何必舍近求遠
——用一元二次方程的求根公式比用韋達定理證明更簡捷

甘志國

(北京市豐臺二中 100071)

在解決與弦長(設直線l與二次曲線Γ交于兩點A,B，線段AB就是曲線Γ的弦，|AB|就是弦長)有關的平面解析幾何問題時，往往需要求出|x1-x2|，其解法往往是這樣的：

先把直線l與曲線Γ的方程聯立，消去y(也可消去x)，得到一個一元二次方程

ax2+bx+c=0 ①.

因為直線l與二次曲線Γ交于兩點A,B，所以a≠0，且其判別式Δ=b2-4ac>0.

設A(x1,y1),B(x2,y2)，可得x1,x2是方程①的兩個根，由韋達定理可得

所以

評注在韋達定理的兩個等式(見②)中沒有關于x1-x2的等式，但以上解法通過轉化求出了

有些巧妙！

還有其他方法能解決這個問題嗎？實際上，由一元二次方程的求根公式，可得一元二次方程①的兩個根是

由此可立得③式成立！

何必舍近求遠：用一元二次方程的求根公式比用韋達定理證明③式更簡潔！

(1)求橢圓C的方程及點P的坐標；

當直線AB的斜率存在時，可設直線AB的方程是y=k(x-1)(k≠0).

(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0 ④.

這個關于x的一元二次方程的判別式Δ=(-8k2)2-4(4k2+3)(4k2-12)=144(k2+1)>0.

設兩點A,B的橫坐標分別是x1,x2，可得一元二次方程④的兩個根分別是x1,x2.由結論③，可得

再由弦長公式，可得

105k4+73k2-36=0 ⑤,

(3k2-1)(35k2+36)=0,

注：也可這樣解方程⑤.

由一元二次方程的求根公式，可得

(2)的另解可設直線AB的方程是x=my+1.

(3m2+4)y2+6my-9=0 ⑥.

這個關于x的一元二次方程的判別式判別式Δ=(6m)2-4(3m2+4)·(-9)=144(m2+1)>0.

設兩點A,B的縱坐標分別是y1,y2(y1y2<0)，可得一元二次方程⑥的兩個根分別是y1,y2.由結論③，可得

所以

36m4-73m2-105=0 ⑧.

(m2-3)(36m2+35)=0,

注：也可這樣解方程⑧——

由一元二次方程的求根公式，可得

還可這樣解方程⑦

6t2-13t+2=0,

(t-2)(6t-1)=0(t≥1),

t=2.

換元法解題，有時能起到“四兩撥千斤”的作用.

題2(2013年清華大學夏令營數學試題第16題)設直線l:y=k(x+1)與橢圓Γ:x2+3y2=a2(a>0)交于A,B兩點，與x軸交于點C，記坐標原點為O.

解(1)聯立直線l與橢圓Γ的方程后，可得

(3k2+1)x2+6k2x+(3k2-a2)=0.

(m2+3)y2-2my+1-a2=0 ⑨.

可求得關于y的一元二次方程①的判別式

Δ=(-2m)2-4(m2+3)(1-a2)

=4[(m2+3)a2-3] ⑩.

再由y1,y2是關于y的一元二次方程⑨的兩個根及韋達定理，可得

消去y1,y2后，可得

再由⑩，可得關于y的一元二次方程①的判別式

Δ=36m2>0

可得