對一道高考函數壓軸題的思路分析與推廣

紀定春

(四川省成都市四川師范大學數學科學學院 610068)

一、試題呈現與評注

試題呈現(2010全國數學新課標理科卷第21題)設函數f(x)=ex-1-x-ax2．

(1)若a=0，求f(x)的單調區間；

(2)若當x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍．

評注該試題結構簡單、形式優美，蘊含豐富的知識考點．試題的解決思路寬廣，可以為不同學習水平的學生提供更好的方法選擇．試題具有高等數學中麥克勞林展開式的背景知識，同時也具有競賽數學中的重要不等式(對數不等式)的身影．在解決方法上可以使用高等數學的知識(洛必達法則)，同時可以使用高中數學中導數的定義來解決．因此，該試題具有豐富的內涵和多樣的解答方案，是一個值得研究的好試題．同類型的試題還有很多，如2013年全國新課標卷2理科21題；2018年新課標卷1第21題；2018年廣東省二模考試卷第12題；2018年百校示范卷(二)第21題等.這些試題都與該試題有較高的關聯性，因此，對該試題的思路探究是有價值的．由于問題(1)較為簡單，此處重點對問題(2)進行思路分析和推廣．

二、問題(2)的思路探究

1.直接法

思路分析最直接的方式，就是將題干中的語言文字翻譯成數學符號，然后利用導數來研究函數的最值或極值，此處需要求出f(x)的最小值都要等于零．

解析當x≥0時f(x)≥0，等價于f(x)=ex-1-x-ax2≥0，對任意的x≥0恒成立．對f(x)求導，可得f′(x)=ex-1-2ax，顯然有f′(0)=0且f(0)=0．

因為g(x)=ex-1-x當x≥0時大于等于零恒成立，當且僅當x=0，g(x)=0．而f′(0)=0，得2a=1．當2a=1時，有f′(x)≥0成立．需要2a≤1，即a∈(-,就有f(x)≥0．所以a的取值范圍為(-,

評注該方法充分地利用了重要不等式ex-1-x≥0，可以得出2a≤1．

2.換元構造導數定義法

思路分……