簡解函數由值域反求定義域問題

梁宗明

(甘肅省蘭州市蘭化一中 730060)

在高中數學中，在函數解析式已知的前提下，依據定義域求其值域的題型，非常常見，研究較多，但是，在函數解析式已知的前提下，依據給定值域反求其定義域的題型，并不多見，前者是順向思維問題，結果唯一.后者是逆向思維問題，由函數的“映射定義”得出結論，一個y值可由多個x值與之對應，一般情況下，由函數的值域不能唯一確定其定義域，定義域結果無窮盡，難以掌握.除非函數是單調的.但數形結合思想可以輕松解決此類問題.

例2(2016·無錫模擬)已知函數y=x2-2x+3，在閉區間[0,m]上，y∈[2,3]，則m的取值范圍為____．

解析作出函數f(x)的圖象如圖所示.當x=1時，y有最小值為2，當x=2時，y=3,當x=0時，y=3.滿足y∈[2,3]的最小區間x∈[0,1]，滿足y∈[2,3]的最大區間x∈[0,2].數形結合易得m∈[1,2]．

例3若函數y=4x-3·2x+3的定義域集合是A,值域y∈[1,7]，若集合B=(-,0]∪[1,2]，則集合A與B的關系____.

解析設2x=t,(t>0)，f(t)=t2-3t+3，當t=1或t=2時，y有最小值為1，當t=4時，y=7,當t=0或t=3時，y=3，當t∈(0,1]∪[2,4]時，y∈[1,7].如果規定t取其他范圍的值，同樣可以滿足y∈[1,7].結合圖象具體說明如下：作函數f(t)=t2-3t+3的圖象，在(0,1]內任取a，在[2,4]內任取b，使得f(a)=f(b).

則t∈(0,1]∪[2,4]或者t∈(0,1]∪[b,4](b∈[2,3])或者t∈(0,a]∪[2,4](a∈(0,1]).依據a,b的不同值，滿足題意的集合有無窮多個.但所有集合都是它的(0,1]∪[2,4]子集，顯然(0,1]∪[2,4]是B=(-,0]∪[1,2]的子集.所以A?B.

點評根據函數的值域反求其定義域問題，屬于不確定性的逆向問題，題目中一定有確定性條件支撐，以確定性條件為突破口，利用數形結合思想，研究滿足值域的定義域的最小范圍和最大范圍是關鍵.