對一類函數模型f(x)=ax+blnx+c的探究

孟 彪 許章永

(江蘇省南京師范大學附屬揚子中學 210048)

一、模型解析

通過對歷年高考題及聯考題、模擬題的分析可以發現，各地區高考、模擬考壓軸題多以lnx、x、ex通過組合得到新的函數模型，本文將其抽象為f(x)=ax+blnx+c模型.這種模型看著復雜、難解，但是著名數學家華羅庚先生曾說過：對于復雜的問題要善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失重要性的地方，是學好數學的一個訣竅.

筆者所在學校于2019年10月開展了一場南京市專家視導教學，本次視導教學的主題是：研究函數f(x)=ax+blnx+c模型.筆者將這次視導的內容和研究心得整理后呈現給大家，供大家參考.為了研究的方便，先從模型的一種簡單形式開始研究，令模型中的a=1,b=-1,c=-1進行研究.

問題探究f(x)=x-lnx-1，x∈(0,+)的性質.

(1)函數：f(x)=x-lnx-1≥0恒成立，(2)不等式：x-1≥lnx，(3)方程：x-lnx-1=0的根是1.以上從函數、不等式、方程三個方面對模型進行分析研究.

將x用ex替換可得ex≥x+1，進一步又可以得到ex≥x+1>x>x-1≥lnx.這個不等式串是壓軸題中常用的放縮形式.幾何意義如圖1所示：

評注讓學生課前先探究f(x)=x-lnx-1，x∈(0,+)模型，課堂上加以引導可以得到函數、方程、不等式三者之間的關系，然后讓學生將x用ex替換可得到一系列不等式串，這是從數的角度理解，為下面的專題中的放縮作鋪墊，再引導學生從形的角度加以解釋，即得到圖1的函數圖形.

本文通過一個典型的例題來闡述這一函數模型：f(x)=ax+blnx+c，然后進行推廣，例題如下：

例1 已知函數f(x)=ax-lnx-a,

(1)若函數f(x)≥0恒成立，求a的值；

(2)若a>0時函數f(x)有且只有一個零點，求a的值；

解析(1)問，方法1：分參，f(x)≥0?a(x-1)≥lnx.

當x=1時，f(x)=0，此時f(x)≥0恒成立.綜上……