例析解析幾何中有關線段長度問題的幾種典型處理策略

范習昱

(江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒高級中學 212143)

解析幾何中有關線段長度問題是解析幾何中最為普遍和基礎的研究對象，屬于解析幾何的核心內容范疇，并且所考查知識和技能都是通性通法，近年來頻繁出現(xiàn)在一些省市高考題和大型質量檢測題中，受到命題專家的青睞.在解決這些解析幾何問題時，如果方法選擇不當，勢必會導致繁雜的計算，學生很難繼續(xù)進行，大多半途而廢.本文筆者結合一線教學經(jīng)驗和思考，立足通性通法，充分考慮課堂教學及考試的可操作性，利用典型例題探討解析幾何中有關線段長度問題的幾種典型的處理策略.歡迎指正.

一、與原點相關線段長度問題，運用兩點間距離公式策略

線段的一個端點是原點是解析幾何中有關線段長度問題最為簡單和普遍的一種，難度一般不大.由于原點坐標的簡單特殊性，我們的處理策略一般是運用兩點間的距離公式.即：

若P(x1,y1),Q(x2,y2)，則

(1)求橢圓E的方程；

(2)設直線MA,MB與y軸分別交于點C,D，求證：OC·OD為定值．

(2)證明：顯然直線MA，MB的斜率存在．設M(x0，y0)，A(s,t),B(-s,t),則lMA的方程為：

所以OC·OD=|yC·yD|

(1)求橢圓的標準方程；

二、與圓錐曲線焦點相關線段長度問題，運用圓錐曲線統(tǒng)一定義策略

圓錐曲線中的焦點弦或者焦半徑是一類特殊的線段，處理這類線段長度問題，若仍然運用兩點間的距離公式，就會帶來較為復雜的計算，這是解析幾何的大忌.我們如果運用圓錐曲線統(tǒng)一定義，將其轉化為圓錐曲線上的點到對應準線的距離，將大大消減繁雜的計算，學生極易上手，應該是這類相關問題的首選策略.即：

∴|P1F2|+|P3F2|=2a-e(x1+x3),2|P2F2|=2a-2ex2，∵x1+x3=2x2，

∴|P1F2|+|P3F2|=2|P2F2|，故|P1F2|、|P2F2|、|P3F2|成等差數(shù)列．

(1)求橢圓的標準方程；

(2)設直線AB的方程為y=k(x+1)．

點評與反思案例3的三個線段都是雙曲線的焦半徑，而案例4的線段AB是橢圓的一條焦點弦，可以轉化為兩個焦半徑的和，運用圓錐曲線統(tǒng)一定義，將這類線段轉化為圓錐曲線上的點到對應準線的距離，使計算繼續(xù)進行成為可能，操作性很強，學生較易掌握.

三、同一直線上的線段長度問題，運用圓錐曲線的弦長公式策略

當一些相關線段的端點在某條或者某兩條直線上時，我們可以引入直線斜率去掉根號和消掉一組坐標(橫或縱)，運用圓錐曲線的弦長公式處理線段長度問題，這樣利于控制計算量達到解決目的.即：

若P(x1,y1),Q(x2,y2)是斜率為k的直線l上的兩點，則

(1)求橢圓C的方程；

當l平行于x軸時，AM=AN，所以BM=BN，從而點B在y軸上，設B(0，t)；

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)由題意，設直線l1的方程為y=k1(x-t)，代入橢圓E的方程中，并化簡得

設A(x1,y1)，B(x2,y2),

同理，PCPD所以為定值．

四、圓中的線段長度問題，運用圓的弦長公式策略

圓是特殊而對稱的，圓中的線段長度問題其實很多是圓的弦長問題，我們運用圓的弦長公式一般就能解決此類問題.即：

(1)求證：當點P運動時，點M始終在一個確定的橢圓上；

(2)過點T(-2，t)(t∈R)作圓O的兩條切線，切點分別為A，B.

①求證：直線AB過定點(與t無關)；

(2) ①不難求出直線AB的方程為-2x+ty=2，所以直線AB過定點(-1，0)．

練習：

以上四類解析幾何中有關線段長度的問題，根據(jù)線段呈現(xiàn)的背景不同，歸納總結了相應四種處理策略，一般來講也是優(yōu)選考慮的策略，是基于解析幾何根本指導思想的解析法而展開思考的，其他的方法比如參數(shù)方程法等等或許也能較為便捷的解決一些問題，考慮到學生的接受成本和通法的重要性，這里不主張講解，一線教師應該有這種經(jīng)驗.

從某種意義上說，高中解析幾何教學最大的問題是如何提高學生的運算能力，但在時間有限、考試壓力等等因素的影響下，提高學生的運算能力的空間已經(jīng)十分有限.很多高三老師的經(jīng)驗和做法是從適當優(yōu)化計算策略入手，讓學生充分審題，選擇較為合理的解題方法，以此彌補計算上的不足.當然，放棄運算能力的培養(yǎng)，絕對是不可取的.

數(shù)學運算素養(yǎng)是高中數(shù)學六大核心素養(yǎng)十分重要的一個指標，優(yōu)秀的高中畢業(yè)生應該具有較強的運算能力，但這并不是意味著不加任何篩選的能夠處理繁雜的運算能力就是高的運算素養(yǎng)，而我認為是否具備較高數(shù)學運算素養(yǎng)最為重要的一個表現(xiàn)是能不能迅速分析找到合適于具體環(huán)境的運算策略！