聚焦一題多解樣例，培養高職學生創造性數學思維

李建明

【摘要】高等數學作為公共基礎課程，在諸多領域得到了大量應用，例如經濟管理、自然科學、生命科學以及工程技術.但由于高等數學涉及知識點眾多，章節之間聯系緊密，要求學習者要建立嚴密的思維方式和習慣，這樣才能更好地掌握與應用知識.在高等數學中，一題多解體現了豐富的數學思想，能夠幫助學生有針對性地訓練數學思維.本次將圍繞一題多解樣例展開論述，重點分析在高職高等數學中培養學生創造性思維的具體方式，以供參考.

【關鍵詞】高職;高等數學;一題多解;有效路徑

一題多解指的是利用差異化的策略解答同一道題.鑒于每個人在思考以及思維層面存在多元化的分析切入點，因此可以建立不同類型的解決路徑，所以高職學生在學習高等數學時常會面臨一題多解的情形.學習高等數學不僅是掌握解題方法，更重要的是培養學生的數學創新思維，這既是高職教育的要求，也是培養學生數學核心素養的必經之路.具體而言，一題多解廣泛存在于各類研究活動以及教育活動之中，極大推動了數學學科的發展，也培養了學生的創造性思維.

一、一題多解在高職高等數學中的重要價值

在高職高等數學中，一題多解已經得到了普遍應用.一題多解的本質是圍繞中心原理進行延伸，用不同的方法解決數學問題，這是培養學生發散思維的重要舉措.一題多解對學生數學思維的訓練極為明顯，學生可以在不同的解法中深化對定理的認識.另外，高等數學往往存在大量的公式符號，會讓學生產生枯燥感和疲勞感，利用一題多解，可以讓學生在同一道題中領悟不同解題思路，進而培養學生的數學創造思維，增加學生的解題成就感.

二、一題多解在高職高等數學中的具體應用

（一）利用一題多解讓學生更為深入地感知高數概念

在微積分中，不定積分的重要意義不言而喻.由于不定積分為微分計算的逆計算，和微分計算相比，其難度往往更大.教師在介紹不定積分概念的過程中，通常會對原函數的概念加以闡述.鑒于原函數具有不唯一性，不同原函數之間存在一個常數，所以將帶有常數C的全部原函數均稱作不定積分.但是在實際教學中，部分高職學生對這一概念的理解存在偏差，導致學習效果不理想.

例1 求解不定積分∫2sin xcos xdx.

解析 利用一題多解的思路讓學生掌握不定積分的概念，針對該題可以利用三種方式加以解決，具體如下.

第一種解法：借助倍角公式sin 2x=2sin xcos x，隨后應用第一類換元法，湊微分法，即可解決.

原式=∫sin 2xdx=12∫sin 2xd（2x）=-12cos 2x+C.

第二種方法：跳過換元法直接采用湊微分法.

由于cos xdx=dsin x，

那么，可以將原式轉成為∫2sin xdsin x=sin2x+C.

第三種解法：同樣直接采用湊微分法.

設sin xdx=-dcos x，

那么原式=-∫2cos xdcos x=-cos 2x+C.

從上面三種方法可知，三種不同的解題思路會有三種不同的結果，這是什么原因？究竟哪一個答案是正確的？通過原函數的定義，可知F′（x）=f（x），

那么通過驗證可知：

-12cos 2x′=-12（-sin 2x）×2=sin 2x=2sin xcos x，為被積函數;

另外，（sin 2x）′=2sin xcos x，也是被積函數;

（-cos 2x）′=-2cos x（-sin x）=2sin xcos x，同為被積函數.

所以，上述三種解法均正確，進而可以掌握結果和被積函數之間的實際關系，原函數的導數和被積函數具有相等關系.

另外，通過倍角公式可以推導出：

-12cos 2x=-12（2cos 2x-1）=-cos 2x+12=-（1-sin 2x）+1[]2=sin 2x-1[]2.

這意味著，以上三種不同結論的差為一個常數，也進一步體現了原函數的定義：一個函數的原函數并不是唯一的，不同原函數均相差一個常數C，也顯示出對于相同的不定積分試題而言，即使結果形式有所差異，其本質并未改變.所以利用一題多解可以讓學生更加深刻地理解原函數以及不定積分的含義.

（二）引導學生活學活用，實現觸類旁通

部分學生由于沒有深入了解和掌握一元隱函數求導法則，因此剛接觸二元隱函數求導會產生消極心理，心生畏懼.針對這一情況，教師為了消除學生的畏懼心理，需要應用一題多解方法，使學生對知識點的掌握更加系統.

例1 令y2=2-xey，那么dydx的值是多少？

解析

第一種解法：采取直接求導法，將等式的左側與右側同時對x求導，而y需要被視作關于x的函數，那么，

2ydydx=0-ey-xeydydx，

等式變換后，可得

dydx=-ey2y+xey.

第二種解法：借助關系式dydx=-FxFy.

由于上式中x，y無關，

設F（x，y）=2-xey-y2，

由此可得Fx=-ey，Fy=-xey-2y，

dydx=-FxFy=-ey2y+xey.

第三種解法：借助微分形式不變形的特點將等號左邊和右邊予以全微分，同時x，y無關，那么

d（y2）=d（2-xey），

2ydy=0-eydx-xeydy，

所以dydx=-ey2y+xey.

由以上三類解題思路，可知對于第一種解題方法而言，應該重點關注y與x的具體聯系，將y視作x的函數，而在第二種以及第三種解題思路中，x，y無關.厘清上述三種不同類型解題方法的核心邏輯才能更好地解決隱函數導數問題，最終為學習二元隱函數求導法創造條件.所以，筆者會利用二元函數求導案例，引導學生意識到二元隱函數和一元隱函數求導具有相同性質.

例3 如果x+y3-ez=2z，那么請計算zx和zy的值.

解析 第一種解法：采取直接求導法，應該重點分析x，y，z之間的關系，即z為x，y的函數，而x與y無關.

所以，等式左邊和右邊均對x求導，可得

1-ez×zx=2zx，通過計算得zx=12+ez，

等式左邊和右邊均對y求導，得到

此時，可將x，y，z三個變量視作獨立變量，再將F對三個變量求偏導數.設F（x，y，z）=x+y3-ez-2z，

所以可得到Fx，Fy，Fz的具體數值，即

Fx=1，Fy=3y2，Fz=-ez-2，

第三種解法：直接應用微分法，將x，y，z視作獨立變量，等式的左、右兩邊都計算全微分，再運用等式dz=zxdx+zydy確定z[]x以及zy的值.具體過程如下：

d（x+y3-ez）=d（2z），dx+3y2dy-ezdz=2dz，dz=12+ezdx+3y22+ezdy，

有上述案例中，一題多解在高等數學中得到了廣泛應用，特別是在理解重要概念以及難點概念時，一題多解能夠讓學生串聯已學知識和新知識，并在其中展開類比以及推廣，這可以有效培養學生獨立思考的能力以及創新意識，也為后續學習高等數學奠定良好基礎.

（三）一題多解在證明題中的應用

例4 已知f（x）在[0，1]上連續并且單調不增，請你證明如果0≤μ≤1，∫μ0f（x）dx≥μ∫10f（x）dx.

解析 本題可以通過多種方法加以理解，具體可以從函數單調性、定積分換元法、積分中值定理、定積分的性質以及微分中值定理等角度切入證明.

證明一：假設F（μ）=∫μ0f（x）dx-μ∫10f（x）dx，

由題設條件，可知

F（1）=F（0）=0，

F′（μ）=f（μ）-∫10f（x）dx.

由此可見，f（x）在[0，1]上符合羅爾定理，因此，有ξ∈（0，1），使F′（ξ）=0，那么f（ξ）=∫10f（x）dx.

由于f（x）在[0，1]上連續并且單調不增，所以可分成兩種情況，即

如果μ>ξ，

那么F′（μ）=f（μ）-∫10f（x）dx=f（μ）-f（ξ）≤0;

如果μ<ξ，

那么F′（μ）=f（μ）-∫10f（x）dx=f（μ）-f（ξ）≥0.

因此，ξ為F（μ）的最大值對應的點，所以F（μ）在[0，1]內的最小值是F（1）=F（0）=0，所以F（μ）≥0，原不等式得以證明.

證明二：可以把問題不等式轉變成變上限積分，隨后借助函數單調性的性質來證明原式，例如需要證明∫μ0f（x）dx≥μ∫10f（x）dx，就相當于要驗證

∫μ0f（x）dxμ≥∫10f（x）dx1（μ≥0）.

假設F（x）=∫x0f（t）dtμ，所以只要驗證F（x）單調不增即可，而

F′（x）=xf（x）-∫10f（t）dtx2，

由于f（x）連續，借助積分中值定理，可得

F′（x）=xf（x）-xf（ξ）x2=f（x）-f（ξ）x，0≤ξ≤x.

而由于f（x）單調不增，因此f（ξ）≥f（x），所以F′（x）≤0，意味著f（x）單調不增，那么，當0<μ≤1，存在F（μ）≥F（1），如果μ=0，那么原式即可成立.

證明三：設F（x）=∫x0f（t）dtμ，

那么F′（x）=xf（x）-∫x0f（t）dtx2=∫x0f（x）dt-∫x0f（t）dtx2=∫x0[f（x）-f（t）]dtx2.

由于f（x）在[0，1]上連續并且單調不增，那么f（x）≤f（t），所以F′（x）≤0，即F（x）單調不增，因此原不等式得以證明.

三、結束語

綜上所述，一題多解貫穿高等數學教學的各個環節，掌握一題多解可以更好地掌握與理解高等數學的概念以及相應的解法，對于提升解題效率極具價值.因此，教師在高等數學教學時，應該有針對性地進行一題多解的專項訓練.