構造函數證明數列不等式問題

朱東海

(云南省蒙自市第一高級中學 661199)

在本刊2016年第34期、2018年第10期、2019年第13期中，我們分別談了一元函數不等式、二元函數不等式和與零點有關的函數不等式的證明方法，本文中我們來看如何構造函數證明數列不等式.

一、項與項之間的不等關系

對項與項之間的不等關系可以先將不等式變形后，直接把正整數n換成x,轉化為一元函數不等式來證明.

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)設m>0，求f(x)在區間[m,2m]上的最大值；

解(1)f(x)的定義域為(0,+)，

所以函數f(x)在(0,e]上單調遞增，在[e,+)上單調遞減.

(3)由①知，當x∈(0,+)時，所以在(0,+)上，恒有即且當x=e時等號成立.

因此，對?x∈(0,+)，恒有

二、數列的前n項的和與f(n)的不等關系

1.f(n)不是常數

若f(n)不是常數，則把f(n)看成數列{bn}的前n項的和，求出數列{bn}的通項公式，再用作差或導數等方法證明an與bn的大小關系，最后累加就能得出結論.

而n≥2時

令f(x)=3x+2-2x(x+1)(x≥2)，則有f′(x)=3xln3-4x-2>3x-4x-2.再設

g(x)=3x-4x-2(x≥3)，g′(x)=3xln3-4>3x-4>0(x≥3)，

∴g(x)在[3,+)是增函數.但g(3)=13,因此當x≥3時，g(x)>0,

也就是說當x≥3時，f′(x)=3xln3-4x-2>g(x)>0，f(x)在[3,+)是增函數，

∵f(3)=25，當x≥3時∴f(x)>0，即n≥3時an>bn.

∴a1+a2>b1+b2.

又當n≥3時an>bn,

在證明an與bn的大小關系時，若能變形，則先變形后再證明.

當n≥2時,bn=1+ln(n+1)-ln(n+2)，我們只需證明當n≥2時an

令f(x)=ln(1+x)-x(x>0),

而f(0)=ln1-0=0，∴當x>0時ln(1+x)

2.若f(n)是常數

若f(n)是常數，則利用當n取第一個數時，不等式兩邊之差來加強不等式，再用上述方法證明.

例3 (2008年遼寧高考題第二問)已知an=n(n+1),bn=(n+1)2(n∈N*)，

∵(n+1)(2n+1)-(n+2)(n+3)=n2-2n-5=(n-1)2-6,

三、數列{an}的前n項的積與f(n) 的不等關系

對于數列{an}的前n項的積與f(n) 的不等關系的證明的一般方法是，把f(n)看成數列{bn}的前n項的積，求出數列{bn}的通項公式，再借助作差或導數等辦法來比較an與bn的大小.

而當n≥3時,

∴a4>b3,a5>b4,…,an>bn-1.又a3>an+1>bn,

∴a2>T2,則有a2a3…an>T2b3…bn.