波浪理論及其適用范圍的探討

海洋廣袤無垠且極其神秘，可以給人類帶來豐富的漁業(yè)、礦產(chǎn)資源和各種能源。但同時海洋又具有強大的破壞力，海上風(fēng)浪可以毀船亡人，破壞各種海上工程結(jié)構(gòu)。為了能夠安全地利用海洋，近代以來人們不斷地對波浪進(jìn)行研究，因此出現(xiàn)了系統(tǒng)化的波浪理論。

現(xiàn)代波浪理論一般構(gòu)建于勢流理論基礎(chǔ)之上，即認(rèn)為水體無旋、無粘且不可壓縮。工程上常根據(jù)相對水深的不同，把規(guī)則波分為三種狀況：水深波、淺水波和介于二者之間的有限水深波。一般而言，認(rèn)為深水波和有限水深波適用Stokes波理論，淺水波適用橢圓余弦波理論。但實際上對于有限水深波而言，在不同的水深中，根據(jù)波浪的相對波高不同，波浪的形態(tài)會發(fā)生變化，同樣會出現(xiàn)橢圓余弦波的形態(tài)，簡單地適用Stokes波理論會造成數(shù)值分析地錯誤。為此，本文將對兩種規(guī)則波理論的適用進(jìn)行討論分析。

1.兩種規(guī)則波理論簡介

Stokes在1849年提出了Stokes理論。這種理論主要是通過波陡ε（以波高與波長之比）為小參數(shù)進(jìn)行攝動展開，從而建立不同階次的Laplace控制方程和邊界條件，以此求得不同階次的速度勢。Stokes波的一階理論由于忽略了高階項，所推導(dǎo)出的波浪為正弦波浪，即線性波理論。二階以上的Stokes理論則在不同程度上考慮了非線性的影響，波浪形態(tài)會發(fā)生變化。但對于淺水區(qū)的波浪，受水深影響顯著，波浪形態(tài)發(fā)生巨大變化，Stokes理論會產(chǎn)生相當(dāng)大的誤差，因此Korteweg和 de Vries在1895年首次提出了以橢圓余弦函數(shù)來表示的淺水非線性波浪理論—橢圓余弦波理論。從KDV方程出發(fā)，并進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得到橢圓余弦波的波面函數(shù)。在推導(dǎo)過程中，很容易發(fā)現(xiàn)，影響橢圓余弦波非線性的參數(shù)是Ursell數(shù)，以相對波高與相對水深的平方的比值來體現(xiàn)的。

2.橢圓余弦波理論與Stokes波理論的界限討論

由于波浪理論劃分范圍的基礎(chǔ)是相對水深的大小，因此可將二階Stokes理論波面對相對水深kd求導(dǎo)，進(jìn)行分析。二階無量綱Stokes波波面方程為

其中，G2為二階周期項的傳遞函數(shù)，即

如果要讓波面保持Stokes波的性質(zhì)，即二階周期項的幅值只和波陡k A有關(guān)，與相對水深kd無關(guān)，需要將上式對相對水深kd求導(dǎo)，并使導(dǎo)數(shù)趨近于0。

該函數(shù)的曲線如圖1所示。

由圖1可以看出，當(dāng)kd≥1.4時，式（3）的值幾乎為0，即二階波幅與kd無關(guān)，此時只有波陡可以影響波浪的非線性，即完全適用Stokes波理論。

當(dāng)kd＜1.4時，式（3）的值顯然不為0，表現(xiàn)出非線性波浪的幅值要受到相對水深kd的影響，但是影響的大小需要進(jìn)一步分析。下面舉例說明：如圖2所示，若k A=0.05時，在kd＜0.8的范圍內(nèi)，kd對幅值的大小有著明顯的影響，此時采用只以波陡為非線性參數(shù)的Stokes波理論便會使結(jié)果失真；若kd＞0.8，kd幾乎不影響波浪的非線性，此時使用Stokes波理論便比較合適。若波幅減小，如kA=0.008，此時kd大約以0.5為分界線，左側(cè)需要考慮相對水深的影響，應(yīng)采用橢圓余弦波理論，而圖像右側(cè)kd對結(jié)果影響不大，可采用Stokes波理論。

通過以上分析及兩張圖的比較可得到一個初步結(jié)論：當(dāng)水深較淺時（如kd＜0.8），水深越小，Stokes波理論越只能在更小的波幅范圍內(nèi)適用。那么，在水深一定的情況下，Stokes波理論的適用范圍應(yīng)該取在多大波幅范圍內(nèi)需要更進(jìn)一步的討論。

在二階Stokes波面表達(dá)式中，當(dāng)kd＜0.8時，可以認(rèn)為shkd≈kd，chkd≈1，則式（1）可改寫為

為了讓上式滿足Stokes波理論的要求，高階項（右側(cè)第三項）需為小量，其系數(shù)應(yīng)滿足

以上結(jié)論便成為判定Stokes波理論在有限水深中的使用依據(jù)。此外，也因此而定義了判斷橢圓余弦波非線性大小的Ursell數(shù)，

這樣，可由Ursell 數(shù)判定理論的適用范圍。在有限水深中（kd∈[0.3，0.8]時），當(dāng)Ur＜＜1時，應(yīng)采用Stokes理論；否則，應(yīng)采用橢圓余弦波理論。

美國海軍海岸工程研究中心曾發(fā)布了《The Shore Protection Manual（1984）》，給出了Stokes 波理論、橢圓余弦波理論等相應(yīng)的適用范圍，如圖3所示。該圖較好地反映出有限水深范圍內(nèi)相對水深kd和相對波高kH對波浪形態(tài)的影響，其結(jié)果與本文分析基本一致。

3.結(jié)論

Stokes波理論和橢圓余弦波理論作為非線性波浪理論的重要組成部分，理論表達(dá)、非線性參數(shù)完全不同，但兩者的適用范圍存在交叉，并涇渭分明之界限。首先，不能簡單地認(rèn)為有限水深波浪一定適用Stokes波理論。其次，應(yīng)當(dāng)充分考慮kd和k A 的關(guān)系，選用合適的理論。最后，最重要的是處理兩種理論適用范圍交叉區(qū)域內(nèi)的波浪。在該區(qū)域內(nèi)的波浪適用不同理論，會得到截然不同、甚至完全相反的結(jié)果，因此，應(yīng)更謹(jǐn)慎地進(jìn)行不同理論的適用對比。

圖2 二階Stokes波不同波幅對相對水深求導(dǎo)的函數(shù)圖像

圖3 《The Shore Protection Manual（1984）》給出的波浪理論適用范圍