函數含參問題的速解策略
——參數半分離

楊蒼洲

(福建省泉州第五中學 362000)

一、題目呈現

題目(2015年高考全國Ⅰ卷理科)設函數f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1，若存在唯一的整數x0，使得f(x0)<0，則a的取值范圍是( ).

在求解函數、方程、不等式的一些問題時，常常用到“參數分離”的方法，即把參數a與變量x完全分開，分別置于不等式的兩邊，再研究不等式的兩邊函數的取值情況，最后作出判斷.但是本題若進行參數分離，卻會使得問題變得更加繁瑣，難以求解.因此，本題宜改變策略，為了破解此類題，我們需要掌握兩個求解技巧：一參數半分離法；二數形結合思想.

解設g(x)=ex(2x-1)，h(x)=ax-a，由題意知存在唯一的整數x0，使得g(x0)在直線h(x)=ax-a的下方.

又直線h(x)=ax-a恒過點(1,0)，且斜率為a，

二、數學思想與解題技巧

1.解題的技巧——參數半分離法

“化生為熟”是常見的解題方向，因此我們考慮把函數f(x)=ex(2x-1)-ax+a分解成兩個熟悉的函數：g(x)=ex(2x-1)和h(x)=ax-a.其中h(x)為過定點(1,0)的動直線，也可以導數為工具研究g(x)的大致圖象.作出兩個函數的圖象后，研究動直線的運動情況，尋找滿足條件的動直線，進而限制出動直線斜率a的取值范圍.

2.解法的內涵——巧用數學思想

本題求解過程的本質主要應用數學思想解題：化歸與轉化思想和數形結合思想.

化歸與轉化思想體現在：把“存在唯一的整數x0，使得f(x0)<0”轉化為“存在唯一的整數x0，使得曲線g(x)=e(2x-1)在直線h(x)=ax-a的下方.”

數形結合思想體現在：先作出曲線g(x)=e(2x-1)與直線h(x)=ax-a，然后通過兩曲線的位置關系找出滿足題意的直線.

三、舉一反三

題1設函數f(x)=x3-3x2-ax+5-a，若存在唯一的正整數x0，使得f(x0)<0，則a的取值范圍是( ).

解設g(x)=x3-3x2+5(x>0)，h(x)=ax+a，由題意知存在唯一的整數x0，使得g(x0)在直線h(x)=ax+a的下方.

因為g′(x)=3x2-6x，所以當02時，g′(x)>0，g(x)單調遞增.當x=2時，g(x)min=1.其圖象大致如圖2.

又直線h(x)=ax+a恒過點(-1,0)，且斜率為a，

題2已知函數f(x)=ln(x+1)-x2+(2-a)x-a(a∈R)，若存在唯一的整數x0，使得f(x0)>0，則a的取值范圍是( ).

解設g(x)=ln(x+1)-x2+2x(x>0)，h(x)=ax+a，由題意知存在唯一的整數x0，使得g(x0)在直線h(x)=ax+a的上方.

又直線h(x)=ax+a恒過點(-1,0)，且斜率為a，

題3若關于x的不等式x(1+lnx)+2k>kx的解集為A，且(2,+)?A，則整數k的最大值是____.

解由x(1+lnx)+2k>kx,得x(1+lnx)>k(x-2).

令f(x)=x(1+lnx)(x>2)，則f′(x)=lnx+2>0.

所以f(x)在(2,+)單調遞增.

f(x)的圖象大致如圖4.

又因為g(4)=e2-8<0，g(5)=e3-10>0，

所以方程(*)存在唯一解k0，且k0∈(4,5).

由圖可知k