和圓有關的存在性問題的主要求解方法

雷亞慶

(江蘇省南京市大廠高級中學 210044)

和圓有關的存在性問題主要有兩種處理方法，一是從代數角度把問題轉化為方程組有解的問題，二是從幾何角度利用位置關系求解.本文來介紹一下利用位置關系如何解決這類存在性問題.

一、轉化為圓與其他曲線的位置關系

1.直線與圓

例1在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2+y2=4上有且僅有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實數c的取值范圍是____.

2.圓與圓

例3圓(x-a)2+(y-a)2=4上總存在兩個點到原點的距離為1，則實數a的取值范圍是____.

例4在平面直角坐標系xOy中，若圓C1:x2+(y-1)2=r(r>0)上存在點P，且點P關于直線x-y=0的對稱點Q在圓C2:(x-2)2+(y-1)2=1上，則r的取值范圍是____．(蘇北四市2018一模)

3.圓與橢圓

解析連接OA，OB，OP，依題意，O、P、A、B四點共圓.

∵∠APB=60°，∴∠APO=∠BPO=30°，

圖1

二、利用臨界角

圖2

所以4<(x0-3)2+(2x0-0)2≤8.

圖3

例8已知圓C：(x+1)2+(y+1)2=1，點P(x0，y0)在直線x-y+2=0上．若圓C上存在點A使∠CPA=30°，則x0的取值范圍是____.

解得x0的取值范圍是[-3,-1].

三、利用臨界距離

解得-7≤m≤-1或7≤m≤13.

由①②得實數m的取值范圍是[-7,1]∪[5,13].