不連續伽遼金積分方程區域分解方法在定常迭代中的收斂性研究

(1.成都師范學院物理與工程技術學院 四川 成都 611130；2.電子科技大學能源科學與工程學院 四川 成都 611731)

引言

表面積分方程方法在電磁散射和輻射問題中得到了廣泛的應用。為了降低矩量法求解積分方程時所面臨的O(N2)的計算復雜度和存儲復雜度，快速算法獲得了極大地發展[1]。但對于電大問題來說，其求解過程仍需要大量的計算機存儲資源，而這可能超出當前平臺的計算能力。為了降低電大問題求解過程中對計算機內存資源的需求，提高當前平臺的計算能力，可以通過逐個求解子問題的方式來求解原問題。為此，采用經典的定常迭代思路來求解原始問題的區域分解方法應運而生。文獻[2]提出了一種前后向迭代方案，引入了一定長度的緩沖區以抑制不必要的偽邊緣效應。文獻[3]采用了多邊緩沖區，實現了更快的收斂速度。文獻[4]使用了一層三角形單元作為緩沖區，降低了子域問題中緩沖區上的額外未知量數目，并通過引入電流連續性條件的方式，抑制偽邊緣效應，獲得了穩定的收斂效果。

以上方法均屬于重疊型區域分解方法。文獻[5]提出了一種非重疊型區域分解方法，可以采用定常迭代法進行求解，以實現較少的存儲資源占用。為了在不引入人工端面的條件下，構造非重疊型區域分解模型，并使用定常迭代法進行求解，文獻采用了顯示邊界條件來約束邊界處兩個相鄰的半Rao-Wilton-Glisson(RWG)基函數的系數，獲得與原問題等價的區域分解問題，同時生成一個超定的線性方程系統。該超定線性系統通常需要法方程方法進行求解，這可能導致迭代收斂相對變慢。最近，文獻提出了一種基于不連續伽遼金方法的非重疊型區域分解方法，并采用Krylov子空間迭代法進行求解。但當采用定常迭代法進行求解時，由于其引入的內罰穩定參數具有明顯的頻率相關性，導致外層迭代的收斂性對工作頻率十分敏感，甚至在某些頻段內收斂緩慢。

為了在寬頻帶內實現定常迭代法的快速收斂，本文使用了一個與頻率無關的內罰穩定參數，用于求解采用均勻網格剖分的電大導體目標的電磁散射問題。這個參數正比于平均剖分尺寸，并反比于工作波長。為了驗證該參數對迭代收斂性的影響，對給定了幾何尺寸的某一目標，本文首先考察了該頻率無關的穩定參數和原始參數，在頻率范圍為0.1GHz到10GHz下的迭代矩陣譜半徑。然后對比考察了相同工作頻率下，使用這兩個參數的迭代收斂速度。此外，本文還討論了不同子域數目對收斂性和精度的影響。

一、區域分解方法回顧

考慮理想導體目標在自由空間中的散射問題。假設目標表面被分為M個子域S=S1∪…∪SM。子域內部的感應電流采用RWG基函數展開，跨邊界電流則采用單極RWG基函數展開。利用導體表面的切向邊界條件，并采用伽遼金測試方法，可以建立如下的電場積分方程(EFIE)和磁場積分方程(MFIE)：

(1)

(2)

其中

(3)

(4)

(5)

CFIE=αEFIE+(1-α)η0×MFIE,α∈(0,1)

(6)

式中，α為比例因子，通常取0.5。

二、定常迭代形式

對上述方程采用分域基函數離散，并采用伽遼金方法測試后，可以獲得如下的線性系統(假設M=2)：

(7)

其中Am是子域Sm上的CFIE阻抗矩陣，Bm,n是子域Sm到Sn的耦合矩陣。為了利用有限的內存資源求解電大問題，上述矩陣方程可以采用定常迭代法來求解，允許計算機一次僅處理一個子域問題。該迭代過程可以表示為：

(8)

對于式(8)所對應的子域Sm上的矩陣方程，可以采用 Krylov子空間迭代法GMRES進行求解。求解式(8)的一次迭代稱作內層迭代，而求解所有子域的一次迭代稱為外層迭代。在第k外層迭代后的相對殘差定義為：

(9)

其中‖·‖表示一個復向量的二范數。當ε(k)小于給定的誤差門限后，外層迭代停止。多層快速多極子方法[3]被用來加速(8)中的矩矢相乘運算。

三、收斂性分析

Mx(k+1)=Nx(k)+b

(10)

其中A=M-N是對原始矩陣A的一個分裂。在本文中，分裂后的矩陣M和N可以具體表示為：

(11)

(10)式是否收斂到真解x=A-1b，取決于迭代矩陣G=M-1N的特征值。如果G的譜半徑ρ(G)=max{|λ|:λ∈λ(G)}小于1.0，則由(10)式定義的近似解序列{x(k)}將會收斂于x=A-1b。此外，譜半徑越小，收斂速度越快。

圖1 金屬球的表面分區

然后我們考察了固定目標的幾何尺寸，改變工作頻率對定常迭代收斂性的影響。在這個算例中，目標的電尺寸是隨著頻率的變化而變化的。考察一個半徑為r=1m的金屬球，工作頻率分別選取為0.1GHz和3GHz。同樣地，該目標被分為兩個子域，如圖1所示，并采用邊長為0.1λ0的三角形網格進行均勻剖分。表1給出了采用不同穩定參數收斂到ε=10-3時的外層迭代次數。可以看到，采用本文參數時，定常迭代的收斂性不隨頻率的變化而變化，且保持較快的收斂速度。

圖2 不同穩定參數下的迭代矩陣譜半徑

表1不同穩定參數下的迭代收斂情況(ε=10-3)

Freq.(GHz)0.11β=0.15|loghλ-10|77β=0.1|logh|157

四、數值算例

在這一部分，數值算例用于驗證改進方法的正確性和有效性。本文數值算例在一個配置為雙核CPU(頻率為3.2GHz)和2GB內存，搭載Win64操作系統的個人計算機上完成。算例1為金屬立方體目標，考察不同子域數目對外層迭代收斂性的影響。算例2為金屬球為目標，用于驗證分區數目對計算精度的影響。

圖3 不同子域數目下的收斂情況

圖4 目標區域分解示意圖

圖5 目標計算結果對比

算例1 選擇2m×2m×2m的金屬立方體作為計算目標。將該立方體分別劃分為 4、16和56個子域，如圖3所示。入射波頻率為300MHz，入射角度為 θ=0°，φ=0°，電場沿θ方向極化。圖3 給出了不同分區數目下該方法的迭代收斂曲線。從4個子域到 56 個子域，收斂到 10-2所需的迭代次數從 8 增加到 11；而收斂到 10-6所需的迭代次數從 26 增加到 34。從該算例可以看到，在子域數目增加的情況下，該方法穩健性良好。此外，采用4,16,56個分區所需計算內存和所需計算時間跟不采用區域分解方法所需計算內存和計算時間對比可知，使用區域分解方法能有效的降低求解過程中的峰值內存需求，但與此同時，計算時間會有所增加。

算例2 考慮半徑為 1m 的金屬球，如圖4 所示，在 300MHz 平面波照射下的電磁散射。目標分別8 個子域。為了獲得更多的分區，采用邊長為 0.1 波長的三角形單元對原目標進行剖分，并將每個單元視為一個區域，共劃分出 2586 個子域，平面波入射角度為 θ=0°，φ=0°，電場沿θ方向極化。對于一般的幾何模型，改進后的方法在提高單機求解能力的基礎上，較原方法能進一步降低求解時間，提高了求解效率。圖5給出了使用兩種穩定參數下的計算結果對比，吻合良好。

五、總結

使用與頻率無關的穩定參數，并選取合適的系數，使定常迭代法在寬頻帶內穩定、快速收斂，可在降低內存需求的基礎上，進一步降低求解時間，提高當前計算平臺的求解能力。在固定目標電尺寸和幾何尺寸的情況下，使用本文給出的穩定參數，定常迭代的收斂性均不再表現出與工作頻率的相關性。