最高點即是臨界

黃興仲

(廣東省梅州市豐順縣黃金中學 514357)

豎直平面內的圓周運動，作為高中常見的運動類型，在復習時，通常會介紹兩個一般模型：繩——球模型與桿——球模型.小球要剛好做完整的圓周運動，前者的臨界條件為到達最高點時，小球的重力恰好提供向心力，后者為桿對小球的支持力恰好等于重力.

一、最高點為臨界狀態的原因

以繩——球模型為例，當小球從最低點以較大的速度運動時，則要做完整的圓周運動，必然要達到最高點，而從最高點運動下去時(如圖1)，由于A、B兩點位于同一高度，因而由對稱性可知，此時小球若能達到A點，也即是可到達B點，即是說明只要小球能夠通過最高點，則說明小球能做完整的圓周運動.

然而一旦加上一些外在條件的限制，最高點則未必就是臨界狀態.

二、繩子的拉力有限制

當繩子的拉力有限制時，繩子對小球的拉力的最大值出現在下半圓中，此時最高點則不是所需要的臨界狀態.

假設繩子拉力存在上限值Tm時，對小球進行受力分析(如圖2)，在徑向上：

假設最高點的速度為v0，則從最高點到最低點，由動能定理得

由以上兩式聯立可得

若α=0°即最低點時，此時繩子的拉力達到最大為

例1一根長度為l的輕繩，一端固定在某點O，另一端系一個質量為m的小球.若小球恰好過最高點，而輕繩所能承受的最大拉力為6mg.則小球下落過程中將在何處輕繩被拉斷？

三、考慮豎直分力

在某些特殊的情景中，需要考慮彈力的豎直分力問題，如常見的豎直平面內的圓周運動與底座的問題.

例2 質量為M的支架(包含底座)上有一水平細軸，軸上套有一長為L的輕質細線，繩的另一端拴一質量為m(可視為質點)的小球，如圖3.現使小球在豎直面內做圓周運動，已知小球在運動過程中底座恰好不離開地面、且始終保持靜止.忽略一切阻力，重力加速度為g.則( ) .

A.小球運動到最高點時底座對地壓力最大

B.小球運動過程中地面對底座始終無摩擦力

C.小球運動至右邊與O點等高時，地面對底座的摩擦力向左

D.小球運動到最高點時細線拉力大小為Mg

答案：CD

其解析在最高點時，細線對小球的豎直拉力達到最大，即在此時底座的壓力達到最小，結合本題可知此時壓力為0，因而A錯誤D正確；當小球不在豎直線時，細線對底座的拉力在水平方向上有分力，由于底座始終靜止，所以地面對底座有摩擦力作用，當小球運動至右邊與O點等高時，細線對底座的拉力水平向右，故地面對底座的摩擦力水平向左，因而B錯誤C正確.

分析在此題中，只是想當然地認為圓周運動中圓軌道的最高點就是豎直分力最大的位置，但實際不一定是這樣，以下為證明過程：

如圖4，假設細線與豎直方向夾角為α時，小球速度為v，則

假設小球在最低點的速度為v0，則從最低點到A點的過程中，由動能定理得

聯立以上兩式，可得

其豎直分量為

當α∈(0°,90°]時，小球不在最高點，但此時Ty最大，此時需要滿足的條件為

四、外加勻強電場

此類題型的解法往往采用等效重力法，將重力場中豎直圓周運動中的臨界問題類比到等效重力場中，從而更好實現問題的解決.

例3 如圖5所示，一條長為L的細線上端固定，下端拴一個質量為m的電荷量為q的小球，將它置于方向水平向右的勻強電場中，使細線豎直拉直時將小球從A點靜止釋放，當細線離開豎直位置偏角α=60°時，小球速度為0.求：

(1)電場強度E.

(2)若小球恰好完成豎直圓周運動，求從A點釋放小球時應有的初速度vA的大小(可含根式).

從最高點到最低點，由動能定理得：

五、脫軌問題

圓周運動中物體不脫離軌道，可分為以下情況：

1.內軌運動

(1)在圓心水平面下方：此時的臨界條件為最高點時由重力提供向心力和恰好到達圓心等高處；

(2)在圓心水平面上方：軌道對物體的彈力恰好為0；

2.外軌運動

(1)頂端下滑：此時的臨界條件為最高點時由重力提供向心力和軌道對物體的彈力為0；

(2)頂端上滑：此時的臨界條件為在起拋點軌道對物體的彈力恰好為0 .

例4如圖6所示，輪半徑r=40 cm的傳送帶，水平部分AB的長度L=1.5 m，與一圓心在O點半徑R=1 m的豎直光滑圓軌道的末端相切于A點，AB高出水平地面H=1.25 m.一質量m=0.1 kg的小滑塊(可視為質點)，由圓軌道上的P點從靜止釋放，OP與豎直線的夾角θ=37°.已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10 m/s2，滑塊與傳送帶的動摩擦因數μ=0.1，不計空氣阻力.

(1)求滑塊對圓軌道末端的壓力.

(2)若傳送帶一直保持靜止，求滑塊的落地點與B間的水平距離.

解(1)略.

(2)從A到B，根據動能定理得：

其中第(1)問中求得vA=2 m/s

代入數據解得vB=1 m/s

從B點到C點，由動能定理得

從C點脫離后，在水平方向上x=vCcosα·t

在豎直方向上

聯立以上各式，代入數據即可解得(因數據過大，此處不做詳解).