縮小參數范圍 減少討論環節

李秀元 朱丹丹

(湖北省武穴市實驗高級中學 435400)

利用導數研究函數的綜合問題，是高考的必考考點.其中，利用恒成立求參數取值范圍是重點，也是難點.求解過程中如果不能直接分離參數與變量，學生往往很難把握分類標準，解題時漏洞百出，失分較嚴重.如果能適當縮小參數的取值范圍，那么討論起來會簡單些.下面通過幾道例題，來說明如何利用題目恒成立的不等式條件，用特殊自變量的值來縮小參數取值范圍，使求解方向更明確，解題過程更簡捷，從而節省考試時間，提高得分率.

例1 已知函數f(x)=x2+ax-lnx，x∈R.

(1)若a=0，求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；

(2)若函數f(x)在[1，2]上是減函數，求實數a的取值范圍；

(3)令g(x)=f(x)-x2，是否存在實數a，當x∈(0，e](e是自然對數的底數)時，函數g(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.

解析(1)過程略，切線方程為y=x.

綜合可知，a=e2.

即當a=e2時，函數g(x)在(0，e]上的最小值為3.

(1)當a=-4時，求f(x)的單調遞增區間；

(2)若f(x)在區間[1，4]上的最小值為8，求a的值.

綜上得a=-10.

例3 設函數f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d).若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0，2)，且在點P處有相同的切線y=4x+2.

(1)求a，b，c，d的值；

(2)若x≥-2時，f(x)≤kg(x)恒成立，求k的取值范圍.

解析(1)a=4，b=2，c=2，d=2.

(2)由(1)知，f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1).

設F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2，則“f(x)≤kg(x)”等價于“F(x)≥0對x≥-2恒成立”，即“對任意的x≥-2，F(x)min≥0”.

依題意，必有F(-2)≥0且F(0)≥0，所以1≤k≤e2.

因為F′(x)=2(x+2)(kex-1)，令F′(x)=0，得x1=-lnk，x2=-2.

當1≤k0得x>x1.所以F(x)為(-2，x1)上的減函數，(x1，+)上的增函數.

當k=e2時，F′(x)=2(x+2)(ex+2-1)≥0，所以，F(x)為[-2，+)上的增函數，故F(x)min=F(2)=0，也符合題意.

綜合可得，1≤k≤e2.

點評由于g(x)的取值有正有負，因此分離參數法不太方便.如果不用特殊值縮小參數的范圍，勢必需要增加討論k≤0、0e，過程雖不難，但增大了書寫量.若只選擇一個特殊值，如x=-2，參數范圍雖有縮小，但還不是更小，更多的討論依然避免不了，因此我們選擇定義域內的兩個特殊值，使參數范圍更小.

縱觀這幾道試題，我們發現解決問題的關鍵是利用了恒成立問題的必要條件，以縮小參數的取值范圍.在自變量的取值范圍內，究竟選誰作為特殊值，是選一個還是多個，是沒有規定的.一般情況下，區間端點、中點、整點，或者使函數式為定值的自變量等等都是我們考慮的對象，選出特殊值，經過簡單計算，擇其優而用之. 通過縮小參數的取值范圍，我們只是盡可能多地減少解題過程中的討論環節，避免不必要的麻煩.但在具體討論過程中，一些細節依然要引起重視，如后兩例中對參數范圍的再分割，也是學生易忽視的地方，如不加分割，函數單調性表述將不嚴密，還是容易丟分.