和軌道阻力，表示為

Fr=a0+a1v+a2v2+o(·)

(3)

式中：a0，a1，a2為正數(shù)，其數(shù)值由具體的運行環(huán)境決定；o(·)為由軌道引起的隨機不穩(wěn)定阻力干擾。

輪軌黏著力Fa是與列車輪軌接觸面實時狀況有關(guān)的復(fù)雜函數(shù)，其表達式為

Fa=μ(λ)Mg

(4)

式中：g為重力加速度；μ(λ)為黏著系數(shù)，是蠕滑率λ的非線性函數(shù)，國內(nèi)外應(yīng)用較為廣泛的是Burckhardt模型[14]，其表達式為

(5)

式中：b1，b2，b3為正數(shù)，不同的參數(shù)表示不同的輪軌黏著條件；蠕滑率λ∈[-1,1]，表示輪軌之間微量滑行的程度，其定義為

(6)

以往大部分文獻通常忽略轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生過程，認(rèn)為Tn即為系統(tǒng)的控制輸入。考慮牽引與制動轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生過程更符合實際情況。由于電機的電磁時間常數(shù)遠遠小于列車的機械時間常數(shù)，因此沒有必要考慮轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生的具體細節(jié)，其過程可以近似用一個簡單的線性方程來描述[10]，牽引與制動轉(zhuǎn)矩的動態(tài)響應(yīng)可以表示為

(7)

式中：Tz為期望的電機轉(zhuǎn)矩，為控制變量；α，β為已知或未知常數(shù)。

由式(1)、式(2)和式(7)可得

(8)

(9)

1.2 防滑約束問題描述

高速列車的黏著特性具有高度非線性，不確定性和隨機性等特點。圖1為干燥和潮濕軌面條件下的黏著特性曲線。可以看出，牽引與制動過程的黏著特性機理是一致的。在蠕滑區(qū)范圍內(nèi)，黏著系數(shù)隨著蠕滑率的增大而逐漸增大，直至峰值；當(dāng)蠕滑率超過峰值，進入滑移區(qū)后，黏著系數(shù)隨著蠕滑率的增大而急劇減小，此區(qū)域是打滑或空轉(zhuǎn)區(qū)間，需要盡量避免列車進入此區(qū)域。在高速列車運行過程中，若能保持其蠕滑率始終在蠕滑區(qū)范圍內(nèi)，則可避免出現(xiàn)危害列車運行安全的空轉(zhuǎn)或打滑現(xiàn)象。

圖1 干燥和潮濕軌面條件下的黏著特性曲線

輪軌間黏著防滑約束條件可以表示為

|λ|<λopt

(10)

式中：λopt為最優(yōu)蠕滑率，其定義為

λopt=argmax[μ(λ)]

(11)

在式(10)約束下，列車實際工作點可以嚴(yán)格限制在穩(wěn)定可靠的蠕滑區(qū)內(nèi)，實現(xiàn)牽引力或制動力的有效傳遞。因此，若能設(shè)計滿足式(10)約束，同時實現(xiàn)蠕滑率λ對期望蠕滑率λ*精確跟蹤的控制算法，則可以保證蠕滑率始終保持在蠕滑區(qū)域內(nèi)，在防止車輪滑動的前提下，提供滿足牽引力和制動力要求的黏著力。

由式(6)可知，蠕滑率存在奇點，并非一致連續(xù)可導(dǎo)，因此利用蠕滑率來表現(xiàn)蠕滑，可能導(dǎo)致控制算法中的盲點，影響控制效果[8]，而蠕滑速度為

vs=ωr-v

(12)

結(jié)合式(6)可得

vs=max(ωr,v)λ

(13)

因此，可以選擇蠕滑速度代替蠕滑率來表示蠕滑現(xiàn)象，設(shè)計控制算法，避免函數(shù)非一致連續(xù)可導(dǎo)問題。式(10)所示的黏著防滑約束條件等效為

|vs|

(14)

由于輪軌之間復(fù)雜的黏著關(guān)系，精確的最優(yōu)蠕滑率λopt難以獲得，公式(14)不能直接應(yīng)用于控制器設(shè)計。因此，將黏著防滑約束條件定義為

|vs|

(15)

式中：λallow>0，為允許蠕滑率的上限，可以根據(jù)大量的實驗或經(jīng)驗估計得到，其中

(16)

式中:v0>0，是由設(shè)計者選定的一個很小的常數(shù)。

至此，考慮牽引與制動轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生過程和黏著防滑約束的高速列車動力學(xué)模型可由式(1)、式(2)、式(7)以及式(15)來描述。同時，控制目標(biāo)轉(zhuǎn)化為設(shè)計控制策略使得在式(15)所示約束條件下，實現(xiàn)蠕滑速度vs對期望蠕滑速度vs*的精確跟蹤。

2 蠕滑速度跟蹤控制算法設(shè)計及穩(wěn)定性分析

2.1 基本控制算法設(shè)計及穩(wěn)定性分析

δ=vsmax-|vs*|=vbλallow-|vs*|>0

(17)

高速列車的輪軌黏著力Fa和非線性運行阻力Fr難以參數(shù)化或測量得到，本文利用干擾觀測器原理設(shè)計兩個力觀測器得到Fa和Fr的估計值分別為[12]

(18)

(19)

假設(shè)2：o(·)有界，其引入的擾動項不會對列車運行造成完全不可控的影響。

考慮式(15)約束下，式(1)，式(2)和式(7)所表示的列車動態(tài)模型，借鑒反步控制逐層設(shè)計虛擬控制量的思路，引入一階低通濾波器實現(xiàn)動態(tài)面控制，引入BLF處理輸出約束問題，由此，本文提出高速列車蠕滑速度的動態(tài)面跟蹤控制算法，設(shè)計步驟為：

Step1定義實際蠕滑速度vs與期望蠕滑速度vs*之間的跟蹤誤差變量為evs，即

(20)

其誤差動態(tài)方程為

(21)

選取對數(shù)型BLF函數(shù)

(22)

設(shè)系統(tǒng)的起始狀態(tài)vs(0)，滿足evs(0)∈(-δ,δ)。對式(22)進行求導(dǎo)可得

(23)

(24)

式中:k1為正實數(shù)；L1和L2為集總參數(shù)項，其中

(25)

(26)

(27)

式中:τd>0，為時間常數(shù)。

Step2定義eT=Tn-Tnd，對其求導(dǎo)，并結(jié)合式(9)可得

(28)

(29)

(30)

以上控制律設(shè)計中假設(shè)α,β均已知。若α,β未知，可以設(shè)計自適應(yīng)律來估算其值。

(31)

(32)

(33)

式中：k2為正實數(shù)。

設(shè)計向量參數(shù)ea的自適應(yīng)更新律為

(34)

式中：θ2為正實數(shù)。

定義濾波誤差為

(35)

結(jié)合式(27)，濾波誤差的動態(tài)方程為

(36)

(37)

證明：對V求導(dǎo)可得

(38)

由式(23)、式(24)、式(35)以及Young不等式可得

(39)

由式(32)～式(34)可得

(40)

應(yīng)用不等式

(41)

進一步可得

(42)

由文獻[17]可知，對于任何正實數(shù)δ，若|evs|<δ，則下列不等式成立

(43)

將式(37)、式(39)和式(42)代入式(38)，并結(jié)合式(43)，可得

(44)

(45)

(46)

進一步可得到

(47)

(48)

需要說明的是，雖然在穩(wěn)定性證明中涉及未知參數(shù)α,β,εd和η，但是控制算法并不需要用到這幾個參數(shù)的實際值；常數(shù)k2的取值范圍中雖然含有未知參數(shù)α和β，但只要k2取值足夠大，可以滿足算法要求。

需注意的是，當(dāng)|vs|≥vsmax或|vs|≤vsmax-2δ時，|evs(0)|≥δ(0)，不滿足以上控制算法對于|evs(0)|<δ(0)的要求，此時系統(tǒng)的穩(wěn)定性將變得不確定。

2.2 全局控制算法設(shè)計及穩(wěn)定性分析

(49)

為了得到改進的統(tǒng)一全局控制算法，定義變量q

(50)

結(jié)合式(24)、式(49)及式(50)，設(shè)計虛擬控制量可寫為

(51)

定理2對式(1)、式(2)、式(7)和式(15)所表示的高速列車動力學(xué)模型，采用全局防滑控制算法，設(shè)計動態(tài)面控制律為式(33)，虛擬控制量為式(51)，未知參數(shù)自適應(yīng)更新律為式(34)，雙力觀測器為式(18)和式(19)，若假設(shè)1～假設(shè)3成立，初始條件滿足對于任意正數(shù)p，有V0(0)≤p，則存在設(shè)計常數(shù)k1，k2，τd，θ2和常數(shù)矩陣Γ，使得閉環(huán)系統(tǒng)跟蹤誤差evs半全局一致最終有界，通過選取滿足條件的合適設(shè)計參數(shù)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差可以任意小，而且：(1)若|vs(0)|T后，蠕滑速度不會再超出給定上界。

證明：分3種情形進行證明。

(52)

對其求導(dǎo)，并結(jié)合式(21)、式(37)、式(42)、式(51)以及Young不等式可得

(53)

(54)

(55)

情形3：當(dāng)|vs(0)|≥vsmax(0)時，同樣構(gòu)造式(52)所示的Lyapunov函數(shù)，參考情形2證明，易知evs是半全局一致最終有界的，只要設(shè)計參數(shù)合理，|evs|總能在有限時間T內(nèi)進入|evs|<δ范圍內(nèi)，一旦進入|evs|<δ范圍，控制器變?yōu)榍樾?。因此t>T后，蠕滑速度不會再超出設(shè)定上限，系統(tǒng)的跟蹤誤差evs可以任意小。

綜合上述3種情況，在高速列車運行過程中，采用定理2所述黏著控制算法，系統(tǒng)的蠕滑速度跟蹤誤差evs半全局一致最終有界穩(wěn)定，取適當(dāng)?shù)目刂破鲄?shù)，evs可以任意小。當(dāng)|vs(0)|T后蠕滑速度將不會再超出設(shè)定上界，從而保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。定理2證畢。

(56)

3 仿真結(jié)果與分析

為了驗證本文所提出建模與控制方法的有效性，應(yīng)用MATLAB(R2013a)軟件進行了計算機仿真驗證。考慮列車車輛的1/4模型，具體實驗對象參數(shù)見表1[9]。

表1 模型實驗對象參數(shù)

為了模擬軌面突變情況下控制算法的有效性，采用干燥和潮濕兩種不同軌面，黏著特性曲線如圖1所示。具體設(shè)置情況見表2[9],表中輪軌黏著條件參數(shù)見式(5)。

表2 黏著特性曲線參數(shù)值

在高速列車的制動階段(300 s以后)，ω>0.1 rad/s時，取

本次仿真模擬高速列車在400 s時間內(nèi)的運行過程，其中0～300 s為高速列車的牽引階段，300 s以后為制動階段。軌面狀態(tài)變化分別發(fā)生在100 s(由潮濕軌面到干燥軌面)和330 s(由干燥軌面到潮濕軌面)。圖2為高速列車運行過程中的車體速度和車輪速度曲線。圖3和圖4分別為高速列車的牽引與制動轉(zhuǎn)矩Tn以及期望的牽引與制動轉(zhuǎn)矩Tnd曲線。可以看出，列車經(jīng)過200 s左右的牽引加速階段，速度從0上升到大約69 m/s，然后接下來的100 s為高速列車的巡航階段，300 s以后為列車的制動階段，大約經(jīng)過72 s列車速度下降到0。在整個控制過程中，即使是在兩次軌面狀況突變時，所設(shè)計的控制算法也能夠及時適當(dāng)?shù)恼{(diào)整列車的牽引與制動轉(zhuǎn)矩，使其很好的跟蹤期望值，列車車體速度以及車輪速度均變化平滑，車輪沒有出現(xiàn)滑動現(xiàn)象。

圖2 列車車體和車輪速度曲線

圖3 列車牽引與制動轉(zhuǎn)矩曲線

圖4 期望牽引與制動轉(zhuǎn)矩曲線

圖5 蠕滑速度軌跡曲線

圖6 蠕滑速度局部軌跡曲線

圖7 蠕滑率軌跡曲線

圖8為高速列車蠕滑速度跟蹤誤差軌跡曲線。由圖8(a)可以看出，即使是在軌面狀態(tài)突變時，蠕滑速度跟蹤誤差evs也沒有超出界限，始終被限制在(-δ，δ)之間。圖8(b)為穩(wěn)態(tài)誤差局部放大圖，可以看出穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差接近于0。

圖8 蠕滑速度跟蹤誤差軌跡曲線

本文提出的算法實現(xiàn)了高速列車的主動黏著防滑控制，當(dāng)高速列車的初始狀態(tài)沒有發(fā)生空轉(zhuǎn)或打滑現(xiàn)象時，可以實現(xiàn)高速列車在運行過程中蠕滑速度始終不超過給定最大蠕滑速度上界，不會發(fā)生車輪滑動現(xiàn)象；當(dāng)高速列車的初始狀態(tài)發(fā)生空轉(zhuǎn)或打滑現(xiàn)象時，系統(tǒng)會在有限時間內(nèi)進入到蠕滑區(qū)，此后不會再發(fā)生車輪滑動現(xiàn)象。算法對期望蠕滑速度實現(xiàn)了較好跟蹤，穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差可以任意小。該算法可以有效主動避免高速列車在運行過程中可能出現(xiàn)的空轉(zhuǎn)和打滑現(xiàn)象，提高列車運行的安全與可靠性能。

4 結(jié)束語

本文建立了考慮牽引與制動轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生過程的高速列車動力學(xué)模型，將黏著防滑問題描述為含輸出約束的非線性系統(tǒng)的跟蹤控制問題，采用力觀測器估計未知時變的黏著力和運行阻力，采用自適應(yīng)律實現(xiàn)對未知參數(shù)的估算，引入BLF函數(shù)實現(xiàn)對蠕滑速度上界的限制，設(shè)計了高速列車蠕滑速度的動態(tài)面跟蹤控制算法，實現(xiàn)了高速列車的全局主動黏著防滑控制。仿真結(jié)果表明，本文所提控制方法，能在對蠕滑速度進行上界約束的同時，產(chǎn)生滿足牽引力和制動力要求的黏著力，蠕滑速度跟蹤誤差可以任意小，可保障黏著控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。該算法同樣可以應(yīng)用于最佳蠕滑速度(或最佳蠕滑率)的精確跟蹤，獲取最大黏著力，實現(xiàn)列車的最優(yōu)黏著防滑控制。