基于落實數學核心素養的初高中銜接課的“一元二次函數”例析

王樹新

(福建省泉州市泉港區泉港第二中學 362000)

毋庸置疑，高中數學相對于初中有了重大變化，新生面臨著“陡坡效應”，期初考試成績呈2-8規律分布：成績好的占兩成，不好的占八成.在集合和函數的學習中出現不同程度的不適應，數學初高中銜接課必不可少.

一元二次函數的知識源于初中，成熟在高中，是高考的重點.作為一個既簡單又重要的函數類型，一元二次函數的圖象與性質展示了一個完整的函數研究過程，不但可以復習到初中的相關重要性質、知識點、公式，還可以銜接高中多種數學思想和方法，培養各種數學核心素養，為高中函數學習的螺旋上升打好基礎，可以說是初高中銜接最佳素材.

一、從y=ax2+bx+c(a≠0)到f(x)=ax2+bx+c(a≠0)

例1函數f(x)=x2+bx+c對任意的x均有f(1+x)=f(1-x)，那么f(0)，f(-1)，f(1)的大小關系是(C).

A.f(-1)

C.f(1)

銜接了初中的函數值運算，函數值對應函數圖象中的點的縱坐標的知識，為高中函數概念中的對應關系“f”的學習做好銜接準備，為奇偶函數定義f(-x)=±f(x)的學習做好銜接準備.

學生理解“f(1-x)=f(1+x)”時，識別和應用符號表達抽象概念，使數學抽象素養得到提高.由計算上的“處處相等”，到圖象上的“處處等高”，把問題轉化成圖形上點的高低比較，促進了直觀想象核心素養的發展.

二、從f(x)到f(g(x))

例2已知函數f(x)=x2-2x-3

(1)求f(-1)，f(0)，f(1)，f(2)，f(t+1)；

(2)若函數g(x)滿足g(x-1)=f(x+1)，求函數g(x)的表達式.

銜接了初中求函數值計算，銜接了初中“配方法”運算，為高中“整體代換”思想方法做好銜接準備，為高中函數概念的對應關系“f或g”的學習做好準備.

從特殊到一般，歸納體會“f”的一般意義，歸納體會自變量“x”的“虛位以待”意義(x可用任意允許的數和式子替換)，提高數學抽象核心素養.對 “f、g”和“x”的符號識別和運用提高運算求解素養.

三、從圖象到解析式

例3如圖是一個一元二次函數y=f(x)的圖象.

(1)求這個二次函數的解析式；

(2)若函數g(x)=f(x)-kx+1與x軸的兩個交點的距離等于5，求k的值.

解(1)方法一 設所求f(x)=ax2+bx+c，把(1,0)、(-3,0)、(-1,4)代入，

方法二 由圖，設所求f(x)=a(x+3)(x-1)，把(-1,4)代入，

得a(-1+3)(-1-1)=4，解得a=-1，f(x)=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3.

方法三 由圖，設所求f(x)=a(x+1)2+4，把(1,0)代入，

得a(1+1)2+4=0，解得a=-1，f(x)=-(x+1)2+4=-x2-2x+3.

(2)由(1)得g(x)=-x2-(k+2)x+4，設A(x1,0)，B(x2,0)

解得k=-5或k=1.

方法二 令g(x)=0，得-x2-(k+2)x+4=0.

依題意，|x1-x2|=5,

四、從靜止到運動變化

例4 如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(2,4)，過A作直線l交x軸于B，連接OA，拋物線y=x2從點O沿OA方向平移，與直線l交于點P，頂點M到點A時停止移動.

(1)求頂點M到達點A時拋物線對應的函數解析式；

(2)設拋物線的頂點M的橫坐標為m.

①用含m的代數式表示點P的坐標；

②當m為何值時，線段PB最短？

解(1)原平移等價于先把y=x2向右平移2個單位得到的圖象對應的解析式為y=(x-2)2,再向上平移4個單位得到的圖象所對應解析式為y=(x-2)2+4,

即y=x2-4x+8.

(2)①因為直線OA所在的直線方程為y=2x，當x=m時，y=2m,

所以M(m,2m)，此時拋物線的解析式為y=(x-m)2+2m(0≤m≤2).

當x=2時，y=m2-2m+4，所以P(2,m2-2m+4).

②|PB|=m2-2m+4=(m-1)2+3.

所以當m=1時(此時，M在線段OA的中點)，線段PB最短為3.

銜接初中的二次函數圖象平移變換，銜接向量位移和，為高中一般函數的圖形變換做好銜接準備，用變量m描述運動，為函數應用做好銜接準備，為函數求最值做好銜接準備.

建立m與|PB|的函數，體會數學建模的一般步驟,強化數學應用意識，提高數學建模、數學運算素養.

五、從記憶到理解

例5已知一元二次函數f(x)=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，頂點坐標為C.

(1)當a=1、b=-2、c=-3時，求頂點C的坐標；

(2)求頂點C的坐標；

解(1)由已知，f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,

所以頂點C(1,-4).

銜接初中一元二次函數的頂點坐標公式和韋達定理，為高中公式學習做好銜接準備，為體會數學的系統性與完備性特點做好銜接準備.

從特殊到一般，提高邏輯推理素養，從數字運算到符號運算提高數學運算素養，從記憶到理解，促進數學抽象素養的提高.

用一元二次函數的圖象與性質作為初高中銜接內容，可以為高中函數概念、單調性、奇偶性、函數與方程、函數應用、解析幾何的學習做好銜接準備，不但可以復習配方法、十字相乘法、待定系數法等重要運算，還可以提高學生抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數學應用意識等數學能力，從而提高數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學建模、數學運算素養.進而改變學生的學習方式，有助于改變初中的識記、模仿、訓練的的被動學習方式，促進形成主動理解與運用數學的學習方法.