解三角形中涉及角平分線題型的解題策略

李 寧 唐盛彪

(海南省海口市海南中學(xué) 571158)

解三角形題目中時(shí)有角平分線條件出現(xiàn)，如2015年全國二卷文科理科第17題、2018年江蘇高考第13題. 下面結(jié)合具體題目總結(jié)這類題型的常見解題策略.

一、兩個(gè)常用結(jié)論(等面積法)

遇見角平分線條件來求線段長度，常常需要用到等面積法. 下面用等面積法證明兩個(gè)結(jié)論.

例2 在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則4a+c的最小值為____.

評注結(jié)論1是角平分線的重要性質(zhì)，解角平分線題時(shí)常常用到. 結(jié)論2溝通了角平分線AD和邊AB,AC之間的長度關(guān)系，不需要記憶，需要時(shí)用等面積法簡單推導(dǎo)即可得到.

二、利用向量平方來算長度

例3 已知△ABC中，∠BAC=120°,AB=2,AC=1，AD是∠BAC的角平分線，交BC于D，則AD的長度為____.

三、利用方程思想來算長度

設(shè)AK=t，則BA=2t.

由于cos∠ABK=cos∠CBK，在△ABK和△CBK，分別應(yīng)用余弦定理，有

評注同一個(gè)目標(biāo)用兩種算法算兩次，是構(gòu)建方程的重要途徑. 本題除了利用cos∠ABK=cos∠CBK之外，還可以利用cos∠BCK=cos∠BCA或者cos∠AKB+cos∠CKB=0來構(gòu)建關(guān)于t的方程.

四、利用二倍角公式來算角的三角函數(shù)值

故cosC=cos(60°-∠BAC)

評注由于∠BAC=2∠BAD，△BAC和△BAD中，先在已知條件多的三角形中進(jìn)行邊角計(jì)算，再結(jié)合二倍角公式過度到另一個(gè)三角形中進(jìn)行邊角計(jì)算.

相關(guān)練習(xí)

2. 在斜△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知asinA+bsinB-csinC= 4bsinBcosC，若CD是角C的角平分線，且CD=b，則cosC=____.

參考答案